2021-2022学年广西“智桂杯”高三（上）大数据精准诊断性数学试卷（文科）（附详解）

20212022学年广西“智桂杯”高三（上）大数据精准诊

断性数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2,3},集合B={x|x=2珥nCZ},则4nB=（）

A.{-2,2}B.[-2,2]C.{0,2}D.{-2,0,2}

2.已知复数2=含，则z在复平面上对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某学校要从高三年级的1152名学生中选取5名学生代表去敬老院慰问老人，若采用

系统抽样方法，首先要随机剔除2名学生，再从余下的1150名学生中抽取5名学生,

则其中学生甲被选中的概率为（）

5

ABD.

-击-忌C高1152

4.若向量五=(1,2),b-a=(3,4).则，石=()

A.5B.11C.16

5.如图是一正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面

对角线，则在正方体中，直线MN与直线PQ的位置

关系为（）

A.相交

B.平行

C.异面

D.重合

6.在平面直角坐标系中，若角a的顶点在原点，始边在％轴的正半轴，终边在第二象

限，则下列三角函数值中大于零的是（）

A.sin(a-B.cos(a+C.sin(?r+a)D.一cos(兀-a)

(2x—y>4

7.已知实数x,y满足x+2yW4,则z=3x-2y的最小值是()

(y<0

A.4B.5C.6D.7

8.已知某物体位移S(米)与时间t(秒)的关系是S=t3-3t2,则速度为9米/秒的时刻是

()

A.1秒末B.0秒末C.3秒末D.1秒末或3秒末

9.已知数列{6},%=-1且即+1(1-a“)=l(nGN+),则。2。22=()

A.函数/（x）的最小正周期是27r

B.函数/（x）在（半冷）单调递减

C.函数/Q）的图象关于直线芯=萼对称

D.函数的图象向右平移时后，得到函数g（x）的图象，则g（x）为偶函数

11.P是双曲线M；式一艺=1右支上的一点，居，尸2是左，右焦点，|PBI=4,则4P0F2

45

的内切圆半径为（）

A普B2小Q2危

・3・9

12.已知e*—2y>Iny—%+ln2f则()

A.x>2yB.%<2yC.%>ln2yD.x<ln2y

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知抛物线C：y2=轨的焦点为凡点4为抛物线C上一点，若|AF|=3,则点4的

横坐标为.

14.在△ABC中，裂=&,若B=£,则。=____.

BC4

15.我们知道当a>b>c时，，可以得到不等式—=+7^-N当a>b>c>M'j,可

a—bb—ca—c

以得到不等式+1―+-L->一）由此可以推广：当的>a>«3>…>即时，

a-bb-cc-da-d1°2”

其中n6N*,n>3得到的不等式是.

16.在三棱锥P-ABC中，PA_L面ABC,ABJ.AC,AB=1,AC=2,PA=3,点、D,

E,尸分别为24,PB,PC上靠近P的三等分点，平面OEF截三棱锥P-ABC的外接

球所得截面的面积为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

第2页，共19页

17.已知等差数列｛an｝满足的=9,a4+a8=22.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)等比数列｛%｝的前n项和为Sn,且必=%,再从下面①②③中选取两个作为条

件，求满足又<2021的n的最大值.

①劣=%+a2<

②S3=7；

③垢+1>bn。

18.为了解某小区居民的饮食习惯，从50岁以下、50岁及二“以卜

以上的居民中分别随机调查了15人，得到他们的饮食指$3

数的茎叶图.茎叶图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬:

菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主.：；：：

(1)根据茎叶图，判断该小区50岁以下、50岁及以上居II°

民的饮食分别以什么为主？并说明理由.

(2)根据所给数据，完成下面2X2列联表，并判断能否有99%的把握认为该小区居

民的饮食习惯与年龄有关？

饮食以蔬菜为主饮食以肉类为主总计

50岁以下

50岁及以上

总计

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(Q+c)g+d)

Pg>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

19.如图，四棱锥P-4BCD中，AB//CD,BC1CD,BC=CD=PD=2,AB=4,

侧面PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形.

(1)求证：CDJ.PD；

(2)求点C到平面PAD的距离.

20.已知椭圆C：摄+，=1(£1>6>0)的右焦点为网1,0),与x轴不重合的直线，过焦

点凡，与椭圆C交于4,B两点，当直线I垂直于x轴时，|AB|=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左顶点为P,PA,PB的延长线分别交直线久=4于M,N两点，证明：

以MN为直径的圆过定点.

