第四章-大数定律与中心极限定理答案

第四章大数定律与中心极限定理答案一、单项选择设为标准正态分布函数，，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（）（A）（B）Ф（C）（D）答案：D二、填空1.设的期望和方差分别为和，则由切比雪夫不等式可估计。答案：2．设随机变量和的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有________．答案：3．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在6到18之间的概率为________．与3到21之间解由题意得，由切比雪夫不等式得4．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在3到21之间的概率为________．解由题意得，由切比雪夫不等式得5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．解设表示在200个新生婴儿中男孩的个数,则其中,则由切比雪夫不等式得6．用切比雪夫不等式估计下题的概率:废品率为0.03,求1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率为________.答案：0.7097．用切比雪夫不等式估计下题的概率:求200个新生婴儿中,男孩多于80个且少于120个的概率为________.(假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.)答案：0.8754已知生男孩的概率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率.解设为10000个新生婴儿中男孩的个数,则其中.10000个新生婴儿中女孩不少于男孩,即由DeMovire-Laplace中心极限定理,得新生婴儿中女孩不少于男孩的概率5试利用(1)切比雪夫不等式;(2)中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数,使得出现”正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.解设表示投掷一枚均匀硬币n次出现”正面向上”的次数,则则其中,则(1)利用切比雪夫不等式求解由此得(2)利用中心极限定理求解由DeMovire-Laplace中心极限定理得,近似服从正态即所以,由此得查正态分布表得因此取6设某保险公司的老年人寿保险一年有10000人参加,每人每年交40元.若老人死亡,公司付给家属2000元.设老人死亡率为0.017,试求保险公司在这次保险中亏本的概率.解设为老人死亡人数,则其中由题意,得保险公司在这次保险中亏本当且仅当即由DeMovire-Laplace中心极限定理,得保险公司亏本的概率7．设某电话交换台的呼叫次数服从泊松分布且每秒钟平均被呼叫两次,试求在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率.解设第秒钟内被呼叫的次数为由为服从参数为2的泊松分布,且独立同分布,有为100秒钟被呼叫的总次数,记，则由独立同分布的中心极限定理,得所以在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率为8．抛掷一枚硬币，以表示n次抛掷中出现正面的次数，问要抛掷多少次，才能以0.99的概率保证出现正面的频率与概率的偏差小于0.01？试分别用切比雪夫不等式及中心极限定理求出结果．解设表示在n次抛掷中出现正面的次数,则其中,则(1)由切比雪夫不等式得(2)利用中心极限定理求解由DeMovire-Laplace中心极限定理得,近似服从正态即所以,由此得查正态分布表得9．设某厂的金属加工车间有80台机床，它们的工作是相互独立的，设每台机床的电动机都是2KW的，由于资料检修等原因，每台机床平均只有70%的时间在工作，试求要供应这个车间多少KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电？解设表示在80台机床中正在工作的机床台数,则其中则设应供应这个车间KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.由中心极限定理得,，解得，因此至少应供应这个车间132KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.10．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解设应该检查个产品．设表示在被检查的个产品中次品的个数,则其中则.由中心极限定理得,.解得，因此至少应检查147个产品，才可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.四、证明题1．设随机变量相互独立，且每一随机变量有有限的方差，设，试证，对，有或证相互独立，由切比雪夫不等式，对，有两边夹，。2．试描述同分布的中心极限定理。并应用同分布的中心极限定理证明定理，即设是次贝努利试验中成功的次数，在每次试验中成功的概率为，试证，对，一致地有解：定理（同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且有，，则标准化的随机变量之和的分布函数，对，一致地有定理的证明记，而，，，且相互独立，由同分布中心极限定理可知，