2021-2022学年高二人教A版数学选修2-3学案：2 . 3 离散型随机变量的均值与方差

2.3离散型随机变量的均值与方差

2.3.1离散型随机变量的均值

.理解离散地随机变址的均值和方差的意义和性质•会根据离散徵随机变盘的分布列求出均值及方差.（宜观假象、数

学1

习学运算）

目

标2.掌握两点分布、二项分布的均值和方•差的求法.（数学抽象、数学运算）

3.会利用离散型随机变员的均值和万差解决•些相关的实际问题.（数学建模、数学运算）

基础认知•自主学习

1.高散型随机变量的均值是怎样定义的？有怎样的意义和

导思

性质?2.两点分布和二项分布的均值公式有怎样的形式？

1.离散型随机变量的均值及其性质

（1）离散型随机变量的均值或数学期望：

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的壬均妊•

⑵均值的性质:

若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量，

①Y也是随机变量；②E(aX+b)=aE(X)+b.

■思考

⑴离散型随机变量的均值与样本平均值有什么区别与联系？

提示：①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取,

而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.

②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越

来越接近于总体的均值.

(2)离散型随机变量的均值能否离开其分布列而独立存在？

提示：不能，离散型随机变量的计算离不开分布列.

2.两点分布、二项分布的均值

(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)=e.

(2)二项分布：若X~B(n,p),则E(X)=nn•

♦思考

(1)两点分布可以看作特殊的二项分布吗？两者的均值有何联系？

提示：二项分布试验中，若试验的结果有。和1时，可以看作两点分

布，故二项分布的均值中当n=1时，其均值即为两点分布的均值.

⑵试证明二项分布的均值E(0=np.

提示:因为P(&=k)=C„pk(l-p)n-k=Cjpkqn-k,

所以E(9=0xC：p°qn+IxClpiqn」+2xC：p2qn-2+...+kxCjpkqn'k

+...+nxC"pnq°.

n!

又因为kC„=k---------------=

k!(n-k)!

n-(n-1)!

nC建，所以E(0=

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

npx(C：_]p()qn-1+C；.1p'qn-2+...+

CS：|pk-iq(n-i)-(k-i)+.>+cn-[pn-yopr^p+qF-iunp.

所以E«)=np.

。基础小测>>

i.辨析记忆(对的打y"，错的打“X”)

⑴随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变

化.(x)

(2)随机变量的均值反映样本的平均水平.(x)

(3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4.(4)

X1+X2+…+Xn

(4)随机变量X的均值E(X)=-------------------.(X)

提示：⑴随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固

有的一个数字特征.

(2)随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.

(3)由均值的性质可知.

(4)因为E(X)=Xlpl+X2p2+...+Xnpn.

2.若X的分布列为下图，则E(X)=()

B.；C.TD.g

1414

选A.由题意知5+@=1,所以2=5,E(X)=Ox-+a=a=g.

3.（教材练习改编）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是

每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节

日期间对这种鲜花需求量欧束）的统计（如下表），若进这种鲜花500束

在今年节日期间销售，则利润的均值是_______元.

200300400500

P0.200.350.300.15

节日期间这种鲜花需求量的均值为E®=200x0.20+300x0.35+

400x0.30+500x0.15=340(束).

设利润为n，贝！Jn=5匕+1.6X(500-9-500x2.5=3.4^-450，所以E(n)

=3.4E©-450=3.4x340-450=706(元).

答案:706

能力形成•合作探究

类型一求离散型随机变量的均值（直观想象、数学运算）

角度1离散型随机变量均值的性质

【典例】已知随机变量X的分布列为：

X-2-1012

1111

Pm

43520

若Y=-2X,则E(Y)=

【思路导引】注意随机变量Y与随机变量X之间的关系，再利用离

散型随机变量均值的性质求解.

由随机变量分布列的性质，得

111

11

-++-+m+解得-X-+

452)4

20

l)x1+0x|+lx1+2喘=_'.由Y=-2X得E(Y)=-2E(X),

即E(Y)=-2x[-元卜正.

生口案木•♦—15

变式探究

1.本例条件不变，若Y=2X-3,求E(Y).

17

由公式E(aX+b)=aE(X)+b,E(X)=-而得，E(Y)=E(2X-3)=

⑺

2E(X)-3=2x([-^-3=-6^2.

2.本例条件不变，若自二aX+3,且E(^)=-y,求a的值.

因为E®=E(aX+3)=aE(X)+3

1711mJ

=a+3=-y，所以a=15.

