第十章 弯曲内力

弯曲内力§10-1引言一、弯曲变形的实例qP1.受力特点：外力垂直于杆件的轴线。2.变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线以弯曲变形为主的杆件——梁弯曲的概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。纵向对称面变形前的轴线变形后的轴线横截面对称轴梁的截面对称轴与轴线构成的平面纵向对称平面：若梁上的外载荷都作用在此对称平面内，则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内的平面曲线。——这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。发生平面弯曲的条件：截面具有纵向对称平面；外力作用于纵向对称平面内。材料力学——主要研究平面弯曲的情形。二、平面弯曲的概念§10-2梁的计算简图梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式1、固定端限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。一、梁的支座分类3个约束，0个自由度2、固定铰支座限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。

2个约束，1个自由度3、活动铰支座使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。

1个约束，2个自由度1、集中载荷2、分布载荷3、集中力偶特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力集中载荷分布载荷集中力偶二、梁的载荷分类沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q表示单位长度上的载荷,称为载荷集度.如风力,水力,重力.载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。三、几种静定梁的基本形式利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为静定梁.1、简支梁一端为固定铰支座一端为活动铰支座。2、外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁。3、悬臂梁一端固定支座一端自由。仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为静不定梁.§10-3剪力与弯矩P2P3mmxFBP1P2P3xyAB一、剪力和弯矩mmxmm截面形心O步骤：（1）先求约束反力FA、FB；（2）由截面法求横截面上的内力；FAFByxFAP1axA（如：求m—m

截面的内力）a弯曲内力剪力Fs弯矩M二、剪力和弯矩的正负号规定1.剪力——

按截面处的梁微段的变形规定绕梁微段顺时针转动的剪力Fs为正，反之为负。左侧截面：向下的Fs为正，向上的Fs为负；右侧截面：向上的Fs为正，向下的Fs为负。FsFsFsFs左上右下为正剪力、弯矩的数值：剪力

——在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；弯矩

——在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；（＋）（－）2.弯矩使梁微段发生上凹下凸变形的弯矩M为正，反之为负。截面左侧：逆时针转向的弯矩M为正顺时针转向的弯矩M为负截面右侧：顺时针转向的弯矩M为正逆时针转向的弯矩M为负（＋）（－）上压下拉(上凹下凸)为正二、剪力和弯矩的正负号规定1.剪力——

按截面处的梁微段的变形规定绕梁微段顺时针转动的剪力Fs为正，反之为负。左侧截面：向下的Fs为正，向上的Fs为负；右侧截面：向上的Fs为正，向下的Fs为负。FsFsFsFs左上右下为正剪力、弯矩的数值：剪力

——在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；弯矩

——在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；（＋）（－）2.弯矩使梁微段发生上凹下凸变形的弯矩M为正，反之为负。（＋）（－）上压下拉(上凹下凸)为正AB11221.5m1.5m3m1.5m2m8kN12kN/m例1：图示简支梁，试求指定截面的剪力Fs和弯矩M。解：（1）先求约束反力；RARB（2）由截面法求Fs、M1—1截面：8kN11ARA2m1.5mO截面形心22RB12kN/m1.5mBAB11221.5m1.5m3m1.5m2m8kN12kN/mRARB8kN11ARA2m1.5mO截面形心2—2截面：22RB12kN/m1.5mB说明：取左段时：Fs向下假设为正；M逆时针假设为正。取右段时：Fs向上假设为正；M顺时针假设为正。取左半部分向上的外力在截面上引起正的剪力；向下的外力在截面上引起负的剪力。取右半部分向下的外力在截面上引起正的剪力；向上的外力在截面上引起负的剪力。3.剪力、弯矩的正负与横向外力的关系8kN11ARA2m1.5mO截面形心22RB12kN/m1.5mB（1`）剪力：（2`）弯矩：取左半部分向上的外力在截面上引起正的弯矩；向下的外力在截面上引起负的弯矩。取右半部分向上的外力在截面上引起正的弯矩；向下的外力在截面上引起负的弯矩。aa例2：图示简支梁，试求指定截面的剪力Q和弯矩M。解：（1）先求约束反力；RA

、RBRB（2）求指定截面Fs和MRA2—2截面：RA1—1截面：RB4.剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系aRARB弯矩：取左半部分顺时针转向的外力偶引起正的弯矩逆时针转向的外力偶引起负的弯矩取右半部分逆时针转向的外力偶引起正的弯矩顺时针转向的外力偶引起负的弯矩例:已知:P

