《数系的扩充和复数的概念》教案、导学案、课后作业

《7.1.1数系的扩充和复数的概念》教案【教材分析】本节作为复数一章的开篇，主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数的相关概念、分类、相等条件，代数表示和几何意义.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2.理解复数的概念、表示法及相关概念．3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．数学学科素养1.数学抽象：复数及相关概念；2.逻辑推理：复数的分类；3.数学运算：复数相等求参.【教学重点和难点】重点：复数的分类及复数相等的充要条件．难点：复数的概念.【教学过程】一、情景导入提问：1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？2．若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本68-69页，思考并完成以下问题1、实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？2、复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示]四、典例分析、举一反三题型一复数的概念例1下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.解题技巧（复数概念的理解）(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．跟踪训练一1．下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小．【答案】①．【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．题型二复数的分类例2实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【答案】(1)x＝5时，z是实数．(2)x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．【解析】(1)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．(2)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．解题技巧：(复数分类的注意事项)判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．跟踪训练二1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．【解析】(1)若z为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m＝－2或m＝－1，))解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．(2)若z是虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m≠－2且m≠－1，))解得m≠－2且m≠－1.∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2＋2m＋1＝0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1＝1，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝－2，,m≠－1且m≠－2.))解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．题型三复数相等的充要条件例3根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))解题技巧（复数相等问题的解题步骤）复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．跟踪训练三1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．【答案】1或2.【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.7.1.1数系的扩充和复数的概念1.复数及其相关概念例1例2例32.复数相等的充要条件3.复数分类七、作业课本70页练习，73页习题7.1的1-3题.【教学反思】本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.通过使学生体会数系的扩充是生产实践的需要，是数学学科自身发展的需要，从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类等.进而对本节课的知识掌握的更加牢固.《7.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案【学习目标】知识目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2.理解复数的概念、表示法及相关概念．3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．核心素养1.数学抽象：复数及相关概念；2.逻辑推理：复数的分类；3.数学运算：复数相等求参.【学习重点】：复数的分类及复数相等的充要条件．【学习难点】：复数的概念.【学习过程】一、预习导入阅读课本68-69页，填写。1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔_____________________.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？_______________________________________________________.小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ()(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．()(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()2．在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A．0B．1C．2 D．33．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.【自主探究】题型一复数的概念例1下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3跟踪训练一1．下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小．题型二复数的分类例2实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练二1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．题型三复数相等的充要条件例3根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.跟踪训练三1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．【达标检测】1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A．eq\r(2)，1 B．eq\r(2)，5C．±eq\r(2)，5 D．±eq\r(2)，12．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝()A．1 B．2C．3 D．03．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________.4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为________．5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.答案小试牛刀1.(1)×(2)√(3)√2．C.3．5.4.(1)eq\f(3,2)(2)－1自主探究例1【答案】A【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.跟踪训练一1．【答案】①．【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．例2【答案】(1)x＝5时，z是实数．(2)x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．【解析】(1)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．(2)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．跟踪训练二1．【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．【解析】(1)若z为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m＝－2或m＝－1，))解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．(2)若z是虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m≠－2且m≠－1，))解得m≠－2且m≠－1.∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2＋2m＋1＝0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1＝1，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝－2，,m≠－1且m≠－2.))解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．例3【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))跟踪训练三1．【答案】1或2.【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.当堂检测 1-2.CA3.-1-14.25.【答案】(1)m＝5或－3；(2)m≠5且m≠－3.(3)m＝－2.(4)m＝－3.【解析】由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15≠0，,m2＋5m＋6＝0.))时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.(4)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15＝0，,m2＋5m＋6＝0.))时，复数z是0，∴m＝－3.《7.1.1数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数的虚部为（）A．2 B．1 C．-1 D．-i2．适合的实数x，y的值为（）A．， B．，C．， D．，3．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数的值为()A．4 B．3 C．2 D．14．若，（为虚数单位）为实数，则的值为（）A．0 B．1 C． D．1或5．下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；②若a，b∈R且a>b，则a+i>b+i；③若x2+yA．0B．1C．2D．36．以复数的虚部为实部，的实部为虚部的复数是________.7．若是实数，是纯虚数，且，则，的值为______.8．（1）已知，其中i为虚数单位，求实数x，y的值；（2）已知，其中i为虚数单位，求实数x、y的值.能力提升9．若复数为纯虚数，，则（）A． B． C． D．或10．若不等式成立，则实数的值为______.11．已知复数，当实数取什么值时，（1）复数是零；（2）复数是实数；（3）复数是纯虚数.素养达成12．已知复数，实数a取什么值时，z是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数的虚部为（）A．2 B．1 C．-1 D．-i【答案】C【解析】复数的虚