北师大版九年级数学上册 （正方形的性质与判定）特殊平行四边形课件教学(第2课时)

正方形的性质与判定第2课时北师大版九年级上册数学同步课件

教学目标1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.情景导入什么是正方形？正方形有哪些性质？正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：①四个角都是直角;

②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分；④既是中心对称图形也是轴对称图形.新知讲解如何判定一个四边形是正方形呢？判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.

简记

：

即是矩形又是菱形就是正方形新知讲解如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.新知讲解方位角和距离满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直新知讲解准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.新知讲解猜想

满足怎样条件的矩形是正方形？矩形一组邻边相等对角线互相垂直正方形你能证明这两种猜想吗？新知讲解定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.新知讲解证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.归纳总结通过矩形判定正方形：符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，所以四边形ABCD是正方形。判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形。ABCDO判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。新知讲解你能证明这两个猜想吗？把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形猜想

满足怎样条件的菱形是正方形？菱形一个角是直角对角线相等正方形新知讲解定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.新知讲解定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.归纳总结正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角，一组邻边相等，对角线相等对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角典例精析例1如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.FABECD典例精析FABECD证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.想一想我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.想一想ADCBA1B1C1D1以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。证明思路：利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。议一议以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？菱形的中点组成的四边形是矩形.你能试着证明吗？矩形的中点组成的四边形是菱形.议一议已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）议一议已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为菱形.

议一议∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）归纳总结决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形课堂练习1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是()A．AB＝ADB．AB⊥BCC．AC⊥BDD．AC平分∠BAD2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝ACB．BD＝DFC．AC＝BFD．CF⊥BFBC课堂练习3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．②③或①④4.如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是_____厘米.课堂练习5．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADF=∠CBE.又∵BE=DF,∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE,∠AFD=∠CEB.∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE.课堂练习∴四边形AECF是平行四边形.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE.∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.课堂练习6．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？解：四边形EFGH是正方形.理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).课堂练习∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.∴四边形EFGH是菱形.∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠EHG=90°.∴四边形EFGH是正方形.课堂总结5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等板书设计1.3.2正方形的判定(2)对角线互相垂直的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)对角线相等的菱形是正方形.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；作业布置教材第25页习题1.8第2、3题第三章圆3垂径定理

目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸1.垂径定理2.垂径定理的推论.（重点、难点）学习目标新课导入（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交

流.新课讲解

知识点1垂径定理如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M.（1）图是轴对称图形吗？如果是，

其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关

系？说一说你的理由.新课讲解定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．用几何语言表述为：如图，在⊙O中，新课讲解下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4OAEBDOCAEB新课讲解例典例分析如图所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，且CD=2，BD=，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.5分析：连接OD，如图所示.∵CD⊥AB，CD=2，∴CH=DH=.在Rt△BHD中，由勾股定理，得BH=1.设⊙O的半径为r，在Rt△OHD

中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（

）2=r2.解得r=∴AB=3.B新课讲解例典例分析如图所示，在⊙O中，AB

为⊙O的弦，C，D

是直线AB

上两点，且AC=BD.求证：△OCD

为等腰三角形.新课讲解分析：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.解：过点O

作OM

⊥AB，垂足为M，∵OM⊥AB，∴AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD

为等腰三角形.新课讲解练一练1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).新课讲解解：如图，∵OD⊥AB，∴AD＝

AB＝×37.4＝18.7(m)．在Rt△ODA中，OD＝(R－7.2)m，OA＝Rm，∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，解得R≈27.9.∴桥拱所在圆的半径约为27.9m.新课讲解如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(

)A．CE＝DE

B．AE＝OEC.D．△OCE≌△ODEB新课讲解

知识点2垂径定理的推论如图,AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD)，交AB于点M.（1）图是轴对称图形吗？如果是，

其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.新课讲解

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.新课讲解推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分

弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，新课讲解即：如图，在⊙O中，(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平

分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，新课讲解例典例分析

如图所示，AB，CD

是⊙O

的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠

CNM.求证：AB=CD.新课讲解解：连接OM，ON，OA，OC.∵O

为圆心，且M，N分别为AB，CD的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN（HL）.∴AM=CN.∴AB=CD.新课讲解例典例分析如图,—条公路的转弯处是一段圆弧（即图中

,点O是

所在圆的圆心），其中CD=600m，E为

上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.新课讲解连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.∵OE

⊥CD，∴

CF=CD=×600=300(m).在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，

即R2=3002

+(R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.解：新课讲解练一练如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O