第4页，共19页

21.已知函数f(x)=ax24-2lnx,

(1)讨论f(%)的单调性；

⑵当a<0时，证明：/(%)<-^-2.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为卜=fc°sag为参数)，

(y=V3sina+3

直线I的参数方程为为参数，0W/<7T).以坐标原点为极点，X轴非负

V.V—LSliLp

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线E和直线，的极坐标方程；

(2)直线I与曲线E交于4B两点，若a=2而，求直线2的斜率.

23.设函数f(x)=。-3|-|x+l|.

(1)解不等式/(x)<-1;

(2)若f(x)<\x+a\,求实数a的取值范围.

第6页，共19页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•••集合4={-2,-1,0,123},

集合B={x\x=2n,nGZ),

••AC\B={-2,0,2).

故选：D.

利用交集的定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•？=含=株羽=^=等=1+2,，

•••z在复平面上对应的点的坐标为(1,2),在第一象限.

故选：4

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：根据简单随机抽样与系统抽样方法的特点，

得每个人入选的概率都相等，且等于岛，

故选：D.

根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断每个人入选的概

率是多少.

本题考查了简单随机抽样与系统抽样方法的应用问题，也考查了概率的意义问题，是基

础题目.

4.【答案】C

【解析】解：向量1=(1,2),3-3=(3,4)，

可得工=(4,6)，

所以苍1x44-2x6=16.

故选：C.

利用已知条件求解向量然后求解向量的数量积即可.

本题考查向量的数量积的求法，向量的坐标运算，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，由正方体的表面展开图还原

成正方体，如图，

易得直线MN与PQ异面，

故选：C.

根据题意，把正方体的表面展开图还原成正方体，由

此能求出直线MN与直线PQ的位置关系，即可得答案.

本题考查空间直线的位置关系，涉及正方体的表面展开图，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：对于4sin(a*)=-cosa,由于a的终边在第二象限，所以cosa<0,

故A正确；

对于B：cos(a+今=-sina<0,故B错误；

对于C：sin(兀+a)=—sina<0,故C错误；

对于D：由于一COS(TT—a)=cosa<0,故。错误.

故选：A.

直接利用三角函数的关系式的转换和诱导公式的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

7.【答案】C

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【解析】

【分析】

本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常

规方法，属基础题.

画出可行域，根据目标函数的几何意义求最小值.

【解答】

2x—y>4

X+2y<4

1y<0

得到可行域如图：

z=3x-2y变形为y=|x-j,

峭二0y=4,解得B(2,0).

当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小,

所以z的最小值为3x2-2x0=6；

故选：C.

8.【答案】C

【解析】解：•.•S=t3—3t2,

S'=3t2—6t,

令S'=9,贝ij3t2-6t=9,解得t=3或t=一1（舍去）.

故选：C.

根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解.

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：数列｛%J,ax=一1且0n+1(1-an)=l(nG/V+),

所以a?、，a3=2,a4=—1,a3=

所以数列的周期为3,

a2022-a673x3+3=03=2.

故选：B.

利用数列的递推关系式，求解数列的前几项，求出数列的周期，然后求解即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键，是基础题.

10.【答案】B

【解析】解：根据函数f(x)=2s讥(3X+9)(3>0,|<p|<》的部分图象，

结合五点法作图可得3X(—»+勿=0,即3=等.

•・・/(X)图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在/(x)图象上，点M、N关于点C对称，

.••点。的横坐标是喧=生[；7=；*名=9一(一乡，二3=2,

23N2336

[0=詈=2x”或/(x)=2sin(2x4-)

故函数的周期为生=兀，故A错误；

O)

在©号)上，2%+“(3兀,等)，故函数/⑶在(詈，号上单调递减，故B正确；

令》=当，求得/。)=0,不是最值，故函数/(乃的图象不关于直线％对称，故C

错误；

把函数/(X)的图象向右平移，后，得到函数g(x)=2s出2x的图象，则g(x)为奇函数，故

。错误，

故选：B.

由题意根据五点法作图、函数的周期性，先求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象

和性质，可得结论.

本题主要考查由函数y=4sin(3x+0)的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和

性质，属于中档题.

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11.【答案】D

【解析】解：P是双曲线M：立一”=1右支

45

上的一点，尻，凡是左，右焦点，Q=2,6=V5,

c=3,

\PF2\=4,所以|PF1|=8,cos4P&F2=

64+36-16_7

2x8x68'

所以sin"F/2=Jl-(1)2=手，

设4PF1F2的内切圆半径为r,

可得9r•(|PFi|+IPF2I+I&F2I)=]IPF1II&F2I-sinNPFiF2，

ix8x6x—=ix(8+6+4)-r,解得r=—.

2823

故选：D.

设利用双曲线的定义求解IPFil，运用余弦定理，结合三角形的面积，求解ZP&F2的内

切圆半径.

