模块5.1 多自由度系统振动(a)（动力学方程）《振动力学》教学课件

《振动力学》✩精品课件合集振动力学

CAI多自由度系统振动2018年10月12日2kcm例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动《振动力间学的》

相互影响要求：对轿车的上下振动进行动力学建模分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼优点：模型简单缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之多自由度系统振动2018年10月12日k2c2m车m人4《振动力学》k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车5《振动力学》m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确2018年问10月题12日：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动教学内容2018年10月12日《振动力学》6多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统的动力学方程作用力方程刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换2018年10月12日《振动力学》7多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程作用力方程几个例子例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》8解：

x

1、

x

2坐标原点：取m1、m2

的静平衡位置设某一瞬时：

m1、m2上分别有位移受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1

x

1m1x1、x2 加速度P2(t)k2(x1-x2)m2

x

2m2k3x2m1m2k1k2P1(t)x1 P2(t)x2k3多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》达朗贝尔惯性力92 1 2 3 3 2

2 2

m

x

k (x

x )

k

x

P

(t)建立方程：

m1

x

1

k1x1

k2(x1

x2)

P1

(t)

0

2 2 3

2

2

2

2

P

(t)x

x1

P1(t)

m x

k k

k矩阵形式：

m1

0

x

1

k1

k2

k2力量纲坐标间的耦合项P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1

x

1m1P2(t)k2(x1-x2)m2

x

2m2k3x2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》10例2：转动运动两圆盘转动惯量

I1

,

I

2轴的三个段的扭转刚度k

1

,

k

2

,

k

3试建立系统的运动微分方程k

11I

22Ik

2k

3M1

(t)2M

(t)

1外力矩

M1

(t),

M

2

(t)2018年10月12日《振动力学》11多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程建立坐标：

1,

2设某一瞬时：

角位移角加速度

1

,

2受力分析：

1kI1

22I

2k

3kM1

(t)M

2(t)

1k

1

11

1I

1M

(t)k

2(

1

2

)2

2I

M

2(t)k

3

3

1

)k

2

(

2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程解：达朗贝尔惯性力偶2018年10月12日《振动力学》12建立方程：

21

M

(t)2 2

2

2

3

3

I

k (

)

k

I1

1

k

1

1

k

2

(

1

2

)

M

1

(t)

02

12

k矩阵形式：

I1 0

1

M1(t)

3

2

M

2(t)

k

2 k

2

k

k

2

1

k

2I

坐标间的耦合项k

1

11

1I

M1

(t)k

2(

1

2

)2

2I

M

2(t)k

3

32018年10月12日《振动力学》13

1

)k

2

(

2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

011

221 1

1

P2

(t)

P

(t)

x

k3

x2

k2 k2m2

x

2

m 0

x

k

k

k

1

M

2(t)

M

1

(t)

I1

0

1

k

2

k

3

2

k

2

k

2

k

2

k

1I2

2

0

多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的m1m2k3k1 k2k

1I

1I

2k

2k

3M1(t

)M2(t

)多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程P1(t) P2(t)2018年10月12日《振动力学》14

0

3

2

2

22

2

x P

(t)

k2

x1

P1

(t)

x

k k2

km

m1 0

x

1

k1

k2

02

12

k

I1 0

1

M1(t)

3

2

2

k

2 k

2

k

M (t)

k

2

1

k

2I

可统一表示为：M X

K X

P

(t)小结：例1：例2：作用力方程加速度向量质量矩阵位移向量刚度矩阵激励力向量多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程n

个自由度，则各项皆为

n

维矩阵或列向量20若18年系10统月12有日《振动力学》15多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程n

个自由度系统:M X

K X

P

(t)

m ...m

...m

.....................

m ...m ...m21 2

j 2n

m11...m1j

...m1nM

2

P (t

)

P1

(t

)

P(t

)

nj nn

k

k ...

k ...

k

.......... .......... .

n1...

k

2

j

...

k

2

n21

k11

...

k1

j

...

k1nK

X

[x

,

x ,...,

x ]T

Rn1 2 nn1 nj nn

n

nn

n

Pn

(t

)

n

1质量矩阵第

j

列2018年10月12日《振动力学》16刚度矩阵第

j

列广义坐标列向量MX

KX

P

(t)作用力方程：X

Rn当

M、K

确定后，系统动力方程可完全确定M、K

该如何确定？先讨论

K加速度为零X

0KX

P

(t)假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程刚度矩阵和质量矩阵2018年10月12静日《振动力学》力平衡准静态外力列向量1717作用力方程：X

