17春秋福师《实变函数》在线作业一

谋学网福师《实变函数》在线作业一试卷总分:100得分:0一、判断题(共37道试题,共74分)1.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.A.错误B.正确满分：2分2.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．A.错误B.正确满分：2分3.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.A.错误B.正确满分：2分4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。A.错误B.正确满分：2分5.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).A.错误B.正确满分：2分6.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。A.错误B.正确满分：2分7.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.A.错误B.正确满分：2分8.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].A.错误B.正确满分：2分9.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。A.错误B.正确满分：2分10.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.A.错误B.正确满分：2分11.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。A.错误B.正确满分：2分12.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。A.错误B.正确满分：2分13.若f可测，则|f|可测，反之也成立.A.错误B.正确满分：2分14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A.错误B.正确满分：2分15.f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a).A.错误B.正确满分：2分16.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.A.错误B.正确满分：2分17.f,g∈M(X),则fg∈M(X).A.错误B.正确满分：2分18.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.A.错误B.正确满分：2分19.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.A.错误B.正确满分：2分20.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.A.错误B.正确满分：2分21.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.A.错误B.正确满分：2分22.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.A.错误B.正确满分：2分23.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.A.错误B.正确满分：2分24.连续函数和单调函数都是有界变差函数.A.错误B.正确满分：2分25.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测A.错误B.正确满分：2分26.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞}n·M[E(|f|>=n)]=0.A.错误B.正确满分：2分27.f可积的充要条件是f+和f-都可积.A.错误B.正确满分：2分28.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。A.错误B.正确满分：2分29.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.A.错误B.正确满分：2分30.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.A.错误B.正确满分：2分31.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。A.错误B.正确满分：2分32.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。A.错误B.正确满分：2分33.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。A.错误B.正确满分：2分34.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.A.错误B.正确满分：2分35.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.A.错误B.正确满分：2分36.若f广义R可积且f不变号，则fL可积.A.错误B.正确满分：2分37.可数集的测度必为零，反之也成立.A.错误B.正确满分：2分二、单选题(共5道试题,共10分)1.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的A.连续函数B.单调函数C.有界变差函数D.绝对连续函数满分：2分2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件满分：2分3.下列关系式中不成立的是（）A.f(∪Ai)=∪f(Ai)B.f∩(Ai)=f(∩Ai)C.(A∩B)0=A0∩B0D.(∪Ai)c=∩(Aic)满分：2分4.有限个可数集的乘积集是（）A.有限集B.可数集C.有连续统势的集D.基数为2^c的集满分：2分5.开集减去闭集其差集是（）A.闭集B.开集C.非开非闭集D.既开既闭集满分：2分三、多选题(共8道试题,共16分)1.若f∈BV[a,b]，则（）A.f为有界函数B.Vax(f)为增函数C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)D.f至多有可数个第一类间断点满分：2分2.A，B是两个集合，则下列正确的是（）A.f^-1(f（A）)=AB.f^-1(f（A）)包含AC.f(f^-1（A）)=AD.f(A\B)包含f(A)\f(B)满分：2分3.若f不可测，g可测，则下列正确的是（）A.f+g不可测B.fg不可测C.g^2可测D.|g|可测满分：2分4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（）A.f可测B.|f|可积C.f^2可积D.|f|<∞.a.e.满分：2分5.设f为[a,b]上增函数，则f为（）A.几乎处处可微B.L可积C.f'可积D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)满分：2分6.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（）A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f