第一章 微观粒子的状态

岳贤ue.xj@南通大学电子信息学院电子工程系固体电子学导论概述量子力学统计力学固体物理半导体物理固体电子学导论第一章微观粒子的状态第二章晶体中电子的状态第三章晶体中原子的状态第四章常见晶体的结构及物理性质主要章节量子力学统计物理固体物理粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。

粒子运动状态：指力学运动状态。经典描述：遵从经典力学的运动规律。量子描述：遵从量子力学的运动规律。1.1粒子运动状态的描述第一章微观粒子的状态在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H（哈密顿）函数粒子的运动满足正则运动方程一组数值完全确定了这个系统的一个运动状态，这就是微观运动状态。1.1粒子运动状态的描述微观运动状态的描述：使用粒子坐标和动量的描述方法，也可借助几何表示法讨论力学体系运动状态。1.1.1

空间(相空间)

设粒子的自由度为r，经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学状态由粒子的r个广义坐标q1,q2,……qr和与之共轭的r个广义动量p1,p2,…..pr在该时刻的数值确定。粒子的能量

是其广义坐标和广义动量的函数：如果存在外场，

还是描述外场参量的函数。为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q1,q2,……qr;p1,p2,…..pr共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为

空间。粒子在某一时刻的力学运动状态可用

空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在

空间中移动，描画出一条轨道，称为相迹。粒子在

空间的描述：由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态，在

空间中用N个代表点表示。随着时间的变化，系统运动状态的变化由N个代表点在

空间中的N条运动轨迹，即N条线代表。1.1.1

空间(相空间)

空间性质：i)

空间是人为想象出来的超越空间，是个相空间。引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化，以便于进行统计。

空间中的一个代表点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。ii)在经典力学范围，在无相互作用的独立粒子系统中，任何粒子总可找到和它相应的

空间来形象地描述它的运动状态，但不是所有的粒子的运动状态可以在同一

空间中描述。1.1.1

空间(相空间)

1.粒子运动状态的经典描述（坐标，动量）粒子自由度力学运动状态哈密顿量r个广义坐标r个广义动量

空间(2r维相空间)自由度r单粒子状态及其演变过程

空间中的点和曲线n-粒子的数目，s-束缚条件个数

空间:6维以1维自由粒子为例:空间为2维，如右图所示。2.例子——自由粒子

自由粒子：不受外力作用而自由运动的粒子。以单原子分子为例，有3个自由度，设其质量为m，需要6个量确定它的运动状态。3.例子——线性谐振子分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐运动。弹性力：圆频率：能量恒定的轨迹为椭圆3.例子——线性谐振子

自由度：广义坐标：广义动量：动能：1.经典物理成就举例牛顿力学－支配天体和力学对象的运动；杨氏衍射实验―确定了光的波动性；Maxwell方程组的建立―把光和电磁现象建立在牢固的基础上；统计力学的建立—引入统计方法，关注大量粒子运动的整体效果。1.1.2

微观粒子的量子描述——量子力学

一旦深入到分子、原子领域，一些实验事实和经典理论发生矛盾或无法理解。

黑体辐射、光电效应、氢原子光谱存在与经典物理学的概念完全不相容的崭新的实验事实辐射的微粒性；b.物质粒子的波动性；c.物理量的“量子化”，即测量值取分立值或某些确定值2.量子的发现3.量子力学的诞生什么是量子力学?——研究微观粒子运动规律的理论

微观粒子：分子、原子、原子核(质子、中子)、电子、光子等。德布罗意：物质波假设海森堡：矩阵形式的量子理论等价薛定谔泡利约尔证明4.正统解释——波函数波动方程矩阵力学连续的波分立的粒子1).概率波原理波恩解释：波函数的统计意义是波函数在空间某一点的强度[]和在该点找到粒子的几率成正比。实验证明

对于一个电子虽然不能知道它一定在照片上哪一点出现，但由波函数的强度分布，可知道它在照片上各点出现的几率。---波恩解释。2).测不准原理海森堡提出测不准原理（不确定性原理），解释波动性和粒子性实验现象的矛盾起源。P动量，q位置E能量，t时间推论例，电子的单缝衍射实验h=6.626×10-34J.S---普朗克常数判定常数：h=6.626×10-34J.S---普朗克常数量子力学的应用范围体系的作用量=[能量]×[时间]=[动量]×[长度]