RnMX

KX

P

(t)KX

P

(t)假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第

j

个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程m1m2k3k1x1例如：F1k2

F2

F2

k2

F1

k1

k2

x2

0

x1

1,...,

x ]T

[0,...,0,1,0,...,0]Tx2j

1

n即

：

X

[x1

,...,

x

j

1

,

x

j

,

xF

kx2018年10月12日

《振动力学》2018年10月12日《振动力学》18MX

KX

P

(t)作用力方程：X

Rn

KX

P(t)假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第

j

个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移n,...,

x ]T

[0,...,0,1,0,...,0]Tj

1X

[x1

,...,

x

j

1

,

x

j

,

x

0

0

0

0

.....................

1

()

21

2n

k

n1

...

k

nj

...

k

nnk

21

...

k

2

j

...

k

k11

...

k1

j

...

k1n

Pn

(t

)

P(t

)

P

(t

)

代入

：

P

t多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

knj

k

2j

k1j

2018年10月12日19

knj

k2j

k1j

1

0

0

k

n1

...

k

nj

...

k

nn

.....................

1

k11

...

k1j

...

k1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

k

21

...

k

2

j

...

k

2

n

0

所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵

K

的第

j

列kij（i=1~n）

：在第

i

个坐标上施加的力多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

0

考虑：这样的外力列阵是否唯一？x1x2k1F1k2F2k312

1

1 2 1

F

k

k

x

1

21

k2 ?

F2

k2

x2

0k

k ?

K

《振动力学》

knj

k2j

k1j

1

0

0

k

n1

...

k

nj

...

k

nn

.....................

1

k11

...

k1j

...

k1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

k

21

...

k

2

j

...

k

2

n

0

所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵

K

的第

j

列kij（i=1~n）

：在第

i

个坐标上施加的力结论：刚度矩阵

K

中的元素

kij

是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位位移而相应于第

i

个坐标上所需施加的力多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

0

2018年10月12日《振动力学》21

knj

k2j

k1j

1

0

0

k

n1

...

k

nj

...

k

nn

.....................

1

k11

...

k1j

...

k1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

k

21

...

k

2

j

...

k

2

n

0

结论：刚度矩阵

K

中的元素

kij

是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位位移而相应于第

i

个坐标上所需施加的力多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

0

第j个坐标产生单位位移刚度矩阵第j列系统刚度矩阵j=1~n2018年10月12日《振动力学》22确定2018年10月12日22作用力方程：X

Rn讨论

MMX

√KX

P

(t)MX

P(t)

0

0

0

1

mn1...mnj

...mnn

m11...m1j

...m1n

Pn

(t)

P

(t)

P(t)

P2(t)

m21...m2j...m2n

多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第

j

个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度

0

《振动力学》

mnj

.....................

1

m2j

m1j

23

mnj

m1j

1

0

0

0

mn1...mnj

...mnn

..........

..........

.

1

m11

...m1j...m1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

m21

...m2

j

...m2

n

m2j

这组外力正是质量矩阵

M

的第

j

列多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

0

考虑：这样的外力列阵是否唯一？m1m2k3x1x2F1k1 k2

F2

2018年10月

12日2F

0

F1

m1

2

x

0

x

1

1F

ma

0 ?

?

M

m1《振动力学》24

mnj

m1j

1

0

0

mn1...mnj

...mnn

..........

..........

.

1

m11

...m1j...m1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

m21

...m2

j

...m2

n

m2j

0

这组外力正是质量矩阵

M的第

j

列结论：质量矩阵

M

中的元素

mij

是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位加速度而相应于第

i

个坐标上所需施加的力多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

0

第j个坐标单2018年位10加月1速2日度质量矩阵第j列系统质量矩阵j=1~n《振动力学》确定多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》25刚度矩阵

K

中的元素

kij是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位位移而相应于第

i

个坐标上所需施加的力质量矩阵

M

中的元素mij是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位加速度而相应于第

i

个坐标上所需施加的力mij、kij又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态令多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

02

k

k1

k2

k2使m1产生单位位移所需施加的力：

k11

k1保持m2不动所需施加的力：

k21

k2保持m3不动所需施加的力：

k31

0X

1

0

0

T

只使m1产生单位位移，m2和m3不动在三个质量上施加力能够使得

0

2

x3

x1

1

X

x

0

系20统18刚年1度0月矩12阵日

的第一列26《振动力学》2018年10月12日27例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态令多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

?

