数高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：．3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.评卷人得分二、计算题（每空？分，共？分）4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：．5、已知函数：（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？

(3)求证：．（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.(i)证明：MD⊥ME;(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得=?请说明理由。13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断

(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．（1）求曲线弧的方程；（2）求的最小值（用表示）；（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

15、设、是函数的两个极值点．(1)若，求函数的解析式；(2)若，求的最大值．(3)若，且，，求证：．16、

已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．17、已知函数

（1）若曲线处的切线平行，求a的值；

（2）求的单调区间；

（3）设是否存在实数a，对均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。18、已知函数图象的对称中心为，且的极小值为.（1）求的解析式；（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，当时，使函数在定义域[a,b]上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.19、已知函数．（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）．20、已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．21、已知函数处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为—1。

(Ⅰ)求的解析式；

（Ⅱ）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。证明：当不存在“保值区间”；22、已知函数

（1）求证函数上的单调递增；

（2）函数有三个零点，求t的值；

（3）对恒成立，求a的取值范围。23、已知函数，其中

（Ⅰ）若函数上有极值，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数有最大值（其中为无理数，约为2．71828）,求的值；（Ⅲ）若函数有极大值,求的值。24、已知函数。（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：25、已知函数,，其中R．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．26、

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设m>0，求在[m，2m]上的最大值；

（3）试证明：对任意N+，不等式＜恒成立．27、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：；（3）设，求证：.28、已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有.29、已知函数不等式求实数的取值范围；（3）若函数30、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．⑴求实数的值；⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；⑶当时，证明．32、已知函数在点的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求证：.33、已知

（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；

（2）当时，证明：函数只有一个零点；

（3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证：参考答案一、综合题1、解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．

…2分当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．

……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分

（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

…………………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．

…………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，

．……………12分．

……14分

(法二)当时，．，，即时命题成立．

………………10分设当时，命题成立，即．

时，．根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．

………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得．……11分，．

………………12分，又，，．．

…………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．2、解：（1）由题意知，的定义域为，

当时，，函数在定义域上单调递增．（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．

②时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，

时，，,此时，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点，

ii)

当时，0<<1此时，，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；

综上所述：当且仅当时有极值点;

当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且

令函数

3、【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述,点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.二、计算题4、（Ⅰ）解：由已知得：．

……………1分由为偶函数，得为偶函数，显然有．

…………2分又，所以，即．

…………3分又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立．

…………4分显然，当时，不符合题意．

…………5分当时，应满足注意到，解得．

…………7分所以．

……………8分（Ⅱ）证明：因为，所以．………9分要证不等式成立,即证．

…………10分因为,

…………12分所以．所以成立．

……………14分5、解：（1）

(1分),当时，的单调增区间为，减区间为；…………2分当时，的单调增区间为，减区间为；…………3分当时，不是单调函数…………4分（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为，

所以，所以，，

……………..…6分

，

…….……7分

要使函数在区间上总存在极值，所以只需，

………………ks5u……..……9分

解得………10分⑶令此时，所以，由⑴知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立，………12分∵，则有，∴…………14分6、

解：(Ⅰ)

在区间上单调递增，在区间上单调递减,且

的值域为

………………3分（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数

…5分

当时,,.s在区间上递减，不合题意当时,,在区间上单调递增，不合题意当时,,在区间上单调递减，不合题意当即时,在区间上单调递减;在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0而由可得，则综上，满足条件的不存在。………..8分（Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，故有………………10分即，令，则上式化为，………………12分令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”.……14分7、解（Ⅰ）

1分若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，

若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．综上，

的最小值为1．

4分（Ⅱ）解1、由令得=0的根为1，所以

当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以在处取到最大值，又，，所以要使与有两个不同的交点，则有

……………8分（Ⅲ）假设存在，不妨设

9分

若则，即，即．（*）

12分令，（)，

则＞0．∴在上增函数，∴，∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴

因此，满足条件的不存在．

15分8、9、⑴因为，所以，因此，

所以函数的图象在点处的切线方程为，…………2分

由得，由，得．…4分⑵因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以b的取值范围．………………8分⑶不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为，且，（ⅰ）当时，函数在区间上是减函数，所以，所以等价于，即，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以；………………………10分（ⅱ）当时，函数在区间上是减函数，在上为增函数．①当时，等价于，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以；……………12分②当时，等价于，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，故．………………14分③当时，由图象的对称性知，只要对于①②同时成立，那么对于③，则存在，使恒成立；或存在，使恒成立．因此，．综上，b的取值范围是．……………………16分10、解：

（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故即

解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

。考虑函数，则

。

(i)设，由知，当时，。而，故

当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2+1）+2x>0，故(x）>0，而

h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]解：（2）由（1）知．

故要证：只需证

为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论：当x>1时，需证即

即需证．

（1）设，则

由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0

所以当x>1时g（x）<0

即（1）式成立．同理0<x<1时，需证

（2）

而由0<x<1得，所以在（0，1）上为增函数．又因g（1）=0

所以当0<x<1时g（x）<0

即（2）式成立．综上所证，知要证不等式成立．点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算．11、(I)函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得12、13、解(1)设动点为，

1分依据题意，有

，化简得．

3分因此，动点P所在曲线C的方程是：．

…………4分(2)

点F在以MN为直径的圆的外部．理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示．

5分联立方程组，可化为，则点的坐标满足．

7分又、，可得点、．点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．因，，则=．9分

于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．

10分(3)依据(2)可算出，，则

，

．

14分所以，，即存在实数使得结论成立．

15分对进一步思考问题的判断：正确．

18分14、解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，.

