2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 　 第一章　2-2　第2课时　等差数列前n项和的综合应用 课件（44张）

激趣诱思等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.知识梳理一、等差数列前n项和的函数特征

名师点析1.等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形:2.求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观.3.求等差数列{an}的前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.微判断(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(

)(2)等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列{an}的公差为2A.(

)√×微练习1等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则其最小值为

.答案

-2微练习2已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(x)的对称轴是直线x=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.二、等差数列{an}的前n项和Sn的性质

2.若Sm,S2m,S3m分别为公差是d的等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公差是m2d的等差数列.3.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质:an是中间项

微思考若{an}是公差为d的等差数列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差数列?如果是,公差是多少?提示

(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d.∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列.微判断(1)若等差数列{an}的项数为2n-1,前n项和为Sn,则Sn=(2n-1)an.(

)(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则{an}不是等差数列.(

)√√课堂篇探究学习探究一等差数列前n项和的性质的应用例1等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.解

(方法一)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关问题中,如果关于Sn的性质运用得当,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.变式训练1等差数列{an}的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和.解

设Sn是数列{an}的前n项和,探究二等差数列前n项和的综合运用角度1

等差数列前n项和的最值问题例2(1)(多选题)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N+),则下列命题正确的是(

)A.若S3=S11,则必有S14=0B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项C.若S7>S8,则必有S8>S9D.若S7>S8,则必有S6>S9(2)在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.(1)答案

ABCD解析

根据等差数列的性质,若S3=S11,则S11-S3=4(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14=

=7(a7+a8)=0,选项A正确;根据Sn的图象,当S3=S11时,∵

=7,且d<0,∴S7是最大值,选项B正确;若S7>S8,则a8<0,且d<0,所以a9<0,所以S9-S8<0,即S8>S9,选项C正确;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,选项D正确.故选ABCD.(2)解

(方法一)设数列{an}的公差是d,∵S9=S17,a1=25,(方法二)同方法一,求出公差d=-2.∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.∵a1=25>0,(方法三)同方法一,求出公差d=-2.∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.∴a13>0,a14<0.反思感悟(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形:①若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和.②若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法:①寻找正、负项的分界点,可利用等变式训练2已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值?解

(1)由a1=9,a4+a7=0,得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,∴an=a1+(n-1)d=11-2n(n∈N+).角度2

含绝对值的等差数列求和问题

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.∵n=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+).即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.(2)当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn反思感悟已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤1.确定通项公式an;2.根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;3.去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;4.将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.延伸探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.探究三等差数列求和的实际应用例47月份,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月的哪一天该款服装销售最多?最多售出几件?(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.该款服装在社会上流行几天?解

(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N+,1≤n≤31),最多售出ak件.∴7月13日该款服装销售最多,最多售出39件.(2)设Sn是数列{an}的前n项和,∵S13=273>200,∴当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13,当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an<20,得23≤n≤31,∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).归纳提升应用等差数列解决实际问题的一般思路:变式训练3某地去年9月份曾发生流感,据统计,9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起,该地区医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到有效控制,每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数;(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人?解

(1)由题意,知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1=40,公差d=40的等差数列{an},所以9月10日的新感染者人数为a10=40+(10-1)×40=400.从9月11日起,每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10,所以9月11日的新感染者人数为400-10=390.9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1=390,公差d1=-10的等差数列{bn},又b20=390-10×19=200,所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2

200+5

900=8

100(人).素养形成思想方法——等差数列前n项和性质的灵活应用典例项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.分析

由于本题涉及等差数列的奇数项和及偶数项和,因此可以利用与奇、偶数项和有关的性质解题.解法一

设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可