第一章 1.3.2　空间向量运算的坐标表示

圆学子梦想铸金字品牌8第一章1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示【素养导引】1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题.(数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示,会判断两个向量是否共线或垂直.(逻辑推理)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(逻辑推理、数学运算)一、空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3[诊断](教材改编题)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,2,2),则3a+2b等于 ()A.(1,4,12) B.(8,-7,5)C.(-8,7,-5) D.(4,1,13)【解析】选D.3a=(6,-3,9),2b=(-2,4,4),所以3a+2b=(4,1,13).二、空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则平行a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量)模|a|=a·a夹角cos<a,b>=a=a[诊断]辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若a=(0,0,1),b=(1,0,0),则a⊥b. ()(2)已知a=(x1,y1,z1),若x1=y1=z1=1,则a为单位向量. ()(3)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则a1b1=a2b2=提示:(1)√.由a·b=0,得a⊥b.(2)×.若x1=y1=z1=1,则|a|=12+12+1(3)×.只有当b1,b2,b3均不为0时,a1b1=a2三、向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则(1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1);(2)||=(x2[诊断](教材改编题)若点A(0,1,2),B(1,0,1),则=________,||=________.

【解析】=(1,-1,-1),||=12+(-1)答案:(1,-1,-1)3学习任务一空间向量的坐标运算(数学运算)1.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为 ()A.(4,6,-5) B.5C.7 D.36【解析】选B.b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),a·(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5.2.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则·= ()A.2 B.-2 C.10 D.-10【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M12,32,3,N32,32,0,所以=(2,0,0),=(-1,0,3),所以·=2×(-1)+0+0=-2.【思维提升】空间向量坐标运算的步骤(1)将空间向量用坐标表示出来;(2)运用空间向量坐标运算公式计算.学习任务二用向量运算解决平行与垂直问题(数学运算、逻辑推理)【典例1】设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a-3b),则k=________;

(2)若(ka+b)⊥(a-3b),则k=________.

【解析】ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).(1)因为(ka+b)∥(a-3b),所以k-27=5k+3-4(2)因为(ka+b)⊥(a-3b),所以(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=1063.答案:(1)-13(2)【思维提升】利用平行与垂直求参数问题的注意事项(1)适当引入参数,建立关于参数的方程;(2)最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.【即学即练】1.已知a=-5,6,1,b=6,5A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【解析】选A.因为a=-5,6,1,b=6,5,0,所以2.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,则|a+b|= ()A.22 B.10 C.3 D.4【解析】选C.因为b∥c,所以2y=-4×1,所以y=-2,所以b=(1,-2,1).因为a⊥b,所以a·b=x+1×(-2)+1=0,所以x=1,所以a=(1,1,1),所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=22+【补偿训练】已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,那么 ()A.a=3,b=-3B.a=6,b=-1C.a=3,b=2 D.a=-2,b=1【解析】选C.根据题意=(1,-1,3),=(a-1,-2,b+4),因为与共线,所以=λ,所以(a-1,-2,b+4)=(λ,-λ,3λ),所以a-1=λ,学习任务三用向量运算求夹角和距离(数学运算)角度1求夹角【典例2】(多选题)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成120°角的是 ()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)【解析】选AC.对于A选项中的向量a1=(-1,1,0),cos<a,a1>=a·a1|a||a1|=-12×2=-12,则<a,a1>=120°;对于B选项中的向量a2=(1,-1,0),cos<a,a2>=a·a2|a||a2|=12×2=12,则<a,a2>=60°;对于C选项中的向量a角度2求距离【典例3】如图,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.求CE的长.【解析】连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以C-62,0,0,E64,0,24,所以=364,0,24,||=3642+02+2【一题多变】(1)本例条件不变,求异面直线BE与SC所成角的余弦值.【解析】连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以S0,0,22,C-62,0,0,B0,62,0,E64,0,24,所以=64,-62,24,=-62,0,-22,所以cos,==-12×2=-12.故异面直线BE与SC所成角的余弦值为(2)本例条件不变,若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.【证明】连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以S0,0,22,C-62,0,0,B0,62,0,E64,0,24,所以=-62,0,-22.因为G在SC上,所以与共线,所以可设=λ=-62λ,0,-22λ,λ∈R,则=+=0,0,22+-62λ,0,-22λ=-62λ,0,22(1-λ).因为OG⊥SC,即⊥,所以·=0,所以32λ-12(1-λ)=0,解得λ=14.所以=-68,0,328.又=64,-62,24,所以·=-632+0+632=0,所以⊥,即OG⊥BE.【思维提升】利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系;(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标;(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算;(4)转化:转化为夹角与距离问题.【即学即练】1.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为 ()A.2a B.22a C.a D.1【解析】选B.由题意,得Fa,a2,0,A1(a,0,a),C(0,则||=a-a222.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cos<a,b>=________.

【解析】由已知得a=(1,2,3),b=(1,0,3),所以cos<a,b>=a·b|a||答案:63.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于