2023-2024学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开学数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，属于一元二次方程的是(

)A.x2−2x−3=0 B.x2−xy=2 C.2.将抛物线y=x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为(

)A.y=x2+2 B.y=x2−23.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(

)

A.AB//DC，AD//BC B.AB=DC，AD=BC

C.AO=CO，BO=DO D.AB=DC，AD//BC4.某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费5元.某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单，统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是(

)A.众数相同 B.中位数相同 C.平均数相同 D.方差相同5.对于y=3(x−1)2+2的性质，下列叙述正确的是A.顶点坐标为(−1,2) B.当x=1时，y随x增大而减小

C.当x=1时，y有最大值2 D.对称轴为直线x=16.如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF//BC，且AEEB=12，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为A.16

B.14

C.12

D.87.已知方程x2−6x+q=0配方后是(x−p)2=16，那么方程A.(x−p)2=14 B.(x+p)2=148.如图，函数y1=mx和y2=x+3的图象相交于点A(−1,2)，则关于x的不等式mx<x+3的解集是A.x<2

B.x>2

C.x<−1

D.x>−19.如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE=CD，AC=16，CD=10，则DE的长为(

)A.210

B.42

C.10.已知抛物线y=ax2−2ax+3(a>0)，A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,yA.y1<y2<y3 B.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.若二次根式x−2有意义，则x的取值范围是______．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=8，则CD=______．

13.如图是甲、乙两人5次足球点球测试(每次点球10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作S甲2、S乙2，则S甲2______S乙2(填“>14.关于x的方程12x2−3x−1=0的两根分别为x1，x2，则15.如图，已知正方形ABCD，边长为4，点M是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BM，过点A作AH⊥BM，垂足为H，连接CH.在M点从C到A的运动过程中，CH的最小值为______．

16.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值yx…−2−1012…y=a…tm−2−2n…当x=−12时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

解方程：

(1)4(x−1)2−1=8；

(2)218.(本小题8.0分)

如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且∠ADE=∠B，若DE=8，AB=18，AD=6，求BC的长．19.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0．

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程两个实数根的差为3，求m20.(本小题8.0分)

校学生处为了了解全校1200名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了30名学生.下面是某一天这30名学生上学所用时间(单位：分钟)：20，20，30，15，20，25，5，15，20，10，15，35，45，10，20，25，30，20，15，20，20，10，20，5，15，20，20，20，5，15．

通过整理和分析数据，得到如下不完全的统计图．

根据所给信息，解答下列问题：

(1)补全条形统计图；

(2)这30名学生上学所用时间的中位数为______分钟，众数为______分钟；

(3)若随机问这30名同学中其中一名学生的时间，最有可能得到的回答是______分钟；

(4)估计全校学生上学所用时间在20分钟及以下的人数．21.(本小题8.0分)

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE//BD，过点D作DE//AC交AE于点E．

(1)求证：四边形AODE是矩形；

(2)若AB=2，∠ABC=60°，求四边形AODE的面积．22.(本小题10.0分)

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．

(1)尺规作图：在线段AB上确定一点E，使得AE=4.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，连接DE，若F是DE的中点，连接BF，求线段BF的长度．23.(本小题10.0分)

某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与x(天)的关系如表：时间x(天)1361036…日销售量m(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1=14x+25(1≤x≤20且x为整数)，后20天每天的价格y2=−12x+40(20<x≤40且x为整数)．

(1)认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据m(件)与x(天)之间的关系式，求出日销售量m(件)与24.(本小题12.0分)

如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，CG．

(1)写出AF和CG的数量关系，并证明．

(2)求证：2BG2=BH⋅BD

(3)连接DF，若正方形ABCD的边长为25.(本小题14.0分)

如图，抛物线y=−12x2+mx+n与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，已知A(−1,0)，AB=5．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求△CBD的面积的最大值，并写出此时点D的坐标；

(3)在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得∠ACO=∠CBM，若存在，求出点答案和解析1.【答案】A

解：A.x2−2x−3=0只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；

B.x2−xy=2，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C.x2+1x=2为分式方程，故该选项不符合题意；

