重庆市川外附属第二外国语学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

重庆第二外国语学校高2023级高一下期末考试数学试卷(全卷共四大题22小题满分：150分考试时间：120分钟)选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和2.在中，若，，，则边（）A． B． C． D．3．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（）A．4 B．3 C．2 D．14．某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，高一级高二级高三级跑步abc登山xyZ全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人 B．60人 C．24人 D．30人5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A． B． C． D．6.已知复数（为虚数单位），则的最大值为（）A． B． C． D．7.要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是A． B．C． D．8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．平面平面 B．在棱上存在点使得平面C．二面角的大小为 D．异面直线与所成的角为多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.9.经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是（）A．若数据，方差，则所有的数据相同B．若数据，的均值为3，则数据的均值为6C．若数据，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90D．若数据，的众数为78，则可以说总体中的众数一定为7810．如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，C．对任意，不成立D．的最小值为411．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为12．如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有A．存在某一位置，使得直线和直线相交B．存在某一位置，使得平面C．点与点到平面的距离总相等D．三棱锥的体积不变三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设为虚数单位，则的虚部为______．14．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．15.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．16．在四面体中，底面，均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于则（1）该四面体外接球的表面积为__________________；（2）该四面体体积的最大值为_____________________.四、解答题：本题共6个小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（10分）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．18．（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（1）求证：FG//平面PBD；（2）求证：BD⊥FG．19.（12分）袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个．规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球．规定取出球的总积分多者获胜．（1）求甲、乙平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，_____?21．（12分）习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用．某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民为人．（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导．据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)22．在梯形中，，，点，分别在边，上，沿直线，，分别将，，折起，点，，重合于一点.（1）证明：平面平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.重庆第二外国语学校高2023级高一下期末考试数学试卷(全卷共四大题22小题满分：150分考试时间：120分钟)选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和解：由题意可知，是不共线的两个向量，可以判断选项，，都可以做基底，选项，，故选项不能做基底．故选：．2.在中，若，，，则边（）A． B． C． D．解:因为，，所以，则，即，解得，故选：A.3．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（）A．4 B．3 C．2 D．1设圆锥的底面半径为，母线长为，因为它的侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的体积为，则可解得，故母线长为2.故答案为：2.故选C4．某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，高一级高二级高三级跑步abc登山xyZ全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人 B．60人 C．24人 D．30人解：全校参与跑步有2000×=1200人，高二级参与跑步的学生=1200××=36．故选A5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A． B． C． D．解:代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少有一天下雨”为事件，“今后三天都不下雨”为事件，则与为对立事件.所以，故选：B.6.已知复数（为虚数单位），则的最大值为（）A． B． C． D．解：的几何意义为与两点间的距离，且在单位圆上，所以||的最大值为3．故选:C7.要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是A． B．C． D．解：由题意，设，由于平面，、平面，，，由题意可得，，在中，，，同理可得，在中，，，根据余弦定理，得，即，整理得，解之得或（舍）即所求电视塔的高度为米．故选D．8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．平面平面 B．在棱上存在点使得平面C．二面角的大小为 D．异面直线与所成的角为解：根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．解：对于B，取的中点，连，，侧面为正三角形，，又底面是的菱形，三角形是等边三角形，，，平面，平面平面，故B正确，对于D，平面，，即异面直线与所成的角为，故D错误，对于，底面为菱形，，平面平面，平面，，，，”则是二面角的平面角，设，则，，在直角三角形中，，即，故二面角的大小为，故错误，对于A，平面，，所以平面，平面，所以面平面，显然平面与平面不垂直，故A错误；故选：B．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分.9.经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是（）A．若数据，方差，则所有的数据相同B．若数据，的均值为3，则数据的均值为6C．若数据，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90D．若数据，的众数为78，则可以说总体中的众数一定为78解：A中方差为零，说明，故A正确；选项B中，所以，所以B错误；选项C符合百分位数的定义，正确；选项D中样本数据具有随机性，样本的众数不一定是总体的众数，故选AC．10．如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，C．对任意，不成立D．的最小值为4解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴建立平面直角坐标系，则，，，，由，可得，A项，当时，，则，，设，又，所以，得，故，A错误；B项，当时，，则，，故，B正确；C项，，，若，则，对于方程，，故不存在，使得，C正确；D项，，所以，当且仅当时等号成立，D正确.故选：BCD.11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为解：因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角为锐角,可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正确.故选:ACD.12．如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有A．存在某一位置，使得直线和直线相交B．存在某一位置，使得平面C．点与点到平面的距离总相等D．三棱锥的体积不变解：对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误．对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确．对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，故C正确．对于D，连接，交于O，则O为中点，所以，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设为虚数单位，则的虚部为______．【答案】【分析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果【详解】故答案为：14．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．解：由题意可得：，设，，则，解得，∴故答案为4．15.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．解：设的外接圆半径，由正弦定理得，，由题意知球半径满足，得，球表面积.16．在四面体中，底面，均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于则（1）该四面体外接球的表面积为__________________；（2）该四面体体积的最大值为_____________________.答案：解：（1）利用长方体模型，所以该四面体外接球半径，所以该四面体外接球的表面积为，（2），得，当且仅当时等号成立，所以，所以该四面体体积的最大值为.故答案为：，.四、解答题：本题共6个小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（10分）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．解：（1）因为向量+k与k+2为方向相反的向量，故可设，则，又与不共线，故可得，解得.（2）向量与的夹角为60°，故可得.故，，.故又，则.18．（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（1）求证：FG//平面PBD；（2）求证：BD⊥FG．证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，，又平面，平面，所以平面（2）因为菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因为平面，平面，且，平面，平面，BD⊥FG19.（12分）袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个．规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球．规定取出球的总积分多者获胜．（1）求甲、乙平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．解：（1）记标有数字“”的球为，，，标有数字“”的球为，，标有数字“”的球为，则甲取球的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，由于个小球总分为分，故甲、乙平局时都得分，此时，甲取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，共有种情况，故平局的概率．（2）由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是分或分，即取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球和个标有数字“”的球共种情况，故甲获胜的概率．由（1）可得平局的概率，所以甲输，即乙获胜的概率．所以甲、乙获胜的概率相同．同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同．故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，_____?解：选择①由，得.若，，，与矛盾，，.若这样的存在，根据正弦定理，由，得，与矛盾.所以，若选择条件①，则问题中的三角形不存在.选择②在中，根据正弦定理，得.，则，，即，整理为.，，，.根据余弦定理，，结合，，，解得：或（舍去）.的面积为.选择③在中，根据正弦定理，得，即.，则，.，，，，.根据余弦定理，，结合，，，解得：或（舍去）.的面积为.方法：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.21．（12分）习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用．某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高