第十章10 5圆锥曲线综合问题10 5

１００５年高考３年模 Ｂ版（教师用书§１０．５圆锥曲线的综合问题解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下：函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．求定值定点问题常见的方法有两种：（１）从特殊入手，求出定值或定点，再证明这个值或点的坐（２）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中

对应学生用书起始页码几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数求参数的取值范围时，往往是先根据已知条件建立等式或与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数三角函数平面几何等方面的知识．考点考点 （ｉ）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参数的方程或不等式（组）．（ｉｉ）解此方程或不等式（组），若有解，则存在，若无解，则不（）解答此类问题要充分注意解题的规范性

对应学生用书起始页码１定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现数量积．

１１＝ ＝ ．关键就是引入变化的参数表示直线方程数量积比例关系等，根据等式恒成立数式变换等寻找不受参数影响的量．２．定点问题常见的解法

ｌ１ｘ轴不垂直也不重合时，可设ｌ１的方程为ｙ＝ｋ（１）（ｋ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２则ｌｙ＝（ｘ ｘ２

ｙ＝ｋ（ｘ设Ｏ为坐标原点，动点Ｍ

＋＝１上，

ｘ２＋ｙ２ 消去ｘ轴的垂线，垂足为Ｎ，点Ｐ满足ＮＰ＝２ （１）求点Ｐ的轨迹方程 得（８＋９ｋ２）ｘ２１８ｋ２ｘ＋９ｋ２７２＝（）Ｆ（）的直线ｌ１与点的轨迹交于Ａ两点，Ｆ（）ｌ１ｌ２与点的轨迹交于Ｃ两点，

则ｘ１＋ｘ２

，ｘ１ｘ２

９ｋ２，

４８（１＋ｋ２ ∴ＡＢ 证＋为定值解析（１）设Ｐ（ｘ，ｙ），则Ｎ（ｘ，０），ＮＰ＝（ 同理可得ＣＤ１

４８（１＋ｋ２，

又∵ＮＭ＝ＮＰ＝ ，∴ ∴ ，为定值 ｘ２ｙ ｘ２

１

９

＝１， ＋１．

综上

＋ＣＤ为定值ｘ２的轨迹方程为９８＝

（２０１８广西南宁测试，２０）已知左焦点为Ｆ（１，０）ｘ２ｘ轴重合时，ＡＢ＝６，ＣＤ＝

椭圆 ，

＝１（ａ＞ｂ＞０）经过点Ａ（１ １＋１＝１７．

（）ｌ与椭圆分别交于Ｍ（Ｍ在ｘ轴异侧），关于ｘ轴对称的点为Ｂ（不与重合），直线ｘ＝４分别当ｌ１与ｘ轴垂直时，ＡＢ ，ＣＤ＝３

第十 ｘ２ ｘ２解析 （１）因为椭 所以ａ＝

＝１（ａ＞ｂ＞０）经过点Ａ（

解析（）设椭圆的方程为２ 则由题意知ｂ＝

＝１（又ａ２ｂ２＝ｃ，ｃ＝１，所以ｂ２＝

５，∴ａ２

＝

５． （２）证明：由题意可知直线ｌ不与ｘ轴垂直，可设直线ｌ的

＋ｙ２＝５ 程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，代入椭圆方程＋＝１，得（３＋４ｋ２）ｘ２＋ （２）证明：设Ｐ（ｘ０，ｙ０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）．由（１） ４ｍ２＝０，且设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２

