云南省大理白族自治州大理市辖区2024届高中毕业生区域性规模化统一检测数学试题

大理市辖区2024届高中毕业生区域性规模化统一检测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)1.若集合,则A. B.2 C. D.2.已知,若,则的虚部是A.2 B.1 C. D.3.已知多项式,则A.0 B.4 C.8 D.324.双曲线的两条渐近线的夹角为A. B. C. D.5.若函数为偶函数,则A.2 B.1 C. D.06.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化,假设小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是A. B. C. D.7.定义在区间的函数,如果对于任意给定的非常数等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”,下列函数是“保等比数列函数”的是A. B. C. D.8.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图1甲),该模型由两个相同的部件拼接粘连制成,每个部件由长方形纸板NCEM（图乙）沿虚线裁尊后卷一周形成,其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线,建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系,设为裁剪曲线上的点,作轴,垂足为.图乙中线段卷后形成的圆弧(图甲),通过同学们的计算发现与之间满足关系式,现在另外一个纸板上画出曲线,如图丙所示,把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周,求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为A. D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知变量之间的经验回归方程为,且变量的数据如图所示,则下列说法正确的是A.该回归直线必过 B.变量之间呈正相关关系C.当时,变量的值一定等于7.5 D.相应于的残差估计值为-2.510.若,则A. B. C. D.11.已知函数,若过点恰能作3条曲线的切线,则的值可以为A. B. C. D.12.如图2,在正方体中,为线段上的动点,则下列说法正确的是A.B.平面C.三棱雉的体积为定值D.的最小值为三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在中,若,则_______.14.已知函数满足,则的解析式可以是_______.(写出满足条件的一个解析式即可)15.若,则在上投影向量的模为_______.16.物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面),我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想,2016年9月25日落成,2020年1月11日投人正式运行的“中国天眼”-口径射电望远镜,皮射面的主体是一个抛物面(如图3甲),若其上边缘一点距离底部的落差约为,它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分,放人（如图乙）所示的平面直角坐标系内.一条平行于对称轴的光线射到点,经抛物面反射后经过焦点射到点,则的面积为_______.四、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知.在中,.(1)求角的大小;(2)是边上的一点,且平分,且,求的面积.18.(本小题满分12分)已知等差数列的公差不为零,其前项和为,且是和的等比中项,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求和:.19.(本小题满分12分)目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一,当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于70分的学生才能进人面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人,求这6人中至少有一人进人面试的概率;（2）现有甲、乙、丙3名学生进人了面试,且他们通过面试的概率分别为、,设这3名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.参考数据:若,则.20.(本小题满分12分)如图4,在四棱锥中,平面,为的中点.(1)证明:;(2)求二面角的平面角的余弦值.21.(本小题满分12分)已知点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.(1)求点的轨迹的方程;(2)若直线与圆相切,切点在第四象限,直线与曲线交于两点,求证:的周长为定值.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论的极值;(2)若是自然对数的底数,且,证明:.大理市辖区2024届高中毕业生区域性规模化统一检测数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)【解析】1.由,故选C.2.,故选A.3.令得,故选A.4.由方程知,渐近线方程为,它们交成的两对对顶角为和,所以两条渐近线的夹角为,故选C.5.注意到函数的定义域为,且是奇函数,所以只需为奇函数,得.反之,当时,显然是偶函数,故选,故选D.6.记事件表示“小孩诚实”,事件表示“小孩说督”,已知,,故选D.7.对于A:常数,所以不是保等比数列函数;对于:为常数,所以是保等比数列函数;对于:常数,所以不是保等比数列函数;对于常数,所以不是保等比数列函数,故选B.8.易知函数的周期为,所以圆柱的底面圆的周长为,所以圆的直径为4,据题意可知该椭圆的短轴长为,所以,又函数的最大值为2,所以梢圆的长轴长为,所以椭圆的离心率,故选B.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)【解析】9.由表格数据得,,将样本中心点代入回归直线方程得,,解得,则样本中心点为,所以选项正确;对选项,当变量增加,变量相应值减少,两个变量之间呈负相关关系,所以选项B错误;对选项C,由经验回归方程,令,得预测值,而预测值不一定等于观测值,所以选项C错误;对选项D,由残差定义知,观测值减去预测值为残差.由经验回归方程,令,得预测值,则相应于的残差为,所以选项D正确,故选.10.,对于A:,所以A止确;对于,故B错误;对于C:,故C正确;对于D:,故D正确,故选ACD.11.设切点为,切线的方程为,代入点,可得,即.因为切线过点恰能作3条曲线的切线,所以方程有3解.令函数.当或时,；当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减,所以的极大值为的极小值为,所以,解得,故选.12.对于中,在正方体中,如图1,连接,连接,在正方形中,可得,由平面平面,所以,因为且平面,所以平面,又因为平面,所以,连接,同理可证平面,因为平面,所以,因为且平面,所以平面,因为平面,所以,所以正确;对于中,无论点如何在线段上运动始终在平面上,易得平面平面,因此平面,所以正确;对于中,分别连接,在正方体,因为平面平面,所以平面,同理可证:平面,因为且平面,所以平面平面,因为平面,所以平面,又因为是上的一动点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离,且为定值,因为的面积为定值,所以三棱锥的体积为定值,且,所以不正确;对于中,将绕着展开,使得平面与平面重合,如图2所示,连接,当为和的交点时,即为的中点时,即时,取得最小值,因为正方体中,,可得,,在等边中,可得,在直角中,可得,所以的最小值为,所以正确,故选.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)【解析】13.由题设知,角为锐角,从而解得所以.14.若,则由,得,得,与无关.若取,则,故填(答案不唯一).15.由解之得，代入①得：③,又,代入(3)得:,所以,故在上投影向量的模为,故填.16.由题意知,抛物线过点,设抛物线,所以,解得:,即抛物线的方程为.所以,焦点,;所以的方程为,联立方程组消得,所以,所以.又原点到直线的距离,所以的面积为.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解:(1)由已知,,,即,.(2)如图4,,平分,,,,,,故的面积.18.(本小题满分12分)解:(1)设等差数列的首项为,公差为,又是和的等比中项,得,即,即,(1)又,取时,,即,(2)将(1)(2)联立解得,.(2)因为,所以,两式相减得:,又满足上式,所以,又,所以.所以,,两式相减得:19.(本小题满分12分)解：（1）由题意可知,则,所以,这6人中至少有一人进入面试的概率.（2）由题意可知,随机变量的可能取值有,则,,所以,随机变量的分布列如下表所示:故.20.(本小题满分12分)(1)证明:连接,如图4,因为平面,所以,又,由勾股定理可知,又,所以四边形是平行四边形,所以,又,由余弦定理可知,所以,所以,又,所以平面,所以.(2)解:因为两两垂直,所以以为原点建立如图所示空问直角坐标系,则因为为的中点,则,设平面的法向量,取,则,所以,设平面的法向量,则取,则,所以,所以.21.(本小题满分12分)(1)解:设,由题意得为点的轨迹的方程.(2)证明:方法1:设,由题知且,直线与圆相切,,即,把代入,得,显然,的周长为定值10.方法2:,同理,又同理,的周长为定值10.22.(本小题满分12分)(1)解:函数的定义域为,求导得,若,则,无极值;若,由得,若,当时,,则单调递减;当时,,则单调