本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用，考查方程

思想和运算能力，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：原不等式可化为：ex+x>2y+ln2y(y>0),

即e*+x>eln2y+ln2y(y>0))①

构造函数g(x)=ex+x,则①化为g(x)>g(ln2y),②

则g'(x)=ez+1>0.

故g(x)为R上的增函数，

所以x>ln2y,

故选：C.

原不等式可化为e*+x>eln2y+In2y(y>0)①，构造函数g(x)=ex+x,求导分析其

单调性，则利用单调性将g(x)>g(7n2y)脱“g"即可求得答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了等价转化思想和运算求解能力，属于中档

题.

13.【答案】2

【解析】解：设4(m,n),由抛物线的方程可知：p=2,

则由抛物线的定义可得：\AF\=m+^=m+l=3,

所以m=2,

故答案为：2.

设出点4的坐标，利用抛物线的方程以及定义即可求解.

本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题.

14.【答案】工

【解析】解：由正弦定理及D薪C=企,知5讥8=或5讥4，

因为8=｝所以必=est7L4,^sinA=i

，2N

所以A屋或手

当4时，4+8=?+£=等>兀，不符合题意，所以

66412o

所以C=兀_2_8=兀一合工.

故答案为：工.

利用正弦定理化边为角，再结合三角形的内角和，即可得解.

本题考查正弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

1>5-1)2

15.【答案】

an-l-anal-an

【解析】解：在第一个式子中，当a>b>c时，有不等式<+4之工=二，

a-bb-ca-ca-c

当a>b>c>d时，有不等式」一+」-+」-22=卫，

a-bb-cc-da-da-d

由此可以推广：当ai>a2>a3>・“>On时，其中建eN*,n23得到的不等式是:

，+，+…+^_2空上.

al-a2d2~a3an-l-anal~an

第12页，共19页

故答案为：二一+'一+3+---2如9

Q]-Q202一。3an-l-anai-an

1>5T)2

根据前两个式子特征，即可得到：—+—+..・+

Q]一a20.2-0.2an-i~anal-an

本题考查归纳推理,解题的关键是理解归纳推理的规律，从所给的特例中总结出规律来,

属于中档题.

.【答案】等

164

【解析】解：因为三棱锥P-4BC中，P41面ABC,AB1AC,

所以可将三棱锥P-4BC补成如图所示的长方体，

则三棱锥P-4BC的外接球即为长方体的外接球，

所以R=史至！=且，

22

因为点D,E,F分别为P4,PB,PC上靠近P的三等分点,

所以平面DEF与平面4BC平行，

又因为P到平面ABC的距离等于P4=3,

所以P到平面CEF的距离等于!P4=1,

又因为球心是长方体的对称中心，

所以可得球心到截面DEF的距离为|-1=|,

设截面圆的半径为r,

则/=R2—d2=（当）2_针=*

所以S=nr2=

4

故答案为：一.

4

将三棱锥P-ABC补成长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，根据

球的性质可得结果.

本题考查了几何体外接球的问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛a”｝的首项为由,公差为d,

因为。4+。8=22,所以2a6=22,所以&6=11,又=9,

所以d=a6-a5=ll—9=2,aj=a5-4d=9—8=1,

所以cin-1+(7i—1)X2—2n—1.

(2)若选择①②：设等比数列｛bn｝的公比为q,

囚为b1=a[，a1+CI2，所以b]=1,63=4,

因为S3=7,所以尻=S3—瓦一匕3=2,所以q=/=2,

所以Sn=华贮1=2九一1,

因为*<2021,所以2"-1<2021,

所以71410,即?1的最大值为10.

若选择①③：设等比数列｛%｝的公比为q，

因为b1—a]，83=a1+0.2»所以b[=1,坛=4,

所以q2=占=4,q=±2,

因为bn+i>bn，所以q=2,

以(

所以工1-<7")=2n-1,

i-q

因为Sn<2021,所以2n一1<2021,

所以n<10,即n的最大值为10.

若选择②③：设等比数列｛小｝的公比为q,

因为S3=7,瓦=1,所以l+q+q2=7,

所以q=2或q=-3,

因为d+1>%，所以q=2,

所以%=当詈=2九一1,

因为&<2021,所以2兀一1<2021,

所以nW10,即n的最大值为10.

第14页，共19页

【解析】（1）由等差数列的性质可求得a6=11，从而可求得d,再利用等差数列的通项

求出的,从而可得｛aj的通项公式；

（2）根据所选条件求出公比q,由等比数列前n项和公式求出Sn,从而求解即可.