?

2

k1

k2 ? ?

刚度矩阵：

K

k ?0 ?k2使m1产生单位位移所需施加的力：

k11

k1保持m2不动所需施加的力：

k21

k2保持m3不动所需施加的力：

k31

0X

1

0

0

T

只使m1产生单位位移，m2和m3不动《振动力学》例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

2 3 5 6

k3k2只使m2产生单位位移，m1和m3不动在三个质量上施加力

k

0

2

x3

x1

0

k

k

k

能够使得

X

x

1

系统201刚8年度10矩月1阵2日的第二列28《振动力学》令X

0

1

0

T

k3

k5

k6使m2产生单位位移所需施加的力：

k22

k2保持m1不动所需施加的力：

k12保持m3不动所需施加的力：

k32

k2

k32018年10月12日29例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程只使m2产生单位位移，m1和m3不动令X

0

1

0

T

k3

k5

k6使m2产生单位位移所需施加的力：

k22

k2

?

0?

?

63 52 2k3k

k

k2

k3k2保持m1不动所需施加的力：

k12保持m3不动所需施加的力：

k32

k1

k2刚度矩阵：

K

k k

k《振动力学》例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程

30k只使m3产生单位位移，m1和m2不动在三个质量上施加力

2

x1

0

能够使得

X

x

0

令

k3

k4

x3

1

系2统018刚年1度0月矩12阵日的第三列《振动力学》30X

0

0

1

T保持m1不动所需施加的力：

k13

0保持m2不动所需施加的力：

k23

k3使m3产生单位位移所需施加的力：

k33

k3

k4例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程只使m3产生单位位移，m1和m2不动令X

0

0

1

T保持m2不动所需施加的力：

k23

k3使m3产生单位位移所需施加的力：

k33

k3

k4

362 50k

kk2

k3

k保持m1不动所需施加的力：

k13

0

k1

k2

k2刚度矩阵：

K

k

k3

k4

k302018年10月12日《振动力学》31例：写出

M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考虑静态令X

1

0

0

Tk11

k1

k2k21

k2k31

0令k12

k2k22

k2

k3

k5

k6k32

k3令X

0

1

0

TX

0

0

1

T

0k13k23

k3k33

k3

k4

36532200k3

k4

k3k

k

k

k

kk2

k1

k2刚度矩阵：

K

k多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》32只考虑动态令

X

1

0

0

Tm1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零所需施加的力：F1

m1a1

m1

1

m1

m11所需施加的力：F3

m3a3

0

m31

0

0

F2

m2a2

0

m21

m1

在三个质量上施加力能够使得

0

1

2X

x

x

3

0

x

1

m1产生单位加速度的瞬时，m2

和

m3

尚没有反应2018年10月12日《振动力学》系统质量矩阵的第一列34只考虑动态令

X

1

0

0

Tm1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零所需施加的力：F1

m1a1

m1

1

m1

m11所需施加的力：F2

m2a2

0

m21F3

m3a3

0

m31m1产生单位加速度的瞬时，m2

和

m3

尚没有反应质量矩阵：

?

0?

m1 ? ?

M

0 ??2018年10月12日《振动力学》35m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k

?

0

0?

0 ?

21

mM

0 m多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程同理令

X

0

1

0

T2018年10月12日《振动力学》36同理m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k

3

210

00

m

m 0 0

M

0 m多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程令

X

0

1

0

T2018年10月12日《振动力学》37令

X

0

0

1

T0 0

T令X

11

m21m

031m

0有：

m111222213233m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k20

00

m3

m1 0 0

质量矩阵：

M

0 m多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程令X

010

T有：m

0m

mm32

0令X

001

T有：m

0m

0m33

m2018年10月12日《振动力学》382018年10月12日《振动力学》

36532200k3

k4

k3k2

k1

k2K

k k

k

k

k

k20

00

m3

m1 0 0

M

0 m

000

0

022

3653222

2

P3

(t)

