黑龙江省哈尔滨市宾县2024届九年级数学第一学期期末统考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市宾县2024届九年级数学第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是()A．(3，2) B．(－2，－3) C．(2，3)或(－2，－3) D．(3，2)或(－3，－2)2．一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球，有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P，则P的值为（）A． B． C．或 D．或3．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．4．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（）A． B．C． D．5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A． B． C． D．6．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为8，连接矩形ABCD各边中点E、F、G、H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．16 C．24 D．327．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，中线BE、CF相交于点G，连接EF，下列结论：①=；②=；③=；④=．其中正确的个数有（）A．1个 B． C．3个 D．4个9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A． B．2 C．3 D．410．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是()A． B．C． D．11．若，则的值为()A． B． C． D．12．如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（每题4分，共24分）13．数学学习应经历“观察、实验、猜想、证明”等过程.下表是几位数学家“抛掷硬币”的实验数据：实验者棣莫弗蒲丰德·摩根费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数204840406140100003600080640出现“正面朝上”的次数10612048310949791803139699频率0.5180.5070.5060.4980.5010.492请根据以上实验数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为__________．（精确到0.1）14．方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是_____．15．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根为_____．16．计算：sin45°·cos30°+3tan60°=_______________.17．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于________cm．18．数据3000，2998，3002，2999，3001的方差为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（1）如图1，过点C作⊙O的切线，与AB延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的度数；（2）如图2，D为弧AB上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接DC并延长，与AB的延长线交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴于点.（1）求抛物线的解析式.（2）点是线段上一动点，过点作垂直于轴于点，交抛物线于点，求线段的长度最大值.21．（8分）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米?（2）专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加11022．（10分）如图，正方形的边长为9，、分别是、边上的点，且.将绕点逆时针旋转，得到.（1）求证：（2）当时，求的长.23．（10分）如图，正方形FGHI各顶点分别在△ABC各边上，AD是△ABC的高，BC=10，AD=6.（1）证明：△AFI∽△ABC；（2）求正方形FGHI的边长.24．（10分）如图，二次函数的图象经过点与．求a，b的值；点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．25．（12分）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且满足，若对称轴在轴的右侧．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，若点为线段上的一动点(不与重合)，分别以、为斜边，在直线的同侧作等腰直角三角形和，试确定面积最大时点的坐标．（3）若，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围．26．在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为“智慧三角形”．（1）如图1，已知、是⊙上两点，请在圆上画出满足条件的点，使为“智慧三角形”，并说明理由；（2）如图2，是等边三角形，，以点为圆心，的半径为1画圆，为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，求的最小值；（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙的半径为1，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【题目详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，

∴两矩形面积的相似比为：1：2，

∵B的坐标是（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（−3，−2）．

故答案为：D．【题目点拨】此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．2、D【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.【题目详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P=故摸到的红球的概率为：或故选：D【题目点拨】本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.3、B【解题分析】分析:根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.详解:∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b，∴a+c=0，∴ac＜0，∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛:考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.4、A【解题分析】试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．5、C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，故选C.【题目点拨】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.6、B【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【题目详解】解：∵H、G是AD与CD的中点，

∴HG是△ACD的中位线，

∴HG=AC=4cm，

同理EF=4cm，根据矩形的对角线相等，连接BD，得到：EH=FG=4cm，

∴四边形EFGH的周长为16cm．

故选：B．【题目点拨】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．7、C【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题．【题目详解】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在二四象限，故选C．【题目点拨】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题．8、C【解题分析】根据三角形的中位线定理推出FE∥BC，利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质和等底同高的三角形面积相等一一判断即可．【题目详解】∵AF＝FB，AE＝EC，∴FE∥BC，FE：BC＝1：2，∴，故①③正确．∵FE∥BC，FE：BC＝1：2，∴FG：GC=1：2，△FEG∽△CBG．设S△FGE＝S，则S△EGC＝2S，S△BGC＝4s，∴，故②错误．∵S△FGE＝S，S△EGC＝2S，∴S△EFC＝3S．∵AE=EC，∴S△AEF＝3S，∴=，故④正确．故选C．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9、B【解题分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.【题目详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE＝2，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∴∠D=60°，∵AD//BC，∴∠ECH=∠D=60°,在Rt△ECH中，EH=CE·sin60°=,CH=CE·cos60°=,∴BH=4+1=5，在Rt△BEH中，由勾股定理得，.故选B.【题目点拨】本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.10、B【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．【题目详解】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：B．【题目点拨】本题主要考查了对直线与圆的位置关系的性质，掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键.11、A【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．【题目详解】由，得4b＝a−b．，解得a＝5b，故选：A．【题目点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．12、B【分析】根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可．【题目详解】解：∵四边形ABCD为正方形，抛物线y＝2x2﹣4和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，∴OD＝OC＝，S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，∴2n＝2n2﹣4，解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），∴点B的坐标为（2，4），∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝1．故选：B．【题目点拨】此题考查的是抛物线和正方形的对称性的应用、求二次函数上点的坐标和矩形的面积，掌握抛物线和正方形的对称性、求二次函数上点的坐标和矩形的面积公式是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、0.1【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.1左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率为0.1．【题目详解】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.1左右波动，