，ｘ１ｘ２

４（ｍ２．

Ｆ１（２，０）ＰＦ２＝（２ｘ０，ｙ０），Ｆ２Ｂ＝（ｘ２２，ｙ２∵ＰＦ＝λＦ １ｙ

ｘ（ｘ２），令ｘ＝４，得ｘ１

∴（２ｘ０，ｙ０）＝λ１（ｘ１＋２，ｙ１ｙ０标ｙ＝６ｙ１

∴λ１ ｙ１ｙ０ｘ１ ０ｘ１ 同理，λ２＝ｙ２２ｘＱｘ２

２

３６ｙ１

①ＰＡ，ｘ轴垂直，且ｙ时ｘ所以ＴＰＴＱ＝ｙＰｙＱ ｘ

直线的方程为ｙ

（ｘｘ１３６（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２

２２（ｘ１２）（ｘ２

ｘ０ ｘ１ｘ２２（ｘ１＋ｘ２）

代入＋ｙ＝因为∠ＴＱＦ＝∠ＴＦＰ，所以ｔａｎ∠ＴＱＦ＝ 消去ｘ得［（ｘ２）２＋５ｙ２］ｙ２＋４ｙ（ｘ２）ｙｙ２＝ ０ 因为ＴＰ⊥ＴＦ，所以

＝ＴＰ

则ｙｙ

０２（ｘ２）２所以ＴＰ

＝

２＝

ｙ

， 由①②可得（４ｋ＋１）ｘｘ＋（４ｋｍ２）（ｘ＋ｘ）＋４ｍ＋４＝ ２（ｘ２）２

１

λ＝（

将ｘ１＋ｘ２＝３＋４ｋ２，ｘ１ｘ２＝ 代入，整理得ｍ＋ｋｍ２ｋ ０，则ｍ＝ｋ或ｍ＝ 同理可得λ ０＝（ｘ＋２）２＋５ｙ２ ｙ ｍ＝２ｋ时，直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ２），此时点或点在ｘ轴上，不符合题意，舍去，故ｍ＝

∴λ＋λ＝（ｘ＋２）２＋５ｙ２＋（ｘ２）２＋５ｙ２＝２（ｘ２＋５ｙ２） 此时直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｋ，故直线ｌ经过定点Ｆ（焦点在２

又点Ｐ（ｘ０，ｙ０）０所以ｘ２＋ｙ２＝０

＋ｙ２＝１上５顶点恰好是抛物线ｘ２＝４ｙ的焦点，离心率等 ５ 即ｘ２＋５ｙ２＝ （）上一点，分别过焦点Ｆ１Ｆ，ＰＦ１λ１ＦＡ，ＰＦ２＝λ２ＦＢ，证明：λ１＋λ２为定值

故λ１＋λ２＝②或与ｘ轴垂直或ｙ０＝０时，也易得λ１＋λ２＝综上，λ＋λ２为定值二、圆锥曲线中最值（范围）求解有关圆锥曲线的最值参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，建立目标函数，求解最值．在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下五个方面考虑：（）利用判别式来构造不等关系从而确定参数的取值

（３）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值（４）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值（）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围（）利用已知参数的范围，求新参数的范围，

关系（２０１５浙江，１９，１５分）已知椭 ２＋ｙ２＝１上两个不１０２５年高考３年模 Ｂ版（教师用书的点Ａ，关于直线ｙ＝ｍｘ＋１对称

００（≤ｘ２

２）．４

Ｐ·（）求△面积的最大值（为坐标原点

０（ｘ＋２）２０

４ 解析（）由题意知ｍ可设直线的方程为ｙ＝ｍｙｙ

因为ｘ≤２，所以当ｘ０＝２时·ＦＰ取得最大值，最大值为６，故选Ｃ．为，直线ｌｙ轴交于点Ｐ（ｍ），与椭圆相异两点ＡＢ，且＝３ 解析（）设椭圆 解析（）设椭圆的方程为＝１（ａ＞ｂ＞０） ａ２＝由 １ 件知２ｂ＝２，ｃ＝２，ｃ２＝ａ２ｂ２，∴ａ＝１，ｂ＝ｃ＝２＝ｍ ｘｘ２ｍ２

∴椭圆的方程为ｙ＋２ｘ２＝（）当直线ｌ的斜率不存在时，直线方程为ｘ＝因为直线ｙ

ｘ＋ｂ

＝１有两个不同的交点

∵＝３ＰＢ，此时若Ａ（），Ｂ（２ｍ ２所以Δ＝２ｂｍ

ｍ＝３（１ｍ），ｍ＝２ｍｂｍｂ 若Ａ（１），Ｂ（将ＡＢ的中点Ｍｍ２＋，２＋代入直线方程ｙ＝ｍｘ＋２ ｍ２

２ ２

∴ｍ＋＝３（ｍ），即ｍ＝２解得ｂ 经检验，知ｍ＝２

由①②得 ６或ｍ＞６ ２ｍ ６ ６２ｍ

②ｌ的斜率存在时，可设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ｋ≠０（ｋ＝０时明显不满足题意）ＡＢ两点的坐标分别为（ｘ１（２）ｔ