P1(t)

x1

k3

k4

x3

k3k

k

k

k

k

x

P

(t)

k2

k1

k2

m1 0m3

x

3

m 0

x

k0

x

1

运动微分方程：m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

kMX

KX

P(t)多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程外力38列阵矩阵形式：21m,

mc1,

c21 2I ,

I例：双混合摆质心绕通过自身质心的z

轴的转动惯量两刚体质量h1I1

C1C2lxy求：以微小转角

1、

2

为坐标，写出在x-y平面内摆动的作用力方程I2

1

2 h2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》40受力分析Ih11

C1C2lxyI21

2 h2m1h1

1m

g1m

g2I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2xy多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》412018年10月12日令

1

1，

2

0y解：先求质量影响系数I1h1C1C2lxI2

1

2 h2m

g1m

g2m1h1

1I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程整体对B取矩：《振动力学》m11m21m1h1Im2l

1

1

2

01AB则需要在两杆上施加力矩m11 m211

1 2 2 21111m

I下摆对A取矩：

m21

m2lh2问：为什么不考虑重力？示意图，实际铅垂21

11

ml42

1

mh

2

m

h

2

ml(l

h)

m

I42解：令

1

0，

2

1多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2Im2

h2

1

0

2

1AByI1h1C1C2lx2I

1

2 h2m

g1m

g2m1h1

1I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2

m2h2(l

h2)

m22

I22 2222mh

2

I下摆对A取矩：

m20整18年体10对月1B2日取矩：

m12则需要在两杆上施加力矩

m12m22

m2

lh2m12《振动力学》m222018年10月12日43令

1

1，

2

0221ml

2

I

mh21 1

1m

I

mh2

ml(l

h)

m11 1 1

1 2 2m21

m2

lh2令

1

0，

2

1m22m122

I2

m2h2

I

2

m2

h2(l

h2

)

m22

m2

lh2

2 2

22 22 21I

mh

2m

lhm

lhmh2

ml

21

1 2

IM

质量矩阵：多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程《振动力学》求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数令

1

1，

2

0yI1h1C1C2lxI2

1

2 h2m1h1

1m1

gm2

g1

I1

2 2I

m2(l

1

h2

2

)多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程mg1m2

g

1

1

2

0B则需要在两杆上施加力矩k11 k2111

m1gh1

m2

gl

0201下8年摆10月对12日A取矩：《振动力学》整体对B取矩：k11k2145kAk21令

1

0，

2

1

m2

gh2

m2gh2

k22

0多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程m2

g

1

0

2

1m1

gAByI1h1C1C22lxI2

12

hm

g1m

g2m1h1

1I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2则需要在两杆上施加力矩k12 k22下摆对A取矩：k22整体对B取矩：k12k122018年10月12日《振动力学》4622k令

1

1，

2

0k21

0k11

m1gh1

m2

gl令

1

0，

2

1k22

m2

gh2

m2gh2

k22

0k12

2 2

0mgh

(m1h1

m2l)g 0刚度矩阵：

K多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》47

2 2

21

10mgh

(m

h

m

l)g 0K

2 2

22 22 21I

mh

2m

lhm

lhmh2

ml

21

1 2

IM

01

2 2 2

0

1

1

22

1

2 2

22 22 21

0

m

gh

I

mh

2m

lhm

lhmh2

ml

21

1 2

I

(mh

m

l)g 0运动微分方程：yIh11

C1C

2lxI21

2

h2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》48例：每杆质量

m杆长度

l水平弹簧刚度

k弹簧距离固定端

a求：以微小转角

1、

2

为坐标，写出微摆动的运动学方程1

2

kaO1O2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》49双刚体杆则需要在两杆上施加力矩解：令：

1

1

2

0k11 k21分别对两杆

O1、O2

求矩：211 21k

1mgl

ka2 k

ka2则需要在两杆上施加力矩令：

1

0

2

11222k k分别对两杆

O1、O2

求矩：222k

1mgl

ka22k12

ka1

02

1aOOmgmg

1

1

2

0aO1mgmgka

1多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程11kO2

k211

k12ka

12k222018年10月12日《振动力学》50112k

1mgl

ka221k

ka2刚度矩阵：22k

1mgl

ka2212k

ka2

2212mgl

ka

kaka2

1

mgl

ka2K

2

1

1

2

0aO1Omgmgk11ka

1212k

1

0

2

1aO1mgmgk21ka

122O2k多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》51令：则需要在两杆上施加力矩

1

1

2

011211 1

131m

I

ml

m21

0令：m2222 2223则需要在两杆上施加力矩

m121

mlm

I

12m

0

1

0

2

1

2100ml

质量矩阵：

1

ml2M

321m m1

12

0aO1O2mgmg

1

0

2

1aOOmgmg多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程11kmm2112k1

m22

32018年10月12日《振动力学》522

m

2212mgl

ka

ka

1mgl

ka2

ka2K

2运动学方程：

13

0ml2

1

ml2 0M

3

0

0121

0

32

122

122

mgl

ka

kaka2

1

mgl

ka2ml

1

ml2 0

1

2

kaO1O2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2

018年10月12日3《振动力学》

253例：两自由度系统摆长

l，无质量，微摆动求：运动微分方程xm1k1

m2k2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》54解：

刚度矩阵

0令：

x

1k11

(k1

k2

)

