数学人教A版必修4导学案2.2.1向量加法运算及其几何意义

2．2.1向量加法运算及其几何意义1．通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来．2．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，初步掌握向量加法的实际应用．1．向量的加法(1)定义：求两个向量____的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个______．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量______叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求______的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b(如图乙所示)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则A，B，D三点不共线，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))为邻边作平行四边形ABCD，则向量______＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．(4)规定：a＋0＝0＋a＝a.(5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.【做一做1－1】eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→)) C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(DA,\s\up6(→))【做一做1－2】在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(BC,\s\up6(→)) C.eq\o(CD,\s\up6(→)) D.eq\o(BD,\s\up6(→))【做一做1－3】在边长为1的正方形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于()A．0B．1C.eq\r(2)D．32．向量加法的运算律交换律a＋b＝________结合律(a＋b)＋c＝________【做一做2】化简eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝__________.答案：1．(1)和向量(2)eq\o(AC,\s\up6(→))向量和(3)eq\o(AC,\s\up6(→))【做一做1－1】C【做一做1－2】A【做一做1－3】B|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.2．b＋aa＋(b＋c)【做一做2】0eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝0.向量加法与实数加法的异同剖析：讨论两种运算的异同，主要从它们的运算结果、运算律、运算的意义来分析．(1)运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数．(2)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证，如下：如图，作eq\o(AB,\s\up6(→))=a，eq\o(BC,\s\up6(→))=b，eq\o(CD,\s\up6(→))=c，连接AC，AD，则eq\o(AC,\s\up6(→))=a+b，eq\o(BD,\s\up6(→))=b+c.∵eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))=a+(b+c)，eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=(a+b)+c，∴(a+b)+c=a+(b+c)．(3)运算的意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则．由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小，是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行．题型一作向量的和【例1】如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．反思：应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：①三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．③当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．如本题作法1比作法2简单．题型二化简含有向量的关系式【例2】化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)).分析：首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．反思：化简含有向量的关系式一般有两种方法：①利用几何方法通过作图实现化简；②利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律求和，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量，如本题．题型三向量加法的实际应用【例3】如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．反思：解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤解题：eq\x(弄清实际问题)→eq\x(数学问题)→eq\x(正确画出图形)→eq\x(用向量表示实际量)→eq\x(向量运算)→eq\x(回扣实际问题)→eq\x(作出解答)题型四易错辨析易错点用平行四边形法则作平行向量的和【例4】如图，已知平行向量a，b，求作a＋b.错解：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b就是求作的向量．错因分析：因为两向量反向，和向量的长度应为|b|－|a|，方向应与向量b的方向相同．答案：【例1】解：作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．图1作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.图2再以OD，OC为邻边作ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求．【例2】解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).【例3】解：如图，作OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))分别表示两根绳子的拉力，则eq\o(OC,\s\up6(→))表示这两根绳子拉力的合力，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝300N.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|sin30°＝300×eq\f(1,2)＝150(N)，即|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150(N)．则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.【例4】正解：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b就是求作的向量．1．四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是()A．任意四边形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形2．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝()A. B. C. D.3．化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.4．已知向量a和向量b，如图所示，分别用三角形法则和平行四边形法则作出a＋b.5．如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个质点O上，且F1的大小为3N，F2的大小为4N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．答案：1．D2．B