北师大版九年级数学上册 （相似三角形判定定理的证明）图形的相似教育课件

相似三角形判定定理的证明北师大版九年级上册

AC'B'A/

CB相似三角形的判定定理有哪些？(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．课前回顾探究1.两角分别相等的两个三角形相似.ABC求证：△ABC∽△A′B′C′.如图：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，你能证明吗？可要仔细哟！A'B'C'探究1ABCA'B'C'证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C，DE

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).F过点D作DF∥AC，交BC于点F，则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).∴探究1∵DE∥BC，DF∥AC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ABC∽△A'B'C'∴△ADE≌△A'B'C'ABCA'B'C'DEF∴四边形DFCE是平行四边形。∴DE=CF∵∠A=∠A’,∠ADE=∠B’，AD=A'B',∴△ABC∽△A'B'C'.探究1∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA'B'C'DEF推理形式：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.角角AA√总结ABCED如图，在△ABC中，

D、E分别是AB、AC延长线上的点，且

DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（对顶角）∴△ADE∽△ABC.（两组对应角分别相等的两个三角形相似.）学以致用两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.边角边SAS√求证：△ABC∽△A'B'C'你能证明吗？可要仔细哟！在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，ABCA'B'C'探究2证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,∴△ADE∽△ABCABCA'B'C'DE，AD=A'B'而∠A=∠A'∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'∴AE=A'C'探究2相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.在△ABC和△A'B'C'中,∴△ABC∽△A’B’C’∠A=∠A’,推理形式：ABCA'B'C'总结如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,GEFH,HFCD组成的,找出图中的相似三角形.解:△AEF∽△CEA.ABCDEFGH∵∠AEF=∠CEA=135°.∴△AEF∽△CEA.理由:设小正方形的边长是1,由勾股定理得学以致用你能证明吗？可要仔细哟！ABCA'B'C'三边成比例的两三角形相似.求证：△A´B´C´∽△ABC已知：在△A´B´C´和△ABC中，探究3证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,∴△ADE∽△ABC又∴△ADE≌△A'B'C'同理∴△A'B'C'∽△ABCABCA'B'C'DE探究3探究3：三边成比例的两三角形相似.符号语言：∴△A´B´C´∽△ABC∵在△A´B´C´和△ABC中，边边边SSS√ABCA'B'C'总结如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,求证:△EFD∽△ABCABCDFE证明:∵D是AB的中点,F是AC的中点,同理∴△EFD∽△ABC(三边对应成比例，两三角形相似)学以致用直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高.求证：△ABC∽△CBD∽△ACD你能证明吗？可要仔细哟！探究4证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB

∵∠CDA=∠ACB=90°

∵∠A=∠A

∵△ACD∽△ABC

同理△CBD∽△ABC∴△ACD∽△ABC∽△ACD探究4在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形相似判断：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.推理形式：总结下列说法中错误是（）A、三角形的一条中位线截这个三角形所得的三角形与原三角形相似；B、等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形相似；C、直角三角形斜边上的高把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似；D、等腰直角三角形底边上的中线把这个三角形分成的两个三角形相似．B学以致用如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．求证：△DBF∽△ADF证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴∠C=∠FAD，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED=AC=EC，∴∠C=∠EDC，又∵∠EDC=∠FDB，∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，∴△DBF∽△ADF，学以致用1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵

∴

∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例的两个三角形相似）．实例讲解“A”型公共角型公共边角型双垂直型三垂直型“X”型蝴蝶型相似三角形的基本图形方法选择2．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CD，(1)∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC

(2)AC∶AP满足什么条件时△ACP∽△ABCA

BPC实例讲解分析：这是一道探索性题目(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即∠ACP＝∠BA