1

k1

k2k21

0多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程x方向力平衡A点力矩平衡x

1m1k1m2

gk2

刚度矩阵第一列：

0

k1

k2

需要施加的力和矩11kk21

0Ax静态平衡k11 k21受力：

弹性力

重力2018年10月12日《振动力学》55

1令：

x

0k22

m2

g

l

sin

m2

gl多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程x方向力平衡k12

(k1

k2

)

0

0A点力矩平衡刚度矩阵第二列：需要施加的力和矩k12 k22m1k1

1m2

gk2x

0Ak1222k

m

gl

2

0x2018年10月12日《振动力学》56多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程xm1k1

m2k2

2018年10月12日《振动力学》57

刚度矩阵第一列：

0

k1

k2

刚度矩阵第二列：

m

gl

2

0系统刚度矩阵：

2

21k

k 00 m

gl

K

多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程m11惯性力m2

x

m1k1

0m2

gk2

x

1m1

x

惯性力质量矩阵令：

x

1

0需要施加的力和矩m21瞬时动态m11 m21达朗贝尔惯性力A质量块加速度

x

杆加速度分析A点加速度

x

x

B为杆上定点2

l

l

x

x

B AB

x

加速度2018年10月12日《振动力学》58达朗贝尔惯性力m21

(m2

x

)

l

m2l多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程m11惯性力m2

x

m1k1m2

gk2

x

1m1

x

m21

0惯性力A求解质量矩阵

x

1

0系统水平方向力平衡m11

(m1

m2

)

x

m1

m2杆对A点力矩平衡2018年10月12日《振动力学》592018年10月12日59

x

1

0m11

(m1

m2

)

x

m1

m2m21

(m2

x

)

l

m2l

1令：

x

0m1k1m2

gk2

x

0m12m22

1多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程m1k1m2

gk2

x

1m11m21

0m2

x

惯性力m

x

1惯性力BA

x

0

x

B

1

lB A

2

lx

x

l达朗贝尔惯性力m2

x

B

m2l《振动力学》2018年10月12日60

x

1

0m11

(m1

m2

)

x

m1

m2m21

(m2

x

)

l

m2l多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程m1k1m2

gk2

x

1m11m21

0惯性力m2

x

m

x

1惯性力m1k1m2

gk2

x

0m12m22

1《达振朗动力贝学尔》惯性力m2

x

B

m2l水平方向力平衡：

m12

m2l杆A点力矩平衡：

m

ml

222 22018年10月12日61m21

m2lm11

m1

m2 m12

m2lm

ml

222 2

2

2

21 2m

l m

lm

m m2l

质量矩阵：

M

xm1k1

m2k2刚度矩阵：

2

0 m

gl

k1

k2 0K

运动微分方程：

0

02

212

2

x

0

mgl

k

k

0xm2l m2l

m1

m2 m

l

多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程《振动力学》2018年10月12日62建立动力学方程的影响系数法《振动力学》刚度矩阵：

静态刚度矩阵

K

中的元素

kij是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位位移而相应于第

i

个坐标上所需施加的力质量矩阵：

动态质量矩阵

M

中的元素mij是使系统仅在第

j

个坐标上产生单位加速度而相应于第

i

个坐标上所需施加的力多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程小结：多自由度系统作用力方程：

MX

KX

P(t)力的量纲63以一个例子说明位移方程的建立m1 m2P1 P2无质量弹性梁上有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化）假设

P1、P2是常力 以准静态方式作用在梁上梁只产生位移（即挠度），不产生加速度2018年10月12日m1、m2《取振动质力学量》的静平衡位置为坐标

x1、x2

的原点多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反x1x264（1）P1

1、P2

0 时m1位移：x1

f11m2位移：

x2

f21（3）P1、P2

同时作用m1位移：

x1

f11P1

f12

P2m2位移：x2

f21P1

f22

P22018年10月12日f11f21P1=1f12 f22（2）P1

0、P2

1

时m1位移：x1

f12m2位移：

x2

f22P2=1x1m1x2m2P1 P2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程《振动力学》1P、P