角度2求离散型随机变量的均值

【典例】1.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10

环得0分.已知他击中10环的概率为0.8,则射击一次得分X的期

用日,

壬)

A.0.2B.0.8C.1D.0

【思路导引】L可的居期望的定义直接求解.

1.选B.因为P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1x0.8+0x0.2=0.8.

2.袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球•设取出一

个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值.

【思路导引】2.可先求随机变量的概率分布列，再求均值.

2.得分X的所有可能取值为5,6,7,8.X=5时，表示取出1个红

A

球3个白球，此时P(X=5)=W=行；

X=6时，表示取出2个红球2个白球，

C2c212

止匕时P(x=6)=-&3=云；x=7时，表示取出3个红球1个白球,

..C；C；12

此L时nP(X=7)=©=35；

Q41

X=8时，表示取出4个红球，此时P(X=8)=百=行.

所以X的分布列为

41812

353535

418

所以E(X)=5xm+6x—

解题策略

1,求随机变量X的均值的方法和步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.

⑵求出X取每个值的概率P(X=k).

⑶写出X的分布列.

(4)利用均值的定义求E(X).

2.若给出的随机变量1与X的关系为"aX+b,(a,b)为常数，求

E©的两种思路：

一是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E©.二是利用

X的分布列得到占的分布列，关键由X的取值计算&的取值，对应的

概率相等，再由定义法求得E化).

题组训练

1•某班有(的学生数学成绩优秀，如果从班中随机找出5名学生，

那么其中数学成绩优秀的学生数1~B(5,J，则E(-9的值为()

AB.CD.

选D.因为E©=5x[,

所以E(-&)=-E(^)=-1.

2.(2020.浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,

每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为自，则P©

=0)=；E(O=.

由题知，随机取出红球的概率为(，随机取出绿球的概率为《，随机

取出黄球的概率为:，

自的取值情况共有0,1,2,P(^=0)=1+；x|=|,

111211111111

P化=1)=5x-+-X-X-+2X-X-=3,P(^=2)=2X,x-+

—1-17—1I—1-1—1I—12—1——1，所以E©=lx；+2x1=1.

232232432-3

答案：；1

3.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最

多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再

参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾

照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,

求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.

X的取值分别为X2,3,4.

X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X=l)=0.6.X

=2,表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，

故P(X=2)=(1-0.6)x0.7=0.28.

X=3,表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故P(X=3)=(1-0.6)x(l-0.7)x0.8=0.096.

X=4表明李明第一、二、三次考试都未通过故P(X=4)=(1-0.6)x(l

-0.7)x(l-0.8)=0.024.

所以李明一年内参加考试次数X的分布列为

X1234

P0.60.280.0960.024

所以X的均值为E(X)=1x0.6+2x0.28+3x0.096+4x0.024=1.544.

教师

专用【补偿训练】

1.已知随机变量自和n,其中n=i21+7，且EE）=34,若自的分布

列如下表,则m的值为（）

1234

11

Pmn

412

111-

AB-CD

46-8-

选A.因为n=12&+7,则E(n)=12E©+7,

即E(r|)=12(lx(+2xm+3xn+4x*]+7=34.

所以2m+3n=|①，又；+m+n+==1,

2.1

所以m+n=g②，由①②可解得m=g.

2.若X是一个随机变量，求E(X-E(X))的值.

因为E(aX+b)=aE(X)+b,而E(X)为常数,所以E(X-E(X))=E(X)

-E(X)=0.

类型二两点分布和二项分布的均值(数学抽象、数学运算)

题组训练

1.若随机变量1~B(n,0.6),且E©=3,则P6=1)的值为()

A.2x0.44B.2x0.45

C.3x0.44D.3x0.64

1.选C.因为匕~B(n,0.6),所以E(O=nx0.6,故有0.6n=3,解得

n=5.P(^=l)=Cjx0.6x0.44=3x0.44.

2.(2021.兰州高二检测)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了

1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数

记为X,则X的数学期望为.

A.100B.200C.300D.400

2.由题意可知不发芽的种子数记为Y服从二项分布，即Y~B(1000,

0.1),所以E(Y)=1000x0.1=100,

所以X的数学期望E(X)=2XE(Y)=200.

答案:200

3.某运动员投篮命中率为p=0.6.

⑴求投篮1次时命中次数X的均值.

⑵求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.

3.(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：

则E(X)=0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布,

即Y~B(5,0.6),则E(Y)=np=5x0.6=3.

