九年级数学复习专题动态几何问题

中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒).(1)当MN//AB时，求t的值；(2)试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手.但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言”不是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的.所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：(1)由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE/AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形.丁AB/DE,AB/MN.・•・DE/MN. (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)MCNC，• 二 ECCD(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)10—2t10—32.解得t=50175.【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少.具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论:①当MN=NC时，如图②作NF1BC交BC于F,则有MC=2FC即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)SinNC=DFCD45,3・•・CoSNC=5,3t.∙.10-21=2XM,25

解得t=25.8②当MN=MC时，贝IJCN=2CH,3•t=2（10-21）x3.5如图③，过M作MH1CD于H.60•∙t= 17.③当MC=CN时,贝IJ10—21=t.10

t= .3综上所述，当t=25、60或—时，△MNC为等腰三角形.8 17 3【例2】在AABC中，∠ACB=45.点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接4口，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.（1）如果48二人色如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.出如果48不人心如图②,且点D在线段BC上运动.（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4√2,BC=3,CD=X，求线段CP的长.（用含X的式子表示）A A图⑴图⑵【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直;证明如下：∙.∙AB=AC,∠ACB=45,Λ∠ABC=45.由正方形ADEF得AD=AF,V∠DAF=∠BAC=90,Λ∠DAB=∠FAC,Λ^DAB^^FAC,Λ∠ACF=∠ABD..∙.∠BCF=∠ACB+∠ACF=90.即CF⊥BD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。(2)CF⊥BD.(1)中结论成立.理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G,.∖AC=AG可证：AGAD@ACAF Λ∠ACF=∠AGD=45∠BCF=∠ACB+∠ACF=90.即CF⊥BD【思路分析3］这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点人作人@，8©交CB的延长线于点Q,①点D在线段BC上运动时，,.∙ZBCA=45,可求出AQ二CQ二4..,.DQ=4-x, /"K易证4AQDs^DCP,・•.丝=丝,：.C~=x, && \DQAQ 4-X4 ■∙∙.CP=-x2+X. 14②点D在线段BC延长线上运动时，∙.∙∠BCA=45,可求出AQ=CQ=4,.∙.DQ=4+x.过A作AGɪAC交CB延长线于点G,则AAGD=AACF.「.CF⊥BD,∙∙∙△AQDSAdcp,.∙.CP=CD,

DQAQCPx4+X—4，∙∙.CP=X2 +X.4［例3］已知如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,BC=4,点

M是AD的中点，△MBC是等边三角形.(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变.设PC=X，mq=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由. M【思路分析1］本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的、题目给定∠MPQ=60°,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来。因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三■角形找比例淳系怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯。于是就有了思路. P【解析］(1)证明：:△MBC是等边三角形•.MB=MC,∠MBC=NMCB=60o・•M是AD中点.∙.AM=MD：AD〃BC.∙.NAMB=NMBC=60。，NDMC=NMCB=60。•.△AMB^ΔDMC•.AB=DC•.梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=NMCB=60。，NMPQ=60。.∙.NBMP+NBPM=NBPM+NQPC=120。「士人名后任由北冲击曲上*@上cW(这个角度传递非常重要，大家要仔细揣摩)・•.NBMP=NQPC・•.△BMPs△CQPPC_CQBM~1P∙.∙PC=x,MQ=y・•.BP=4—x,QC=4—yX=4-y

4~4^X.∙.y=1χ2-χ+44 (设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求APQC形状”的问题了。由已知的吃=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。(3)解：△PQC为直角三角形1∙.∙y=(x-2)+34.∙.当y取最小值时，x=PC=2：.P是BC的中点，MP±BC,而NMPQ=60。，.∙.NCPQ=30o,・•.NPQC=90o以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF±BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中ABEF绕B点逆时针旋转45。，如图2所示，取DF中点G，连接EG,CG,.你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中ABEF绕B点旋转任意角度,如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将ABEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了.事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过6点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了.CG=EG(1)中结论没有发生变化，即CG=EG.证明：连接AG,过G点作MN1AD于M，与EF的延长线交于N点.在ADAG与ADCG中，;AD=CD,NADG=NCDG,DG=DG,.∙.ADAG2ADCG..∙.AG=CG.在ADMG与AFNG中,丁NDGM=NFGN,FG=DG,NMDG=NNFG,.∙.ADMG2AFNG..∙.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN在RtAAMG与RtAENG中，;AM=EN,MG=NG,.∙.AAMG2AENG..∙.AG=EG..∙.EG=CG【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立.但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在ABEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了.（3）（1）中的结论仍然成立．BC图3【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,将AABE沿直线AE翻折，点B落在点B,处.（1）当BE=1时，CF=cm,CE(2)当BE=2时，求sin∠DAB'的值;CE（3）当BE=X时（点C与点E不重合），请写出4人8£翻折后与正方形ABCD公共部CE分的面积y与X的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）. AB【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,

所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来第二问比例为2,第三问比例任意同学们需要仔细把握翻折过程中哪些翻折中，角，边都是不变的，所以轴,,对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论,不要遗漏。【解析】(1)CF=6(2)①如图1cm;（延长之后一眼看出，EAZY）,当点E在BC上时，延长AB,交DC于点M设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62,解得k=MA=-.2・•・DM=5.（设元求解是这类题型中比较重要的方2法），，DM5・•・sin∠DAB'= =—;AM13②如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交B'E于点N,

