选择性空间向量与立体几何专题01空间向量的基本概念及线性运算（原卷版）

空间向量与立体几何专题01空间向量的基本概念及线性运算学习目标：1.类比平面向量认识并理解空间向量的相关概念、及空间向量的线性运算及运算律2.类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.知识梳理（一）空间向量的有关概念在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有又有的量，叫作空间向量.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条来表示.(1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.加法：三角形法则与平行四边形法则：减法：三角形法则数乘运算：(2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：运算律(其中λ，μ∈R)(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.（二）特殊的空间向量零向量：规定的向量叫做零向量，记为0单位向量：的向量叫做单位向量相反向量：与向量a长度相等而方向的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，的有向线段表示同一向量或相等向量（三）共线向量及共线向量定理1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使2．方向向量：如图1.17，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．如图1.18，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l，那么称向量a平行于直线l.4．共面向量：同一个平面的向量，叫做共面向量．5．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使三、考点应用举例考点一：空间向量的基本概念例1．（1）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同（2）如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）单位向量有__________________；（2）模为的向量有_________个；（3）与相等的向量有_________；（4）的负向量有_________；（5）化简结果的向量：_________，_________．针对训练1（1）．下列命题中为真命题的是（

）A．空间向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等（2）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．考点二：空间向量的线性运算例2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（

）A． B． C． D．针对训练2：（1）．化简所得的结果是（

）A． B． C． D．（2）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（

）A． B． C． D．例3：如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（

）A． B．C． D．针对训练3：如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（

）A． B．0 C． D．考点三：共性向量的应用例4．已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面针对训练4（1）．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．例5．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．针对训练5：如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（

）A． B．C． D．考点四：共面向量的应用例6．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．针对训练6（1）．对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（

）A． B．C． D．（2）多选题下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面（3）．已知三