点、直线、平面(画法几何)

点、直线、平面(画法几何)第一页，共97页。投影法的基本知识一、投影法的形成根据影子现象,加以抽象,在平面上形成图像的方法,称为投影法。物体第一页第二页，共97页。投射线投射中心S物体投影面P投影投影三要素：投射线(投射中心）物体投影面第二页第三页，共97页。投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法二、投影法的分类—投射线倾斜于投影面—投射线垂直于投影面投射线相互平行—投射线相交于投影中心第三页第四页，共97页。中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。应用于透视图的画法投影特性物体位置改变，投影大小也改变度量性差，但立体感好特点：透视图第四页第五页，共97页。平行投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。正投影法投影面投影方向正投影第五页第六页，共97页。斜投影法投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影特性应用于斜轴测投影图特点：度量性较差，立体感较好斜轴测图投影面斜投影投影方向第六页第七页，共97页。三、工程上常用的四种图示方法1、透视投影图

物体按中心投影法投影到一个投影面上，所得的投影图为透视投影图。

第七页第八页，共97页。2、轴测投影图

按平行投影法将物体及其直角坐标投影到一个投影面上，所得的投影图为轴测影图，简称轴测图。

度量性较差，立体感较好第八页第九页，共97页。3、标高投影图

利用正投影法，将物体投射在一个水平投影面上得到的投影图，为了解决物体高度方向的度量问题，在投影图上画出一系列的等高线，并在等高线上标出高度尺寸（标高）。这种图主要用于地形图、土建工程图中表示地形构造和道路工程图等。第九页第十页，共97页。4、正投影图

按正投影法将物体投影到按一定要求配置的两个或两个以上的投影面上所得的图形称正投影图。度量性好，但立体感差第十页第十一页，共97页。四、三面投影及其投影规律1、三视图的形成根据形体的单面正投影无法确定物体的形状采用多面投影图。解决办法？第十一页第十二页，共97页。通过多面正投影图，能确定物体的形状第十二页第十三页，共97页。HWV投影面投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线YV正立投影面H水平投影面侧面投影面W第十三页第十四页，共97页。VWH

视图——将物体向投影面作正投影所得的图形称为视图。正面投影正立面图——水平投影侧面投影平面图——左侧立面图——第十四页第十五页，共97页。2、三视图的位置关系VWH长高宽宽前后下上前后左右第十五页第十六页，共97页。3、三视图的投影规律长对正、高平齐、宽相等三等关系：第十六页第十七页，共97页。（1）（2）（1）（2）第十七页第十八页，共97页。Pb

●●AP采用多面投影图。过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●一、点在一个投影面上的投影a

●解决办法？1、空间点A在P面上的投影唯一2、点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。2-2点的投影第十八页第十九页，共97页。HWV二、点的三面投影投影面投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直V正立投影面H水平投影面侧面投影面W第十九页第二十页，共97页。WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影a

●a●a

●A●ZYWVH2、投影面展开V面不动，H面朝下旋转90°，W面朝右旋转90°。向右翻向下翻不动aaZaa

yayaXYYO

●●az●xHW第二十页第二十一页，共97页。●●●●XYZOVHWAaa

a

点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=A到V面的距离a

ax=a

ay=z=A到H面的距离aay=a

az=x=A到W面的距离xaazay●●Zaza

XayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴三面投影及投影规律YHYW长对正高平齐宽相等第二十一页第二十二页，共97页。●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazayP72-2根据直观图作出A的三面投影图,并量出A到各投影面的距离第二十二页第二十三页，共97页。三、点的投影与坐标的关系●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazayxyzA(x,y,z)A点表示为：第二十三页第二十四页，共97页。例1：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxaz通过作45°线使a

az=aaxYY1XZO第二十四页第二十五页，共97页。课堂练习判断点的位置A点在空间B点在空间C点在V面上第二十五页第二十六页，共97页。D点H面上E点在X轴上F点在Z轴上课堂练习判断点的位置第二十六页第二十七页，共97页。五、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上b

aa

a

b

b●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYY1Z●●●●XYZOVHWAaa

a

azb

b

bBo第二十七页第二十八页，共97页。b

aa

a

b

b●●●●●●无轴投影图重点表达两点间的相对位置关系第二十八页第二十九页，共97页。六、重影点空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点不可见的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？概念：●●●●XYZOVHWAaa

