模块一专题1三角函数与平面向量

模块一专题1三角函数与平面向量专题1三角函数与平面向量【解读】此类问题常以向量平行或垂直为条件，实质考查三角函数化简与求值.应熟知向量平行（垂直）的充要条件，熟记三角恒等变换公式，熟悉常见的化简求值方法，即“三变”，“变名”；如切弦互化、“变角”；将未知角向已知角转换、“变式”；将式子有理化、降次等.解答问题主要体现转化与化归、函数与方程的思想方法.考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【典例1】（2023·广东深圳中学高三期末）已知向量，，且，则（

）A.

B.

C.

D.【思路引导】第一步根据向量共线的充要条件，可得；第二步根据同角关系化简得；第三步运用二倍角公式对恒等变换为单角；第四步再化弦为切可得.【解析】因为向量，，且，所以，则，而.故选：A.【交汇点阐释】对于向量平行（共线）或垂直与三角函数求值问题，解题有两个关键点（1）根据向量平行（垂直）的充要条件，建立三角函数关系式；（2）对三角函数关系式，应以方程思想为主导，运用三角恒等变换公式进行变形进而完成化简求值.【跟踪训练1】（2023·江苏南通高考调研）1．已知向量，，若，则的值为.【跟踪训练2】（2023·福建三明二模）2．非零向量，，若，则.【解读】此类问题常以向量运算为条件，根据三角函数图象中的关键点，建立方程，从而确定基本量，求得的解析式.解决问题对知识综合运用能力要求较高，主要体现转化与化归、函数与方程的思想方法.考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【典例1】（2023·四川成都石室中学高三月考）函数在一个周期内的图象如图所示，点是图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为（

）A.

B.

C.

D.【思路引导】第一步需对恒等变形化为；第二步对进行翻译，可得是以为顶点的等腰直角三角形，第三步求得，第四步代入即可求得答案.【解析】点是图象的最高点，，是该图象与轴的交点，是以为顶点的等腰直角三角形的最大值为：，的高为可得：，函数的周期，即，可得，故选：C.【交汇点阐释】解决问题的关键点为：（1）能准确对向量语言进行翻译如；，（2）根据需要能进行灵活的三角恒等变换，即将解析式化为；（3）熟悉中基本量的算法；（4）善于发现图形中基本量的几何意义，并根据几何性质构建方程，从而完成求解.【跟踪训练1】（2023·四川绵阳一模）3．已知函数的图象如图所示，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点，且满足，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】（2023·辽宁盘锦二模）4．如图是函数在一个周期内的图像，该函数图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴正方向的单位向量，则.【解读】此类问题常以向量数量积的坐标运算为条件，实质考查三角函数的图象与性质.要熟悉向量数量积运算的定义和性质，熟练掌握三角函数性质，即三角函数的值域、单调性与最值、奇偶性、对称性、周期性等.解答问题主要体现转化与化归、函数与方程及换元的思想方法.考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【典例1】（2023·江苏淮安高三联考）已知向量，，，若，使不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A.

B.C.

D.【思路引导】恒成立问题转化为最值问题，第一步根据向量数量积坐标公式，得解析式；第二步对解析式恒等变换，化为关于某一个变量的函数；第三步运用及二次函数的性质分析可得.【解析】由题意知，，因为，所以，若，恒成立，则当时，，又由二次函数的性质知，当时，，所以，即的取值范围为.故选：C【交汇点阐释】对于向量数量积与三角函数性质综合问题，解题有三个关键点（1）根据向量数量积的坐标运算，建立三角函数关系式；（2）对三角函数关系式，运用同角关系、两角和差、二倍角公式等进行恒等变形，转化为关于某一个变量（）的三角函数（3）运用换元法转化为，借助的性质分析解决问题.【跟踪训练1】（2023·山东泰安二模）5．设向量，，定义一种向量积．已知向量，，，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【跟踪训练2】（2023·甘肃武威二模）6．已知向量，，函数，下列命题，说法正确的序号是.①；②图象关于称；③若，则；④若，则.【解读】向量夹角与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.问题常常以向量为载体，运用向量的夹角公式，脱去“向量外衣”，转化为三角函数的求值及性质问题进行解决.解决问题中充分运用转化与化归、函数与方程的思想方法.考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【典例1】（2023·山东聊城一模）已知，且，则向量与的夹角__________.【解析】利用平面向量数量积的坐标表示和模的坐标表示求出，代入夹角公式求解即可.【思路引导】第一步根据的向量坐标，分别求出模长，及；第二步代入夹角公式；第三步根据三角函数诱导公式化正弦为余弦可得.【解析】因为，所以，，由平面向量的夹角公式可得，，因为，所以，所以向量与的夹角为.故答案为：【交汇点阐释】解决问题关键为；（1）熟悉向量的坐标运算及其夹角公式，这脱去“向量外衣”的条件；（2）熟练掌握三角恒等变换公式：同角关系、诱导公式、两角和差及二倍角公式；顺利进行化简求值.【跟踪训练1】（2023·北京大兴区二模）7．已知向量，且，那么与的夹角的大小是.【跟踪训练2】（2023·辽宁铁林高考联考）8．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为.（2023·重庆巴蜀中学高考模拟）9．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则（

