用空间向量研究距离夹角问题（第2课时）（导学案）高二数学系列（人教A版2019选择性）

.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）导学案学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．重点难点重点用向量方法求平面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角；难点用空间向量解决立体几何中的夹角问题与综合问题.课前预习自主梳理知识点：空间角的向量求法空间角向量求法空间角的范围异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是则直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则两个平面的夹角若平面α，β的法向量分别是，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则思考：为什么求空间角的公式中都带有绝对值？提示因为异面直线所成的角的范围是,斜线与平面所成的角的范围是,平面与平面的夹角的范围是,而两个向量的夹角的范围是,因此计算时要加绝对值.自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角．()(3)平面与平面的夹角的取值范围与二面角的取值范围相同．()(4)两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【详解】(1)错误．两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补．(2)错误．直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量的夹角互余或与其补角互余．(3)错误．平面与平面的夹角的取值范围是，二面角的取值范围是．(4)错误．两个平面的夹角与该二面角两个面的法向量的夹角相等或互补．2.在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，，可得，利用线线角的向量求法可求得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，，，设，，即，，；对于A，不是定值，A错误；对于B，不是定值，B错误；对于C，，直线与所成角为定值，C正确；对于D，不是定值，D错误.故选：C.新课导学学习探究环节一：创设情境，引入课题知识点1：求解直线与直线所成的角导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.师生活动：学生独立思考、小组交流后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角.设计意图:明确研究路径,为具体研究提供思路.环节二：观察分析，感知概念问题1：例7如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．追问1:这个问题的已知条件是什么?根据以往的经验,你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题?用向量方法求解几何问题时,首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题,如何用向量表示异面直线与?它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗?分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，进而求得向量，夹角的余弦值．解：化为向量问题如图，以作为基底，则，．设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于．在此基础上,将此问题推广到一般,学生思考后作答,教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径:途径1:通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题;途径2:通过建立空间直角坐标系,用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上,空间直角坐标系也是基底,是“特殊”的基底.进行向量运算．又和均为等边三角形，所以．追问2:请你通过向量运算,求出向量夹角的余弦值,进而求出直线和夹角的余弦值.所以．回到图形问题所以直线和夹角的余弦值为．思考以上我们用量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？追问3:回顾问题1的求解过程,你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗?一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得．也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则．环节三：抽象概括，形成概念知识点2：类比研究,求解直线与平面、平面与平面所成的角问题2:你能用向量方法求问题1中直线与平面所成的角吗?一般地,如何求直线与平面所成的角?追问:这个问题的已知条件是什么?如何将几何问题转化为向量问题?类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量，平面的法向量为，则．环节四：辨析理解，深化概念问题3:类比已有的直线、平面所成角的定义,你认为应如何合理定义两个平面所成的角?进一步地,如何求平面和平面的夹角?在学生讨论、交流的基础上,教师小结如下:如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角．类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则．追问1:如何求平面的法向量?追问2:你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗?二面角的大小是指其两个半平面的张开程度,可以用其平面角的大小来定义,它的取值范围是;而平面与平面的夹角是指平面与平面相交,形成的四个二面角中不大于的二面角.环节五：课堂练习，巩固运用巩固应用,解决立体几何中的角度问题例8如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．进行向量运算因为平面，所以平面的一个法向量为，根据所建立的空间直角坐标系，可知，，．所以，．设，则所以所以取，则．回到图形问题设平面与平面的夹角为，则．即平面与平面的夹角的余弦值为．例9图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N)．师生活动:教师引导学生思考下列问题:(1)降落伞匀速下落,下落过程中,8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系?(2)每根绳子的拉力和合力有什么关系?(3)如何用向量方法解决这个问题?分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．解：如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为．因为，所以在上的投影向量为．所以8根绳子拉力的合力．又因为降落伞匀速下落，所以．所以，所以．例10如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．你能找到解决问题的方法吗?分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设．（1）证明：连接，交于点，连接．依題意得，，．因为底面是正方形，所以点是它的中心，故点的坐标为，且，，所以，即．而平面，且平面，因此平面．（2）证明：依题意得，，又，故，所以．由已知，且，所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面与平面的夹角．设点的坐标为，则．因为，所以，即，，，设，则，所以，点的坐标为．又点的坐标为，所以．所以．所以，即平面与平面的夹角大小为．追问2:直线和平面是由哪些要素确定的?直线和平面的平行关系是用这些要素之间怎样的关系来刻画的?你能用这些要素之间的关系证明平面吗?追问3:直线和平面的垂直关系是用确定直线和平面的要素之间怎样的关系来刻画的?你能证明平面吗?追问4:如何根据平面与平面的夹角与两个平面的法向量的关系求出平面与平面的夹角?例8如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值．分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．进行向量运算因为平面，所以平面的一个法向量为，根据所建立的空间直角坐标系，可知，，．所以，．设，则所以所以取，则．回到图形问题设平面与平面的夹角为，则．即平面与平面的夹角的余弦值为．环节六：归纳总结,反思提升教师引导学生回顾本单元的学习内容,并回答以下问题:（1）向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么?你能用一个框图表示吗?（2）通过本节的学习,你对立体几何中的向量方法是否有了一定的认识?请结合例题和上面的框图谈谈体会.（3）解决立体几何中的问题,可用三种方法:综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗?师生共同梳理总结本单元的学习内容,引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图,具体如下:环节七：目标检测，作业布置布置作业教科书习题第14,15题.备用练习1.在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题通过建立如图空间直角坐标系，分别求得直线与的方向向量，再利用向量的夹角公式，即可得解.【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.设则，，，所以直线与所成角的余弦值解得故选：A.2.已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解.【详解】如图所示，由题意知