D.2(x−1)=x是一元一次方程，故该选项不符合题意．

故选：A．

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；2.【答案】B

解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2−2，

故选：B3.【答案】D

解：A、∵AB//CD，AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

B、∵AB=DC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

C、∵AO=CO，BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

D、AB=DC，AD//BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

故选：D．

分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．

此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．4.【答案】D

解：由题意知，统计了每单的消费总额是在原数据的基础上，每个数据增加5，

所以这两组数据的波动幅度相同，即方差相同；

而这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；

故选：D．

分别根据众数、中位数、平均数以及方差的意义求解即可．

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5.【答案】D

解：∵y=3(x−1)2+2，

∴该函数的顶点坐标为(1,2)，故选项A不符合题意；

当x<1时，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；

当x=1时，y取得最小值2，故选项C不符合题意；

对称轴为直线x=1，故选项D符合题意；

故选：D．

根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标，从而可以判断A；也可以得到当x<1时，y随x增大而减小，从而可以判断B；根据二次函数的性质，可以得到当x=1时，y取得最小值2，即可判断C；根据函数解析式可以直接写出对称轴，从而可以判断D6.【答案】A

解：∵AEEB=12，

∴AEAB=13，

∵EF//BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=(13)2=19，

∵△AEF的面积为2，7.【答案】D

解：x2−6x+q=0，

x2−6x=−q，

配方，得x2−6x+9=−q+9，

即(x−3)2=−q+9，

∵方程x2−6x+q=0配方后是(x−p)2=16，

∴p=3，−q+9=16，

∴q=−7，

∴x2+6x+q=0为x2+6x−7=0，

x2+6x=7，

x2+6x+9=7+9，

(x+3)2=16，

∵P=3，

8.【答案】D

解：∵函数y1=mx和y2=x+3的图象相交于点A(−1,2)，

∴不等式mx<x+3的解集为x>−1．

故选：D．

以交点为分界，结合图象写出不等式9.【答案】A

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，

∵AC=16，CD=10，

∴CO=8，

∴OD=DC2−OC2=102−82=6，

∵CE=CD=10，

∴OE=CE−OC=10−8=2，

∴DE=OD210.【答案】B

解：∵抛物线y=ax2−2ax+3=a(x−1)2−a+3，a>0，

∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，

∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，

∵A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是抛物线上三点，1−(−1)=2，2−1=1，4−1=3，

∴y2<y1<y311.【答案】x≥2

解：根据题意，使二次根式x−2有意义，即x−2≥0，

解得x≥2；

故答案为：x≥2．

根据二次根式有意义的条件，可得x−2≥0，解不等式求范围．

本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于等于012.【答案】4

解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=8，

∴CD=12AB=4，

故答案为：4．

13.【答案】<

解：由统计图可知：

甲的成绩为：6，5，6，4，7；

乙的成绩为：5，2，5，7，3，

∴x甲−=6+5+6+4+75=5.6，

S甲2=(6−5.6)2+(5−5.6)2+(6−5.6)2+(4−5.6)14.【答案】−2

解：∵关于x的方程12x2−3x−1=0的两根分别为x1，x2，

∴x1⋅x2=−115.【答案】2解：如图，取AB的中点G，连接GH，GC，则BG=12AB=2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC，BC=AB=4，

∴GC=BC2+BG2=42+22=25，

∵AH⊥BM，G为AB的中点，

∴GH=12AB=12×4=2，

∵CH≥GC−GH(当且仅当点H在线段GC上时，等号成立)，

∴CH≥2516.【答案】①②

解：当x=0时，y=c=−2，当x=1时，y=a+b+c=−2，

∴a+b=0，抛物线对称轴为直线x=0+12=12，

∵当x=−12时，其对应的函数值y>0，

∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，

∴二次函数开口向上，

∴a>0，b<0．

∴abc>0.①结论符合题意；

∵x=−2时，y=t，

∴−2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．

∵对称轴为直线x=12，

∴−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．②结论符合题意；

∵b=−a，c=−2，

∴二次函数解析式：y=ax2−ax−2，

∵当x=−12时，与其对应的函数值y>0．

∴34a−2>0，

∴a>83；

∵当x=−1和x=2时的函数值分别为m和n，

∴m=n=2a−2，

∴m+n=4a−4>203；故③错误，

故答案为：①②．

利用待定系数法将点(0,−2)，(1,−2)代入解析式求出c=−2，a+b=0，再结合二次函数图象与已知信息当x=−17.【答案】解：(1)4(x−1)2−1=8，

