专题02空间向量在立体几何中的应用（重难点突破）原卷版

专题02空间向量在立体几何中的应用知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.重难点题型1利用空间向量研究平行与垂直问题例1、（2023·全国·高二专题练习）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．1．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．2．（2022春·四川成都·高一石室中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由.重难点题型2利用空间向量研究距离问题例2.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．1．（2023春·福建泉州·高二校考期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离．2．（2023春·上海·高二专题练习）如图，在直角梯形中，，，，，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形翻折至，使得平面平面．(1)求证：；(2)设G为EF上的动点，当取最小值时，求异面直线与所成角的大小；(3)求多面体的体积.重难点题型3利用空间向量研究线线角与线面角问题例3.（2022秋·陕西铜川·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，为的中点，为的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：(1)证明：直线平面；(2)求异面直线与所成角的大小；(3)求直线与平面所成角的余弦值．1．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.2．（2022秋·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）如图，在棱长为a的正方体中，点P为线段上的一个动点，连接．(1)求证：面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．重难点题型4利用空间向量研究二面角问题例4.（2020秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是，的中点，.（请用空间向量知识解答下列问题）(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求二面角的余弦值.1．（2023春·云南保山·高二校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.2．（2023春·云南保山·高二统考期中）如图，在长方体中，E、P分别是BC、的中点，M、N分别是AE、的中点，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（

）A． B． C． D．2．（2021·陕西渭南·统考三模）如图，在正方体中，当点F在线段上运动时，下列结论正确的是（

）．A．与始终垂直 B．与始终异面C．与平面可能垂直 D．与可能平行3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高二专题练习）（多选题）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是（

）A．直线的一个方向向量为B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为D．平面的一个法向量为5．（2023·全国·高二专题练习）（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（

）A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则6．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则．7．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.(1)证明：平面平面；(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