BPC(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2，即实例讲解解：(1)∵∠A＝∠A

(2)∵∠A＝∠A△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）

∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC∴当

时，A

BPC实例讲解1、如图，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A.只有甲与乙B.只有乙与丙C.只有甲与丙D.甲与乙与丙C达标测评解：∵∠AFB=72°，∴∠BAF=18°，∴∠EAF=90°-∠BAF-∠DAE=36°，∴∠DAE=∠EAF=∠CEF，∵∠ADE=∠AEF=∠ECF，∴△DAE∽△EAF∽△CEF，即甲与乙与丙均相似，故选D．达标测评2、已知：如图，求证：AB=AE证明：∵∴△ADE∽△CAB∴∠AED=∠B∴AB=AEABCDE达标测评3、如图，AB·AE=AD·AC,且∠1=∠2，求证△ABC∽△ADE证明：∵AB·AE=AD·AC,∴∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠DAE即∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△AED达标测评1、如图AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数有______对．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB∴∠ADC=∠ADB=∠AEC=∠CEB=90°∵∠B=∠B，∠AFE=∠CFD，∠A=∠A，∠C=∠C∴△ABD∽△CBE，△AEF∽△CDF，△AEF∽△ADB，△CFD∽△CBE∴△ABD∽△CBE∽△AFE∽△CFD∴共有6对6拓展延伸2、已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'，求证：△ABC∽△A'B'C’

AB’C’OA’1324BC证明：∵AB∥A’B’∴∠1＝∠2，∴

∵BC∥B’C’∴∠3＝∠4，∴

∴∠ABC＝∠A’B’C

∴

A’B’/AB＝B’C’/BC

∴△ABC∽△A'B'C'拓展延伸一、相似三角形判定定理(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．二、相似三角形判定定理的应用体验收获感谢观看2.5一元二次方程的根与系数的关系新课引入新课讲授随堂练习课堂小结

学习目标010203探索一元二次方程的根与系数的关系.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想.新课引入1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？新课讲授—一元二次方程根与系数的关系

同学们，选择自己喜欢的方法解下列方程，并完成下表：

(1)x2-2x+1=0；

(2)x2-

x-1=0；

(3)

2x2-3x

+1=0.方程abcx1x2x1+x2x1x2x2-2x+1=0x2-

x-1=0

2x2-3x

+1=01121-111-211-12-31观察上述表格，回答下列问题：(1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？(2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，有两个根分别为x1，x2，那么：你能试着证明吗？一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时有两个根：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=前提条件为：b2-4ac≥0．归纳小结一元二次方程根与系数的关系：韦达定理例

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x2+7x+6=0；(2)2x2-3x-2=0.解：(1)这里a=1，b=7，c=6.Δ

=b2-4ac=72+4×1×6=49-24=25>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么.x1+x2=-7，

x1x2=6.解：(2)这里a=2，b=-3，c=-2.Δ

=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么.x1+x2=，

x1x2=-1.随堂练习1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x2-3x-1=0；(2)3x2+2x-5=0.解：(1)这里a=1，b=-3，c=-1.Δ

=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13＞0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=3

，x1x2=-1.解：(2)这里a=3，b=2，c=-5.Δ

=b2-4ac=22-4×3×(-5)=4+60=64＞0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.2.小明和小华分别求出了方程9x2+6x-1=0的根.小明：x1=x2=；小华：x1=，x2=.他们的答案正确吗？说说你的判断方法.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=3x2=-7即：x2=答：方程的另一个根是3.已知方程x2-

x-7=0的一个根是3，求它的另一个根.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）x(3x-1)-1=0；

1.解：（1）原方程变形为3x²-x-1=0.这里a=3，b=-1，c=-1.∵∆=b²-4ac=(-1)²-4×3×(-1)=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1

x2=.（2）原方程变形为x²+3x-1=0.这里a=1，b=3，c=-1.∵∆=b²-4ac=3²-4×1×(-1)=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-3，x1

x2=-1.（2）(2x+5)(x+1)=x+7.解下列方程：（1）12x2+7x+1=0；

2.解：（1）a=12，b=7，c=1.∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.∴x=.∴x1=，x2=.（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.这里a=8，b=10，c=-3.∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，∴x=.∴x1=，x2=.

（2）0.8x2+x=0.3；（3）3x2+1=x；