分块矩阵初等变换与分块初等矩阵结合的简化矩阵运算

分块矩阵初等变换与分块初等矩阵结合的简化矩阵运算

在高等代数教材中，许多问题可以通过分块矩阵来解决，过程简单易懂。2×2分块矩阵形式简单,但如果与分块矩阵的初等变换结合起来却变得非常有用。1等式中块矩阵的初始变换1.1左乘某块行与普通矩阵的初等行变换类似,分块矩阵也有三种类型的初等行变换:(1)把一个块行的左P倍(P是矩阵)加到另一个块行上;(2)换两个块行的位置;(3)用一个可逆矩阵左乘某一块行。类似地有分块矩阵的初等列变换:(1)把一个块列的右P倍(P是矩阵)加到另一个块列上;(2)互换两个块列的位置;(3)用一个可逆矩阵右乘某一块列。1.2块初等矩阵左乘右乘一个分块矩阵的基本概念是三种不同类型的分块初等矩阵(其中Q是可逆矩阵)。通过直接计算可以验证:用分块初等矩阵左乘(右乘)一个分块矩阵,就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行(列)变换。分块矩阵的初等行(列)变换有直观的优点,用分块初等矩阵左乘(右乘)一个分块矩阵可以得到一个等式,把两者结合起来可以发挥出很大的威力。1.3等式中块矩阵的初始等分维和矩阵的等级1.4b乘分块矩阵法载第1块行列p本文用“r2+P·r1”(“c2+c1·P”)表示把分块矩阵第1块行(列)的左(右)P倍加到第2块行(列)上;用“r1圮r2”(“c1圮c2”)表示把分块矩阵的第1块行(列)和第2块行(列)互换;用“P·r1”(“c1·P”)表示用可逆矩阵P左(右)乘分块矩阵的第1块行(列),等等。还约定用I表示单位矩阵,用In表示n阶单位矩阵。222分块矩阵的应用2.1b法规定n阶矩阵a,n、nb例1设A、B都是n阶矩阵,证明:证明因为把分块矩阵的一个块行的左P倍加到另一个块行上,所得矩阵的行列式与原来矩阵的行列式值相等,所以左边=|A||B|,右边=|AB|·(-1)1+…+n+(n+1)+…+2n|-I|=|AB|(-1)n+2n2(-1)n=|AB|(-1)2n(n+1)=|AB|,所以|AB|=|A||B|。例2设A、B分别是s×n、n×s矩阵,证明:证明计算下列分块矩阵的行列式:一方面,有于是有两边取行列式,得由此得出,n阶矩阵A是对合矩阵圳rank(I-A2)=0注:例3的证明过程中用到了分块矩阵的秩的一个性质:例4证明syvester不等式:设A、B分别是s×n、n×m矩阵,则证明只要证n+rank(AB)≥rank(A)+rank(B)。根据(3)式有作分块矩阵的初等列变换:因此因此注:例4的证明过程中用到了不等式:2.3a称矩阵例5证明如果n阶实对称矩阵A的所有顺序主子式全大于零,则A是正定矩阵。证明n=1时,A为1阶矩阵(a),已知a>0,从而A正定。假设对于n-1阶实对称矩阵命题为真。现在看n阶实对称矩阵A=(aij)。把A写成分块矩阵:其中An-1是n-1阶实对称矩阵。显然An-1的所有顺序主子式是A的1阶至n-1阶顺序主子式,由已知条件得,它们都大于零。于是据归纳假设得,An-1是正定的。因此有n-1阶实可逆矩阵C1,使得由于记b=ann-α′A-1n-1α,因此由于因此从(6)式得A与合同,且|A|=|An-1|b,从而b>0。由于因此合同。由于矩阵是正定的,于是A是正定的。根据数学归纳法原理,命题得证。3分块矩阵的初等变换从上述几个例子可以看出,应用分块矩阵的初等变换和2×2分块矩阵,可以有效地简化矩阵的运算,因此建议在高等代数教学中加强对分块矩阵内容的教学。把单位矩阵分块得到的矩阵经过一次分块矩阵的初等行(列)变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。例如:由于分块初等矩阵是可逆矩阵,因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到:分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。这个结论在求矩阵的秩时很有用。从