同时作用时：2x1

f11P1

f12P2x2

f21P1

f22

P2矩阵形式：

X

FP

2

xX

x1

21 22

f

fF

f11 f12

2

2018年1P0月12日

P1

P

柔度矩阵物理意义：系统仅在第

j 个坐标受到单位力作用时相应于第

i个坐标上产生的位移65fijf11f21P1=1f12f22P2=1m1

x1 x2柔度影响系数m2P1 P2多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程《振动力学》X

FP当

P1、P2

是动载荷时集中质量上有惯性力存在

2 2

22221

2

P(t)

m

xf ff12

x

x1

f11

P1(t)

m1

x

1

2

2

x

2

21 f

22

P2

(t)

0 m

f12

P1

(t)

m1

f11

x

f

x1

0

x

1

x1x2m1

x

1m2

x

2m1 m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程P1 P2m1 m2X

F(P

MX

)2018年10月12日《振动力学》位移方程67

2

2221

2

P

P1

fff12

x

x1

f11m2

x

2

m1 m2

多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程P1(t) P2(t)也可按作用力方程建立方程：MX

KX

PKX

P

MX

若K非奇异m1

x

1位移方程：X

F(P

MX

)FMX

X

FP柔度矩阵与刚度矩阵的关系：X

K

1

(P

MX

)F

K

1FK

I

2

2018年10月12日《振动力学》68

x

X

x1

P

(t)

2

P

P1(t)

刚度矩阵对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在应当注意：I

1I

2k

m1m2k1 k2m3原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵

K

奇异位移方程不适用于具有刚体自由度的系统2018年10月12日《振动力学》69多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程例：

求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程梁不计质量，抗弯刚度EJx1x2l/3l/3l/3m1 m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》702018年10月12日《振动力学》706EJlABf

ab (l2

a2

b2

)柔度影响系数：

f11

f

22

8

f

7

ff

21

f12l

3f

486EJ

7

f 8f

7f

2

2

2

2

x7

f 8f

P

0 m

8

f 7

f

P1

m1x

x1

0

x

1

柔度矩阵：

F

8

f位移方程：x1x2P=1labAB多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程P1(t) P2(t)m1 m2l/3 l/3 l/3X

F(P

MX

)由材料力学知，当B点作用有单位力时，A点的挠度为：2018年10月12日《振动力学》71例：

求柔度阵

0k3

k3

k1

k2

k2 0

k

k

2 3k3K

k2131k

1f11

f21

fm1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（1）在坐标

x1

上对质量

m1

作用单位力系统在坐标

x1、x2、x3

上产生位移:（2）在坐标

x2

上对质量

m2

作用单位力22k1 k2f

1

1112kf

11 232k kf

1

1（3）在坐标

x3

上对质量

m3

作用单位力13f1 1 223k k kf

1

1

1333k1 k2 kf

1

1

1多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程2018年10月12日《振动力学》72111kf

1121kf

1131kf

122f

1

1112kf

132f

1

1113kf

11 223k kfk1 k2

1

131 233k k kfk1 k2

1

1

1

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

k3

k1 k2 k1 k2

k1k1 k21

1k1 k2

k11k1k

k柔度矩阵：

F

1可以验证，有：FK

Im1m2k1k2m3k3x1x2x3

21 200

k3

k

k

kK

k k

k

k

2 2 3 3k3多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程小结：2018年10月12日《振动力学》74多自由度系统的位移方程：FMX

X

FP位移的量纲柔度矩阵：柔度矩阵fij的含义为系统仅在第

j

个坐标受到单位力作用时相应于第

i

个坐标上产生的位移柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程n

阶方阵

A

正定y

0并且等号仅在 时才成立yTAy

0是指对于任意的

n

维列向量

y，总有成立如果y

0

时，等号也成立，那么称矩阵

A

是半正定的根据分析力学的结论，对于定常约束系统：2动能：T

1

X

T

MX

2势能：V

1

X

T

KX多自由度系统振动/

多自由度系统的动力学方程质量矩阵和刚度矩阵的正定性质标量2018年10月12日《振动力学》75A

>0A