高中数学1-3简单曲线的极坐标方程

高中数学1-3简单曲线的极坐标方程第一页，共45页。1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点

的极坐标中至少有一个满足方程_____________，并且

坐标适合方程_____________的点都在曲线C上，那么

方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．自学导引f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0第一页第二页，共45页。2．常见曲线的极坐标方程ρ＝r第二页第三页，共45页。θ＝αθ＝π＋α第三页第四页，共45页。名师点睛第四页第五页，共45页。2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦定理来求解．3．在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原

点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐

标系的单位长度相同． (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定

在0≤θ<2π，ρ>0范围内求值． (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简． (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，

通常要用ρ去乘方程的两端．第五页第六页，共45页。【思维导图】第六页第七页，共45页。题型一圆的极坐标方程【例1】[思维启迪]解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的极坐标方程，化简即可．第七页第八页，共45页。解由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA，在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，【反思感悟】求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定义找到变量ρ，θ的关系．在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系．第八页第九页，共45页。

在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．【变式1】解设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆．第九页第十页，共45页。题型二

射线或直线的极坐标方程【例2】[思维启迪]解答本题先设直线上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为关于ρ，θ的方程，再化简即可．第十页第十一页，共45页。第十一页第十二页，共45页。【反思感悟】法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．第十二页第十三页，共45页。第十三页第十四页，共45页。

将下列直角坐标方程与极坐标方程互化．(1)直线x＋y＝0；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)ρcosθ＝2；(4)ρ＝2cosθ；(5)ρ2cos2θ＝2.[思维启迪](1)(2)用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简即可．(3)(4)(5)利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y等代入曲线的极坐标方程，再化简方程．题型三

直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】第十四页第十五页，共45页。(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ，所以圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.第十五页第十六页，共45页。(3)∵ρcosθ＝2，∴x＝2.(4)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.(5)∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2.【反思感悟】在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化．在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.第十六页第十七页，共45页。 (1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程；(2)将ρ＝2asinθ化为直角坐标方程．【变式3】解

(1)直接代入互化公式，ρ2cos2

θ－ρ2sin2

θ＝a2，∴ρ2cos2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程．(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a×ρsinθ.∴x2＋y2＝2ay，这就是要求的直角坐标方程．第十七页第十八页，共45页。第十八页第十九页，共45页。第十九页第二十页，共45页。第二十页第二十一页，共45页。第二十一页第二十二页，共45页。第二十二页第二十三页，共45页。第二十三页第二十四页，共45页。第二十四页第二十五页，共45页。第二十五页第二十六页，共45页。第二十六页第二十七页，共45页。 (2010·北京高考)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是

(

)．A．两个圆

B．两条直线C．一个圆和一个射线

D．一条直线和一条射线解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π，其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．答案

C高考在线——极坐标方程的应用【例1】点击1考查极坐标方程的意义第二十七页第二十八页，共45页。第二十八页第二十九页，共45页。第二十九页第三十页，共45页。第三十页第三十一页，共45页。 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．点击2极坐标方程与直角坐标方程的互化【例3】第三十一页第三十二页，共45页。【例4】点击3极坐标方程的应用第三十二页第三十三页，共45页。(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．第三十三页第三十四页，共45页。第三十四页第三十五页，共45页。第三十五页第三十六页，共45页。

[P15思考]在例3中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么直线l的直角坐标方程是什么？比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程，你对不同坐标系下的直线方程有什么认识？第三十六页第三十七页，共45页。在极坐标系中，过极点的直线方程形式比较简单，而不过极点的直线方程形式要比直角坐标方程复杂．[课后习题解答]习题1.3

(第15页)1．解

(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)．第三十七页第三十八页，共45页。第三十八页第三十九页，共45页。第三十九页第四十页，共45页。第四十页第四十一页，共45页。3．解

(1)ρcosθ＝4.(2)ρsinθ＝－2.(3)2ρcosθ－3ρsinθ－