所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.1．

故答案为0.1．【题目点拨】本题考查了利用频率估计概率，随实验次数的增多，值越来越精确．14、x2﹣x﹣7＝1．【分析】一元二次方程，b，c是常数且的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【题目详解】解：方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是x2﹣x﹣7＝1，故答案为：x2﹣x﹣7＝1．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：，b，c是常数且a≠1）特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．15、x1＝1，x2＝﹣1．【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程-x2+bx+c=0的解，本题得以解决．【题目详解】由图象可得，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），即当y＝0时，0＝﹣x2+bx+c，此时方程的解是x1＝1，x2＝﹣1，故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．【题目点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16、【分析】先求出各个特殊角度的三角函数值，然后计算即可【题目详解】∵∴原式=故答案为【题目点拨】本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键。17、1【解题分析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到=，从而可求得AC的长，最后计算CD的长．【题目详解】∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，∴△ABC∽△ADB，∴=，即=，解得：AC=8，∴CD=8﹣2=1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．18、2【分析】先根据平均数的计算公式求出平均数，再根据方差公式计算即可．【题目详解】数据3000，2998，3002，2999，3001的平均数是：，方差是：，故答案为：【题目点拨】本题考查了方差的定义，熟记方差的计算顺序：先差、再方、再平均.三、解答题（共78分）19、（1）∠P=36°；（2）∠P=30°．【分析】（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=12∠AOD=40°【题目详解】解：（1）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（2）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=12∠AOD=40°∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．【题目点拨】本题考查切线的性质．20、（1）；（2）4.【分析】（1）根据A、B坐标可得抛物线两点式解析式，化为一般形式即可；（2）根据抛物线解析式可得C点坐标，利用待定系数法可得直线AC的解析式为y=-x+4，设点坐标为，则，用m表示出DF的长，配方为二次函数顶点式的形式，根据二次函数的性质求出DF的最大值即可.【题目详解】（1）∵拋物线经过点，∴∴拋物线的解析式为.（2）∵拋物线的解析式为，∴，设直线的解析式为y=kx+b，∴，∴，b=4，∴直线AC的解析式为设点坐标为，则∴=-(m-2)2+4，∴当m=2时，DF的最大值为4.【题目点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟练掌握二次函数解析式的三种形式及二次函数的性质是解题关键.21、（2）2600；（2）2．【分析】（2）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了32千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l2千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用26小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出：(80+120)(1-m%)(8+1【题目详解】试题解析：（2）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：8(120+x)=y(8+16)x=320+y解得：x=80y=1600答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是2600千米；（2）由题意可得出：(80+120)(1-m%)(8+1解得：m1=20，答：m的值为2．考点：2．一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．22、（1）见解析；（2）7.1【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=41°，得到∠MDF=41°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=3，正方形的边长为9，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【题目详解】（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°．∵∠EDF=41°，∴∠FDM=∠EDF=41°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=MF；（2）设EF=x，则MF=x．∵AE=CM=3，且BC=9，∴BM=BC+CM=9+3=12，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，即62+(12﹣x)2=x2，解得：x=7.1，则EF=7.1．【题目点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．23、（1）见解析；（2）正方形FGHI的边长是.【分析】（1）由正方形得出，从而得出两组对应相等的角，由相似三角形的判定定理即可得证；（2）由题（1）的结论和AD是的高可得，将各值代入求解即可.【题目详解】（1）四边形FGHI是正方形，即（两直线平行，同位角相等）；（2）设正方形FGHI的边长为x由题（1）得的结论和AD是的高∴，解得故正方形FGHI的边长是.【题目点拨】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记判定定理和性质是解题关键.24、（1）（2）最大值为1．

【分析】（1）将与代入，用待定系数法可求得；（2）过A作x轴的垂直，垂足为，连接CD、CB，过C作，轴，垂足分别为E，F，则，关于x的函数表达式为，再求二次函数的最值即可.【题目详解】解：将与代入，得，解得：；如图，过A作x轴的垂直，垂足为，连接CD、CB，过C作，轴，垂足分别为E，F，；；，则，关于x的函数表达式为，，当时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为1．【题目点拨】本题考核知识点：二次函数与几何.解题关键点：数形结合列出面积表达式，求二次函数的最值.25、（1）；（2）；（3）【分析】