=[角动量]×[角度]体系的作用量与h相比拟时,经典力学不再适用。测不准原理并提供了衡量微观问题和宏观问题的界限

例一:氢原子中的电子与电子本身运动的速度相比是同一数量级.基态v~108厘米/秒，△x~10-8厘米，m=9×10-28克，h=6.63×10-27尔格秒例二:阴极射线管中的电子束,电子速度v~108厘米/秒,设测量电子速度的精度为千分之一,即△v~105厘米/秒该值在阴极射线管实验的精度要求下可以忽略.同样是电子,这种条件下,可以当作经典粒子来处理.3).互补原理波尔：一些经典概念的应用不可避免的排除另一些经典概念的应用。波动性和粒子性互补。真正的物质特性只有一个，波粒二象性。但每次测量中只可能表现出一面。电子双缝干涉实验坍缩：许多科学家相信，量子态是无法精确测量的。一旦被测量，量子物体就会发生“坍缩”，从拥有多种可能位置的状态变成类似经典物体的单一位置。1.2单个微观粒子的状态——定态薛定谔方程多质点体系动力学的普适动力学方程—拉格朗日方程拉格朗日力学哈密顿力学演变启发薛定谔方程函数H称为哈密顿量或者能量函数哈密顿正则方程哈密顿—雅可比方程一.哈密顿力学—微观粒子的运动方程二.薛定谔方程薛定谔(奥地利)

ErwinSchrodinger

(1887-1961)薛定谔的猫

1.薛定谔方程的一般表示式自由粒子非自由粒子？三维？三维能量算符自由粒子：力场中的粒子：归一化常数推论：对应的相对概率分布相同，描述相同的状态。Ψ（r，t）称为归一化波函数其中波函数满足归一化条件例一维运动的粒子，描写其状态的波函数为E和a是确定的常数，A是任意常数，求（1）归一化波函数；（2）几率分布密度；（3）粒子在何处出现的几率最大？

当粒子或系统受到外界不随时间变化的作用,即势函数V(r)不依赖时间变化-------定态.2.定态薛定谔方程=E----定态薛定谔方程最后得:波函数应满足的标准化条件波函数是有限的.波函数是单值的.波函数以及它对坐标的一阶微商是连续的.三.物理量与算符1.算符经典：基本物理量位置r、动量p、势能v量子：位置算符、动量算符

、势能算符

不确定由定态薛定谔方程看出：哈密顿量H=T+V哈密顿算符动能算符势能算符衍生算符角动量算符动能算符能量算符（哈密顿算符）力算符速度算符加速度算符基本算符2.概率波与经典物理量微观粒子的观测量=该量的平均值任一函数f的平均值可表示为：例：位置的平均值动量的平均值概率分布随时间变化规律——概率流密度由含时间的薛定谔方程得到概率流密度上式两边同乘m质量守恒定律

上式两边同乘e电荷守恒定律

上式两边同乘N粒子数守恒定律

1.一维无限深势阱2.一维线性谐振子3.氢原子4.势垒贯穿四.定态问题的几个实例熟悉微观粒子波函数的求解,分析所得结果的物理意义,初步了解微观粒子运动的主要规律。定态薛定谔方程一维无限深势阱一维线性谐振子氢原子势垒贯穿1.一维无限深势阱在Ⅱ区，U（X）=0，则定态薛定谔方程为再利用归一化条件：利用波函数连续条件：最后得：结果分析：（3）*能级分布不均匀。*能量量子化与阱宽a有密切关系。*n》时，能级密集分布，趋于经典情况。 （1）能量量子化。（2）最小能量不为零。2.一维线性谐振子将V(x)代入定态薛定谔方程，得m为振子质量，ω为振动的角频率势能渐近方程为令有最后解得：

（1）能量量子化。（2）最小能量不为零。（3）△En=hυ能量等间距分布结果分析：（4）不同的n对应不同波函数，n很大时，趋于经典情况（4）n很大时趋于经典情况

按照经典力学的观点，Ⅱ区是粒子不可能到达的区域。量子力学可以证明，即使E〈U时，粒子也有一定的几率穿过势垒而到达Ⅲ区。4、势垒贯穿相应地解分别为：结论：微观粒子的能量E〈U0时，存在穿透势垒的可能性。穿透系数由m、（U0-E）以及a决定。

势垒穿透（也称隧穿效应）是一种微观效应，是微观粒子波动性的典型表现，任意形状势垒例,各向同性的介质在外电场中的极化问题

质量为、电荷为e

的离子是在平衡位置附近作简谐振动。现沿x轴方向加一均匀电场，则离子在此方向为：五.微扰问题电中性介质的”分子”可以看成是正负电荷的复合体,在平衡位置做小振动,外场下,正负电荷平均位置发生位移,不在重合.微扰定态薛定谔方程（1）

设

（2）

（3）（4）将（2）、（3）、（4）代入（1）式，比较两端同级的量零级近似

一级近似二级近似（5）（6）（7）下面逐级求解。求解微扰问题，必须分两种情况考虑：无微扰时体系处于非简并态（非简并）（1）非简并微扰—（2）简并微扰—无微扰时体系处于简并态（是简并的）(1)求任一非简并能级k的零级近似：(如,谐振子……)代入上式，并注意到(2)求任一非简并能级k的一级近似：

将1.非简并定态微扰

则得式中，（8）两端左乘并积分，且考虑到本征函数的正交归一性