、M=Pl、l求：横截面D-、E、A+的剪力和弯矩。解：（1）计算支反力（2）计算截面

E的剪力和弯矩解得：解得：例3:已知:P

、M=Pl、l求：横截面D-、E、A+的剪力和弯矩。（3）计算截面A+

和D-的剪力和弯矩解得：同理：FsFsRBRD11223344例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。解：（1）先求约束反力（2）求剪力（3）求弯矩或m=3qa2ADBCaaa§10.4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图一、剪力方程与弯矩方程x——

表示梁横截面的位置二、剪力图与弯矩图以纵坐标表示剪力(FS)与弯矩(M)，横坐标x表示梁横截面的位置，得到的剪力和弯矩的变化曲线，称为剪力和弯矩图。——剪力方程——弯矩方程表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。

要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。

有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要分段。注意：例1已知:P

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：剪力方程和弯矩方程：FS(x)为一常量由此可以绘出剪力图和弯矩图xy——

水平直线——

斜直线例2解：先求约束反力：已知:q

、l求：梁的FS图和M图。列剪力方程和弯矩方程：xy画剪力、弯矩图斜直线二次抛物线求弯矩的极值点（抛物线顶点）：二次抛物线l/2xy例3画出图示梁的FS图和M图。解：列剪力方程和弯矩方程：xy画剪力、弯矩图——斜直线——二次抛物线xyABlFAFBxqxFsl/2xMl/2小结：Fs：均匀分布载荷区域，Fs为斜直线，斜率为载荷集度q；M：(1)均匀分布载荷区域，M为二次抛物线

，曲线三点的M值确定

；(2)端部铰链处，M=0；Q

、M的最大值：(3)M为极值点处，Fs=0。例4解：（1）先求出约束反力：（2）剪力方程和弯矩方程：（3）画剪力图和弯矩图CB段：xy画出图示梁的FS图和M图。AC段：例5解：xy画出图示梁的FS图和M图。（1）先求出约束反力：（2）剪力方程和弯矩方程：AC段：CB段：（3）画出剪力、弯矩图小结：(1)集中力偶作用处Fs不变；M有突变，突变值为m的值。(2)端部铰链处(3)左右两段直线斜率相等(4)该处的反力值xyFAFBxaABblCmxFsxMABCPq3m1m图示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。试列出剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）求约束反力；RARB（2）列剪力和弯矩方程；xAB段：BC段：x（3）作剪力和弯矩图；——极值点1m例6xy§10.5载荷集度与剪力、弯矩间的关系略去高阶微量，得:利用（a）和（b），得:二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系三、小结Fs图：M图：（1）q(x)=0（2）q(x)=常数（4）集中力偶（3）集中力水平直线斜直线q向下斜向下q向上斜向上剪力图有突变作剪力图，从左往右，力上图就上，力下图就下剪力图无明显特征（1）q(x)=0（2）q(x)=常数（4）集中力偶（3）集中力斜直线抛物线Fs为负斜向下；Fs为正斜向上弯据图有突变作弯距图：从左往右力偶顺时针，图就上；力偶逆时针图就下开口：与q方向一致；顶点：Fs=0弯矩图无明显特征载荷Fs图M图+一次二次无变化+水平线+一次二次剪力Fs

、弯矩M图特点小结：1.无分布载荷区，Fs为水平线；M为斜直线Fs<0Fs>02.有均布载荷区M为抛物线Fs

为斜直线q向下；q向上。q向下；q向上。3.集中力P作用处Fs

存在突变现象，突变值为该集中力P的值；M连续，但两侧斜率不同当P向下；当P向上。4.集中力偶m作用处Fs

不变化；M有突变，突变值即为m，且两侧斜不变；5.端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，则M=0，|Fs|=端部的横向外力数值。6.分布载荷作用区，Fs=0处，M取极值（并不一定是最大值）。1、q、Fs、M间微分关系的应用Fs1Fs2Fs1Fs2例：ABCD3kN/m3kN·m2m4m2m图示外伸梁，试用载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系，直接作Fs

、M图。解：先求约束反力；RARB作剪力、弯矩图；AC段：xFsxM3.5kN7kN·mFs

：水平直线M

：斜直线(Fs

=3.5kN)CB段：

Fs

：斜直线M

：下凹抛物线8.5kN4kN·m6kN·m6.04kN·mBD段：Fs

：斜直线6kNM

：下凹抛物线例：ABCDaaaqm图示外伸梁，q=20kN/m，m=20kN·m，a=1m，求Q、M图。解：约束反力：RARBxFsxM剪力Fs

图CA段：均布载荷，Fs为斜直线；