本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的性质与通项公式，等比数列

的通项公式及前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）由茎叶图可知，该小区50岁以下的居民饮食指数的平均值高于70,

50岁及以上的居民饮食指数的平均值低于70,

因此，该小区50岁以下的居民饮食以肉类为主，50岁及以上的居民饮食以蔬菜为主.

（2）列联表如下：

饮食以蔬菜为主饮食以肉类为主总计

50岁以下41115

50岁及以上12315

总计161430

由题意，小的观测值"嘤部子=涉&571>6.635,

故有99%的把握认为该小区居民的饮食习惯与年龄有关.

【解析】（1）根据茎叶图的数据，结合平均值，即可求解.

（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

本题主要考查茎叶图的应用，以及独立性检验公式，属于基础题.

19.【答案】（1）证明：取4B中点E,连接DE,PE,；

•••AB//CD,BC1CD,BC=CD=BE=2,/

.,•四边形BCDE是正方形，4BJ.OE./"''''

♦侧面P4B是以AB为斜边的等腰直角三角形，E为4B中点，i«

•••AB1PE.

又rDEnPE=E,,AB_L平面PDE.

又PDu平面POE,AB1PD.vAB//CD,

•••CD1PD.

（2）解：由（1）知PD=DE=2,

又•.•侧面/MB是以4B为斜边的等腰直角三角形，4B=4,二PE=2,.•.△PDE是边长为2

的等边三角形，

取DE中点0,P0=6，*P0工DE,

又,:P01AB,ABC\DE=E,：.P0，平面4BC0.

「在△尸4D中，AD=2a,PA=2>/2,PD=2,S^PAD=|X2XV7=V7.

在△/WGH,SAADC=SABCD=5x2x2=2.

设点C到平面P4B的距离为无，•；VC_PAD=Vp_ADC，.-.ixix2xV7x/i=ixix2x2x

6,2V32V21

V3,,-,h=1=-=—,

即点C到平面PAB的距离为中.

7

【解析】(1)取ZB中点E,连接DE,PE,证明ZBJ.DE.4B1PE.推出4B1平面PDE.然

后证明CD1PD.

(2)设点C到平面P4B的距离为h,通过l/c-p.D=VP_ADC,转化求解点C到平面P4B的距

离.

本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题.

20.【答案】解：(1)椭圆C：*+，=l(a>b>0),；F(l,0)是它的右焦点，:c=1,

•当，lx轴时，\AB\=2-^=3.b2=|a,

又ra?=+。2,...一京-1=0,...。=2,b=6,

•••椭圆C的方程为比+”=1.

43

(2)证明：由题知直线48的斜率不为0,直线，过焦点/(L0),

设88的方程为％=my+1,4aL，yi)，以电力)，

42y2

2

4+3-1得(3/71?+4)y+6my-9=0,J>0恒成立，二月+丫2=，yty2=

{x=my4-1

一9

3m2+4’

，・直线P4的方程为y=言。+2),

令x=4,得加=翳,二"(4,最),

同理可得N(4,生)

第16页，共19页

又•••F(1,O),••・丽丽=9+且如垒;=9+-~弋八=9+

I')Xi+2xz+2(my1+3)(my2+3)

———-----=9+—:%吟&L=9+=9+(-9)=0

29zzv7

Tny1y2+3m(y1+y2)+9-^।-i8yt,936

3m2+43m2+4

丽1丽，「F在以MN为直径的圆上，

.••以MN为直径的圆过定点?(1,0).

【解析】(1)利用椭圆的右焦点，求出c,结合4B的距离，转化求解a,b,得到椭圆方

程.

(2)由题知直线4B的斜率不为0,直线I过焦点F(l,0),设ZB的方程为x=my+1,

AQi，yD，B(x2,y2),联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求解M坐标，然后求解N的

坐标，利用斜率的数量积求解询1前，说明F在以MN为直径的圆上，推出结果.

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题

的能力，是难题.

21.【答案】解：(l)f(x)的定义域为(0,+8),尸(x)=2ax+”%；+义,

当QZ0时、则当工€(0,+8)时，f(x)>0,故/(%)的单调增区间是(0,+8);

当a<0时，则当#6(0,R)时，<(x)>0；当xe(JE，+8)时，f(x)<0.

故f(x)在(0,、「3单调递增,

(2)证明：由(1)知，当a<0时,/(乃在彳=取得最大值,

最大值为f(R)=ax(-i)+21MH=—1+ln(一；),

所以f(x)<一;2等价于-1+ln(-i)<~\-2,即证ln(一8-(-^)+1<0.

设9(%)=^nx-x+1,则g'(x)=：-1,

当X6(0,1)时，g'(x)>0；当x6(L+8)时，g，(x)<0.

所以g(x)在(0,1)单调