a

xyzc

C(c)c

()●●●●●a

a

c

c

ac第二十九页第三十页，共97页。

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。

2-3直线的投影●●●●XYZOVHWAaa

a

azb

b

bB一、直线的投影aa

a

b

b

b●●●●●●第三十页第三十一页，共97页。直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosα●●AB●●abα⒈直线对一个投影面的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=ABAMB●a≡b≡m●●●二、直线的投影特性第三十一页第三十二页，共97页。⒉直线对投影面的各种相对位置投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面第三十二页第三十三页，共97页。⑴投影面平行线水平线与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长βγbaa

b

a

b

●●●●XYZOVHWAaa

a

azb

b

bBβγ3.各种位置直线的投影特性第三十三页第三十四页，共97页。①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。侧平线正平线γ实长实长ααβ投影面平行线投影特性：b

a

aba

b

b

aa

b

ba

第三十四页第三十五页，共97页。⑵投影面垂直线铅垂线●●●●XYZOVHWAaa

a

B(b)b

b

●a

b

a(b)a

b

第三十五页第三十六页，共97页。反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影面垂直线的投影特性:●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)第三十六页第三十七页，共97页。⑶一般位置直线投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abb

a

b

a

第三十七页第三十八页，共97页。侧垂线正平线倾斜线侧平线MNDCαγEF第三十八页第三十九页，共97页。根据投影，判断各直线为何种位置直线正垂线水平线铅垂线正平线一般位置直线侧平线第三十九页第四十页，共97页。HVXαβBAaba′b′AB实长H面投影abZB-ZAα直角三角形法两直角边：①在某投影面上的投影②两端点距该投影面的距离差斜边：直线的实长斜边与投影的夹角：直线对该投影面的夹角三、直线段的实长和对投影面的倾角第四十页第四十一页，共97页。1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB|第四十一页第四十二页，共97页。2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|yA-yB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|yA-yB||yA-yB|AB

|yA-yB|

第四十二页第四十三页，共97页。[例题1]已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

abABab|zA-zB|第四十三页第四十四页，共97页。四、直线上的点◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。思考？若点的投影有一个不在直线的同名投影上，点在直线上吗？投影特性：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

◆若点在直线上，则点分空间线段之比等于点的投影分线段的同名投影之比。即：

从属性定比性ABCVHbcc

b

a

a第四十四页第四十五页，共97页。点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。点C在直线AB上abca

b

c

①oxc

②abca

b

●ox第四十五页第四十六页，共97页。五、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

第四十六页第四十七页，共97页。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

⒉两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点满足点的投影规律。交点是两直线的共有点abcdb

a

c

d

kk

OX第四十七页第四十八页，共97页。HVCDABcdabc

d

a

b

ⅠⅡⅢⅣ1

(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4

●●两直线相交吗？d

b

a

abcdc

OX第四十八页第四十九页，共97页。abcdc

a

b

d

例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①aVHc

bcdABCDb

d

a

第四十九页第五十页，共97页。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。AB与CD不平行。例1：判断图中两条直线是否平行。②方法一：求出侧面投影如何判断？aVHc

bcdABCDb

d

a

YHYWXZO第五十页第五十一页，共97页。Ocbadd

b

a

c

X方法二：1、假设AB∥CD,则两直线组成一平面，在平面上有AD、BC直线，连线2、AD、BC直线的投影不满足平行条件，又不满足相交条件，为交叉直线，则A、B、C、D四点不共面3、AB不平行于CD第五十一页第五十二页，共97页。平行交叉平行交叉相交交叉课堂练习P122-16判断图中各直线的相对位置第五十二页第五十三页，共97页。4、两直线垂直

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角——直角投影定律∵BC⊥AB,同时BC⊥Bb∴BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab∴bc⊥ABba平面又∵BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.例BC⊥AB且BC//H面第五十三页第五十四页，共97页。d

abca

b

c

●●d例2：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.第五十四页第五十五页，共97页。一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形