∴4(x−1)2=9，

∴(x−1)2=94，

x−1=−32或x−1=32，

∴x1=52，x【解析】(1)用直接开平方法解一元二次方程即可；

(2)用公式法解一元二次方程即可．

本题考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.【答案】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴ADAB=DEBC．

∵DE=8，AB=18，AD=6，

∴【解析】由两角相等的两个三角形相似得到△ADE∽△ABC，则ADAB=DEBC，再代入数值即可求BC的长．

此题考查了相似三角形的判定和性质，证明19.【答案】(1)证明：∵一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0，

∴Δ=(1−m)2−4(m−2)

=m2−2m+1−4m+8

=(m−3)2．

∵(m−3)2≥0，

∴Δ≥0．

∴该方程总有两个实数根．

(2)解：∵一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0，

解方程，得x1=1，x2=m−2．

∵该方程的两个实数根的差为【解析】(1)证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；

(2)用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．

本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．20.【答案】20

20

20

解：(1)补全条形统计图如图所示．

(2)这30名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是20分钟，

因此中位数是20，即m=20，

这30名学生用时数据出现次数最多的是20分钟，

因此众数是20，即n=20，

故答案为：20，20；

(3)由于众数是20分钟，

因此用时为20分钟的学生最多，

所以最有可能得到的回答是20分钟；

故答案为：20；

(4)3+3+6+1230×1200=960(人)，

答：估计全校学生上学时间在20分钟及以下的人数约为960人．

(1)根据频数统计的方法可得“15分钟”和“40分钟”的频数，进而补全条形统计图；

(2)根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；

(3)根据众数和可能性的大小即可得出答案；

(4)用1200乘以样本中“20分钟及以下”的学生所占比例即可．21.【答案】(1)证明：∵AE//BD，DE//AC，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∴平行四边形AODE为矩形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，

∴OA=12AC=1，

∴OD=OB=AB2−OA2=3，

【解析】(1)先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD=90°，即可得出结论；

(2)由菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，再证△ABC是等边三角形，得AC=AB=2，则OA=12AC=1，然后由勾股定理得OD=OB=22.【答案】解：(1)以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点M，

可得AM=AD=3，

∴BM=AB−AM=2，

再作线段BM的垂直平分线，交BM于点E，

可得ME=12BM=1，

∴AE=AM+ME=4．

如图，点E即为所求．

(2)过点F作FG⊥AB于点G，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=90°，

∴AD//FG，

∴EFDE=FGAD=EGAE，

∵F是DE的中点，

∴EFDE=12，【解析】(1)以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点M，再作线段BM的垂直平分线，交BM于点E，则点E即为所求．

(2)过点F作FG⊥AB于点G，结合已知条件以及矩形的性质可得FG=32，EG=2，则BG=GE+BE=3，再由勾股定理可得BF=BG23.【答案】解：(1)由题意可知，m(件)与x(天)满足一次函数关系．

设一次函数关系式为m=kx+b，

将(1,94)，(3,90)分别代入一次函数关系式m=kx+b中，得k+b=943k+b=90，

解得k=−2b=96，

∴m=−2x+96，

经检验，其他m与x的对应值均适合以上关系式，

∴日销售量m(件)与x(天)之间的函数关系式：m=−2x+96；

(2)设前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，

则P1=(−2x+96)(14x+25−22)=−12x2+18x+288=−12(x−18)2+450，

∵1≤x≤20，−12<0，

∴当x=18时，P1有最大值，最大值为450；

P2=(−2x+96)(−12x+40−22)=x2−84x+1728=(x−42)2【解析】(1)利用待定系数法可求得一次函数关系式；

(2)日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．

此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．24.【答案】(1)解：AF=CG，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵四边形BGEF是正方形，

∴∠BF=BG，∠FBG=90°，

∴∠ABF=∠GBC，

∴△ABF≌△CBG(SAS)，

∴AF=CG；

(2)证明：∵∠BEH=∠EDB=45°，∠EBH=∠DBE，

∴△BEH∽△BDE，

∴BEBD=BHBE，

∴BE2=BD⋅BH，

∵BE=2BG，

∴2BG2=BH⋅BD；

(