解题策略

1.常见的两种分布的均值

设P为一次试验中成功的概率，则

⑴两点分布：E(X)=p；(2)二项分布：E(X)=np.

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.

2.两点分布与二项分布的辨析

⑴相同点：一次试验中要么发生，要么不发生.

(2)不同点:①随机变量的取值不同，两点分布中随机变量的取值为0,

1,二项分布中随机变量的取值为x=0,1,2____n.

②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次

试验.

教师

专用

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：

被邀请者要么在24小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接

受挑战),并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需

在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外

3个人参与这项活动假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,

目互不影响.

(1)若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人

中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

⑵假定⑴中被邀请到的3个人中恰有2个人接受挑战，根据活动规

定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的

分布列和均值.

⑴因为每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，所以每个人接受

挑战的概率是:，不接受挑战的概率也是3.设事件M为“这3个人中

至少有2个人接受挑战”，则P(M)=Cf之x®+c|x.3

1

2.

(2)因为X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以X~

B(6,I).P(X=0)=C2x®6=±,

P(X=1)=C2X@x&5=A,

P(X=3)=点3x图3,

P(X=4)=

P(X=5)=

皮xgj6=上，所以X的分布列为

P(X=6)=

X0123456

131551531

p

64326416643264

bzcl3155153,1

所以E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—

=3.

类型三均值的应用（数据分析、数学运算）

【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126

件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、

三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损

2万元，设1件产品的利润（单位：元）为X.

（1）求*的分布列.

（2）求1件产品的平均利润（即X的均值）.

⑶经过技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等

品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万

元，则三等品率最多是多少？

四步内容

条件:随机抽取200件，已知各个等级产品的件数和

理解

~利润数.

题音

心结论:求分布列、平均利润和三等品率.

根据利润的意义

写出X的分布列

思路写出X的取值

探求利川期望

求出均值E（x）

回答问题

(DX的所有可能取值有6,2,1,—2.

12650

，(X=6)=端=0.63.P(X=2)=就=0.25,P(X

204

=l)=；^=0.1,P(X=—2)=；^=0.02.故X的

分布列为:

X621-2

P0.630.250.10.02

书

写(2)E(X)=6X0.63+2X0.25+1X0.l+(-2)X

表0.02=4.34.

达(3)设技术革新后的三等品率为％.则此时1件产品

的平均利润为E(X)=6X0.7+2X(1-0.7-0.01

-N)+1XJT+(—2)X0.01=4.76—z(0W7《

0.29).依题意，E(X)》4.73,即4.76-JT>4.73,

解得H&O.03,所以三等品率最多为3%.

注意书写的规范性：

①X的所有可能取值有6,2,1,—2.

②正确表达出E(X)>4.73是关键.

题后在写出分布列时，正确求出随机变量的取值是解决

反思此类题的关键.

解题策略

1.实际生活中的均值问题

均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费

预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面,

都可以通过随机变量的均值来进行估计.

2.概率模型的三个解答步骤

⑴审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，

所用的公式有哪些.

⑵确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.

⑶对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.

「跟踪训练>>

I.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，4表示甲车床生产1000件

产品中的次品数，n表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一

段时间考察，上”的分布列分别是：

0123

P0.70.10.10.1

n0123

p0.50.30.20

据此判定()

A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同D.无法判定

选A.E(O=0x0.7+1x0.1+2x0.1+3x0.1=0.6,

E(r))=0X0.5+1x0.3+2x0.2+3x0=0.7.

因为E(n)>E《)，故甲比乙质量好.

2.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,

22

方案甲的中奖率为：，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为£，中

奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每

次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.

⑴若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得

分为X,求XS3的概率.

⑵若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他

们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

⑴由已知得小明中奖的概率为:，小红中奖的概率为5，两人中奖

与否互不影响，记“这2人的累计得分XS3”为事件A，则事件A的对

立事件为“X=5”，

22411

因为P(X=5)=3x5=F，所以P(A)=1-P(X=5)=正.所以这两

人的累计得分X<3的概率为*.

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为Xi都选择方案乙

抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期

望为E(2X.),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).

由已知得X1~B(2,I),X2~B(2,|),

一2424

所以E(Xi)=2x-=-,E(X2)=2X-.

812

所以E(2X,)=2E(X.)=q,E(3X2)=3E(X2)=y.

因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分

的数学期望较大.

学情诊断•课堂测评

1•若随机变量X的分布列如下表，则E(X)=()

X012345

p2x