……………1分∴的方程为.

……………3分（注：不写区间“”扣1分）

（2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，

则有，即

……①

………………4分又，，从而直线的方程为

AP：；

BP：……………5分

令得，的纵坐标分别为

；

.

∴

……②

………7分

将①代入②，得.

∴.当且仅当，即时，取等号．即的最小值是.

……………9分解法2：设，则由三点共线，得．．①同理，由三点共线得：…②

…5分由①×②得：.由，代入上式，.即.

…………7分，当且仅当，即时，取等号．即的最小值是.

………………9分（3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有

，…………………10分从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，

；

，……………11分

于是有，而，矛盾.………13分∴不存在点Ｐ，使为正三角形．……………14分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.15、解：(1)∵是函数的两个极值点，∴，．∴，，解得．∴．-------------------4分(2)∵是函数的两个极值点，∴．∴是方程的两根．∵，∴对一切恒成立．，，∵，∴．∴．由得，∴．∵，∴，∴．

令，则．当时，，∴在(0，4)内是增函数；当时，，∴在(4，6)内是减函数．∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，∴的最大值是．---------------------------------------8分(3)∵是方程的两根，∴，

∵，，∴．∴∵，

．-------------------------------12分16、解：（I）的定义域是

．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．2分由及得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是

．．．．．．．．4分（II）若对任意，，不等式恒成立，问题等价于，

．．．．．．．．．5分由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，；

．．．．．．．．．．．．8分问题等价于或或

．．．．．．．．11分

解得或或

即，所以实数的取值范围是

．．．．．．．．．．．．．．．．．12分17、18、解：（1）…………4分(2)……7分(3),①当时，在上单调减，…9分

…11分②且，在上不单调时，，，

…14分综上得：

…15分19、解：（1）∵，，

-----1分

∴当时，，单调递增；当时，，单调递减。

----3分

∴当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。

故的单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为-1，但无最小值。

方程化为，

-----3分

由上知，在区间上的最大值为-1，，，。故在区间上有两个不等实根需满足，

∴，∴实数m的取值范围为。

-----6分（2）∵，又有两个实根，

∴两式相减，得

∴

-----8分

于是

=．

∵,∴,∵,∴。

-----9分

要证：，只需证：．

只需证：．

（＊）

令，∴（＊）化为

只证即可．

-----11分

，，0<t<1，

∴t-1<0．

∴u'（t）>0,∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）<u（1）=0

∴u（t）<0，

即：．

．．．．．．．．．．．．．13分20、解：（1）．……………3分由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增．…………5分（2）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解．…………………7分所以的变化情况如下表所示：x0－0＋递减极小值递增

又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得．…………10分（3）因为存在，使得，所以当时，．………11分由（2）知，在上递减，在上递增，所以当时，．………12分而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增．而，故当时，；当时，．即当时，；当时，．……………14分①当时，由；②当时，由．综上可知，所求的取值范围为．…………………16分21、解：（1），

………………2分由所以

………………4分

（2）由（1）得，①假设当存在“保值区间”于是问题转化为有两个大于1的不等实根。…………6分现在考察函数，

…………10分当x变化时，的变化情况如下表：—0+单调递减极小值单调递增所以，上单调递增。22、23、（1）

则在（1，3）上有解，且，分离参数法，（2）由，得。当时，函数上单调递减，所以由，得时，函数有最大值。（3）当时，函数上单调递增，所以无极值。当时，函数上单调递减，所以无极值。当时，由得，则（其中）所以函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得（※），又代入（※）得设函数，则所以函数上单调递增，而所以

，所以时，函数有极大值。24、解：（1）因为当当所以上单调递增；在上单调递减，所以函数处取得极大值。因为函数，解得。…………4分

（2）不等式记

所以，令

=1>0

从而上也单调递增，所以。

………………9分

（3）由（2）知：当，，

令则所以

，…，叠加得：

=。

则

所以………………14分25、解：（Ⅰ）的定义域为，且，

----------------1分①当时，，在上单调递增；

----------------2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增．

------4分（Ⅱ），的定义域为

----------------5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以

-------

---

-----6分（Ⅲ）当时，，由得或当时，；当时，．所以在上，

----------------8分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有

---------------10分所以实数的取值范围是---------------------------12分26、27、解：（1）定义域为，由………………2分令故的增区间：，

减区间：……5分（2）即证：令由，令，得，且在在，所以故当时，有得证……10分（3）由（2）得，即所以则…………14分28、解：（Ⅰ）设，于是所以又，则．所以.

…………3分

（Ⅱ）当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分当m=0时，对，恒成立；

…………5分

当m<0时，由，列表：x－0＋减极小增

所以若，恒成立，则实数m的取值范围是.

故使成立，实数m的取值范围．…………9分（Ⅲ）因为对，所以在内单调递减.于是记，则所以函数在是单调增函数，

所以，故命题成立.…………12分29、30、（Ⅰ）

2分若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，

若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．综上，

的最小值为1．