2-4平面的投影第五十五页第五十六页，共97页。用迹线表示平面HWVPPvPwPHPHPwPvXOZYHYW迹线：平面与投影面的交线。第五十六页第五十七页，共97页。二、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影反映实形★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性第五十七页第五十八页，共97页。⒉平面对投影面的各种相对位置平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面第五十八页第五十九页，共97页。abca

c

b

c

b

a

（1）投影面垂直面类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？YHYWXZO第五十九页第六十页，共97页。a

b

c

a

b

c

abc⒉投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。YHYWXZO第六十页第六十一页，共97页。a

b

c

a

c

b

abc⒊一般位置平面三个投影都类似。投影特性：YHYWXZO第六十一页第六十二页，共97页。1、平面上取点先找过该点的面上的一条已知直线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。k●

面上取点的方法：首先面上取线d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解三、平面上的点和直线②●abca

b

k

c

XOb①acc

a

k

b

●XO第六十二页第六十三页，共97页。判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。2、平面上的一般直线第六十三页第六十四页，共97页。abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。oxabcb

c

a

ox第六十四页第六十五页，共97页。作出平面图形的第三面投影,并指出对投影面的相对位置正垂面(1)第六十五页第六十六页，共97页。第六十六页第六十七页，共97页。第六十七页第六十八页，共97页。第六十八页第六十九页，共97页。第六十九页第七十页，共97页。例4在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？3、平面上的投影面平行线——既在平面上，又平行于某个投影面第七十页第七十一页，共97页。a

abb

两点之间距离a

abb

c

c三角形实形a

abb

c

cdd

直线与平面的交点a

b

c

d

abcd

两平面夹角2-6投影变换方法第七十一页第七十二页，共97页。1、直线与平面平行

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。2.3直线、平面与平面的相对位置例1：过M点作水平线MN平行于平面ABC。●●a

c

b

m

abcmn

d′dn一、平行第七十二页第七十三页，共97页。2、两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef第七十三页第七十四页，共97页。二、相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。交点是直线投影可见与不可见部分的分界点。BKA第七十四页第七十五页，共97页。M

两平面的交线是一条直线，交线是两平面的共有线。交线是平面投影可见与不可见部分的分界线。FKNL要讨论的问题：●求交点、交线

●判断直线、平面投影的可见性。第七十五页第七十六页，共97页。b

ba

acc

m

mnn

例3：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk

1、作出交点K的投影第七十六页第七十七页，共97页。2、判断直线投影的可见性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。

第七十七页第七十八页，共97页。()例4、求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。k21k'2'1'第七十八页第七十九页，共97页。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)n●m●●例5：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴两投影面垂直面相交，交线为投影面垂直线。第七十九页第八十页，共97页。b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵第八十页第八十一页，共97页。c

d

e

f

a

b

abcdef⑶n●n

●m

●k●m●k

●互交第八十一页第八十二页，共97页。三、垂直1．直线与平面垂直

若一平面为投影面垂直面，则与这个平面垂直的直线一定是该投影面的平行线。

edd'e'OXbcac'b'a'第八十二页第八十三页，共97页。

2.

平面与平面垂直

若两空间平面垂直相交，且两平面都垂直于某一投影面时，两平面的积聚性投影一定互相垂直，且交线为该投影面的垂直线。

f(e)e'f'(b)ad（c）c'XOb'd'a'第八十三页第八十四页，共97页。

例6已知点D和平面△ABC的投影，求点D到平面△ABC的距离及投影。e'ecc'XOa'b'abd'd第八十四页第八十五页，共97页。★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？

换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。一、概述第八十五页第八十六页，共97页。VHABa

b

ab新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1第八十六页第八十七页，共97页。VHAa

a

axX

旧投影体系X—VH

新投影体系P1HX1—A点的两个投影：a，a

A点的两个投影：a，a1点的换面X1P1a1ax1

二、换面法的基本作图方法第八十七页第八十八页，共97页。ax1

VHXP1HX1a

aa1VHA

a

axXX1P1a1ax1

aa1

X1

a1ax1=a

ax

点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa

一般规律：

点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.第八十八页第八十九页，共97页。

XVHaa

ax更换H面

VHXP1HX1由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aa

X1P1H

a1axax1ax1更换V面●a1作图方法：

..第八十九页第九十页，共97页。先把V面换成平面P1，P1H，得到中间新投影体系:P1HX1