同①可得NA=NE.设NA=NE=m,则B'N=12-m.在Rt^AB'N中，由勾股定理，得m2=(12一m)2+62,解得m=AN=15./.B'N=9.2 2BN3/sin∠DAB'=——=-.AN5⑶①当点E在BC上时，V=-18x;X+1图2（所求^AB'E的面积即为AABE的面积，再由相似表示出边长）②当点E在BC延长线上时,v=18X~18.X【总结】通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了。为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论。针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。第二、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1】已知：如图(1)，射线AM//射线BN,AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合)，E是AB边上的动点(点E与A、B不重合)，在运动过程中始终保持DE1EC，且AD+DE=AB=a.(1)求证：KADESABEC；(2)如图(2),当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；(3)设AE=m，请探究：ABEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示ABEC的周长；若无关，请说明理由.第25题(1) 第25题(2)【思路分析】本题动点较多,并且是以和的形式给出长度。思考较为不易,但是图中有多个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析.第三问计算周长,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关,如果是一个定值,那么就无关,于是就可以得出结论了.【思考2】AABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA若。°V∠PBCV180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD=°；(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数；(3)当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出/BPD的度数，并画出相应的图形.【思路分动点P相关以及D点的的量就是且DB=DA析】本题中，和的动量有∠PBC,位置，但是不动BD是平分线并从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC,口©，82已知AB=5,3BC=6,CosB=5.点。为BC边上的一个动点，连结OD,以。为圆心，BO为半径的。。分别交边AB于点P,交线段OD于点M,交射线BC于点N,连结MN.(1)当BO=AD时，求BP的长；(2)点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN;若不存在,请说明理由；(3)在点O运动的过程中，以点©为圆心，CN为半径作。工请直接写出当。C存在时，。。与。C的位置关系，以及相应的。C半径CN的取值范围。8/13【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关

的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问

比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨论

他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】在ABCD中，过点。作。£，。口交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1） 。（1）在图1中画图探究：口①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时,连结EP1绕点E逆时针旋转90得

到线段EC1。判断直线Fq与直线CD的位置关系，并加以证明； 。②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90

得到线段EC2。判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论。。4（2）若AD=6,tanB=z,AE=1，在①的条件下，设CP=X，SPFC=J，求y与X之间的

3 1 11函数关系式，并写出自变量X的取值范围.△【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来,难倒了不少同学.

事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了

一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，

但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建

议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分思考题解析【思考1解析】（1）证明：YDE1EC，.・./DEC=90o,Λ/AED+ZBEC=900.又・.・/A=ZB=90o，.・./AED+ZEDA=900..・.ZBEC=ZEDA.・・・AADESABEC.（2）证明：如图，过点E作EF//BC,交CD于点FYE是AB的中点，容易证明EF=ɪ（AD+BC）.在RtADEC中，YDF=CF,・EF=-CD.2.・・-（AD+BC）=-CD.

2 2・AD+BC=CD.（3）解：AAED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a—m.ADMB C第25题设AD-X,则DE=a-X.,.∙ZA=90o,.*.DE2=AE2+AD2,即42—2ax+χ2=巾2+χ2.“2-m2X= Ia由(1)知AADESNBEC,。2-m2.AAQE1的周长_AD_―2a—_a+m•，ABEC的周长~~BE~a-m~2a,2a：.ABEC的周长= ∙AADE的周长=2α.a+m：.的周长与相值无关.【思考2答案】解：(1)ZBPD=30°；(2)如图8,连结CD.解一：丁点D在NPBC的平分线上，.*.Z1=Z2.•・•AABC是等边三角形，.*.BA=BC=AQZACB=60o. A・・•BP=BA, A.P;蠹 A・•.ΔPBD^ΔCBD. 3Xc.,.ZBPD=Z3. 3分图8∙.∙DB=DA,BC=AC,CD=CD,ΔBCD^ΔACD./3=/4」/AC^=30。•2.∙.ZBPD=30°.解二：:4ABC是等边三角形，・•.BA=BC=AQ•；DB=DA,.∙.CD垂直平分AB.∙*∙∕3=∕4=l∕AC5=30°•2,/BP=BA,.∙.BP=BC.Y点D在NPBC的平分线上，.∙.APBD与ACBD关于BD所在直线对称..∙.NBPD=N3.・•.NBPD=30°(3)NBPD=30°或150°图形见图9、图10...【思考3解析】A解：(1)过点ADAE⊥BC,⅛Rt∆AB⊥BC,AD〃B BC=6,ΛAD=EC=BC-BE=3.ABC当B0=AD=3时， 在。O中图过点0作0H⊥AB，则BH=HPA=5,CosB=5得BE=3.BH 39=cosB,.BH=3×-=-BO 55..∙.BP=l58.(2)不存在BP=MN的情况-假设BP=MN成立，TBP和MN为。0的弦，贝IJ必有NBOP=NDOC.过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,TCD⊥BC，贝IJ有4PQ0s4D0C-BH设B0=x,则P0=x,由 =cosB=X335,得BH=5χ,.∙.BP=2BH=6X.1824.∙.BQ=BP×cosB=25X,PQ=25X.18