）A． B．C． D．（2023·宁夏吴忠二模）10．已知和都是锐角，向量，，则（

）A．存在和，使得 B．存在和，使得C．存在和，使得 D．存在和，使得（2023·江西赣州二模）11．如图，函数在一个周期内的图象（不包括端点）与轴，轴的交点分别为，，与过点的直线另相交于，两点，为图象的最高点，为坐标原点，则（

）A． B． C． D．（2023·深圳中学校高考模拟）12．平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（

）A． B． C． D．（2023·江西南昌一模）13．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则.（2023·湖北武汉华中师大高考模拟）14．向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若是函数的一个零点，则的值为.参考答案：1．【分析】根据题目条件可得，代入化简即可.【详解】已知向量，，若，则有，∴.故答案为：2．【分析】由得，从而求得的值.【详解】因为，所以，由题易知，，所以.故答案为：3．B【分析】由题意的周期可得，由图象与x轴的交点为可得，从而，所以与轴的交点，由解得.【详解】若的周期为，由题意有，所以，所以，图象与x轴的交点为，则，因为，所以，即，所以与轴的交点，由，则，解得或(舍)．故选：B.4．【分析】根据题意和三角函数的图象与性质，求得，，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.【详解】因为函数，由，所以，令，即，可得，即，当时，，所以，因为函数关于点对称，所以关于的对称点为，即的中点为，所以，又由为轴正方向的单位向量，所以，所以.故答案为：.5．D【分析】根据新定义求出，从而可求出，则可求出的解析式，进而可求出其区间上的最大值【详解】因为，所以由题意得，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值4，故选：D6．②④【分析】由已知可得，然后结合三角函数的图象与性质，代入验证，逐一判断即可.【详解】，①当时，，，故①错误；②，当时，对应的函数值可取得最小值为，所以②正确；③当时，，所以函数在不单调，故③错误；④因为，所以，所以，又，即，所以，恒成立，故④正确.故答案为：②④【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，正、余弦的二倍角公式，两角差的正弦公式的逆用及正弦型三角函数的图象与性质，属于中档题.7．##【分析】根据题意求出，，然后根据平面向量的夹角公式求解即可.【详解】，，，所以，故答案为：8．【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】，是单位向量，由得：，依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得，而，则，又，函数在上单调递减，因此，所以向量，的夹角的取值范围为.故答案为：.9．B【分析】根据共线向量定理可得，然后利用三角函数变换及同角关系式即得.【详解】设，与是共线向量，所以存在唯一实数使得，所以，所以，解得，则.故选：B.10．B【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示及和角公式得到，即可判断A、C，当时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.【详解】因为和都是锐角，所以，又，，所以，，，因为，所以，故，因此A和C错误；当时，，即，所以B正确；，所以D错误；故选：B.11．A【分析】根据图像求出函数的周期，以及求出函数的解析式，从而求出三点坐标，进一步求出，，利用，化简，最终求出答案.【详解】设的最小正周期为，由图知，，则，所以．因为，则，即，所以,由题设，点，，，则，,因为的图象关于点对称，则为线段的中点，所以.故选：A．【点睛】本题考查三角函数，涉及到向量的知识点，做题时要充分的利用图像的特征，尤为是本题中利用向量的平行四边形法则，即的应用.12．B【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.【详解】如图所示：设，，则，设，，，，当，即时等号成立，故，当最小时，最大，故与夹角的正弦值的最大值为.故选：B13．1