，０∪０，２

ｙ），（ｘ，ｙ），

ｙ＝

得（ｋ２＋２）ｘ２＋２ｋｍｘ＋ｍ２＝则

２ ２ｘ２＋ｙ２＝ｔ２＋１２２ｔ４＋２ｔ２＋ Δ＝（２ｋｍ）２４（ｋ２＋２）（ｍ２１）＝４（ｋ２２ｍ２ｔ２＋１２ ｍ２ｔ２＋２１

ｘ１＋ｘ２ ，ｘ１ｘ２．ｋ２ｋ２∵ＡＰ＝３ＰＢ，∴ｘ＝３ｘ

ｘ＋ｘ＝２ｘ ｔ １且Ｏ到直线ＡＢ的距离ｄ ∴３（ｘ＋ｘ）２＋４ｘ １

１ 即

ｍ２设△ＡＯＢ的面积为Ｓ（ｔ）， １

＝０．ｋ２＋２Ｓ（ｔ）＝ＡＢ·

＋２≤

整理，得４ｋｍ２＋２ｍ２ｋ２＝ ２ １

时，上式不成立４当且仅当ｔ２ 时，等号成立４． ．故△面积的最大值为２和点分别为椭圆ｘ２＋ｙ２

１

ｍ≠时，ｋ２＝２ ４ｍ２由（），ｋ＞２ｍ２ｋ≠０，２２ｍ２ ∴ｋ２＝４ｍ２点，点Ｐ为椭圆上的任意一点，则Ｐ·Ｐ的最大值 答案

∴

解 由题意得Ｆ（１，０），设点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｙ２ 综合①②可得，ｍ的取值范围为１，∪ 存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明 化．其步骤为假设满足条件的元素（点直线曲线或参数）存在列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元 ｙ０ ｙ０ ｙ＝ ｙ＝

第十 ４（点直线曲线或参数）存在否则元素（点直线曲线或参

ｋＱＡ＝ｘ

ｙ２ｙ

，同理ｋＱＢ

ｙ＋ｙ数）不存在．当然反证法与验证法也是求解探索性问题的方法（２０１８云南昆明教学质量检查，２０）设抛物线Ｃｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准线为ｌ，已知点Ａ在抛物线Ｃ上，点Ｂ在

ｙ ｙ由ＱＡ⊥ＱＢ得 ·ｙ ｙ ０ １ｌ上，△ＡＢＦ是边长为４的等边三角形 即ｙ２＋ｙ（ｙ＋ｙ ０ １（）ｐ的值

∴ｙ２＋４ｙ＋２０＝０４０ ＋Ｃ交于ＱＲ两点时， １为定值？若存在，求出点Ｎ Δ＝＋

８０≥０，

，ＮＱ

坐标，若不存在，请说明理由 结 １＜ｋ＜１且ｋ≠０得，ｋ的取值范 解析（）由题意知ＡＦ＝ＡＢ，

５ ５设准线ｌ与ｘ轴交于点Ｄ，则

５，０∪０，５又△ＡＢＦ是边长为４的等边三角形，∠＝所以∠＝６０°，ＤＦ＝ＢＦｃｏｓ∠＝４×１＝２，即ｐ＝２（２）存在．设点Ｎ（ｔ，０），由题意知直线ｌ′的斜率不为零设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔ，Ｑ（ｘ１，ｙ１），Ｒ（ｘ２２）．ｘ＝

经过点Ａ（），离心率为１２（）Ｅ（４）ｌＰ于点Ｒ，Ｔ，

得

４ｍｙ４ｔ

满足ＯＲ·ＯＴ

若存在，求直线ｌ的方程；若不存在，７ １则Δ＝１６ｍ２＋１６ｔ＞０，ｙ＋ｙ＝４ｍ，ｙｙ＝ １又ＮＱ２＝（ｘｔ）２＋ｙ２＝（ｍｙ＋ｔｔ）２＋ｙ２＝（１＋ｍ２）ｙ２ ｘ２ ＮＲ２＝（１＋ｍ２）ｙ２

ａ２

＝１（２则 １＋１ ２

由题意得ｂ＝２ｅ

ｃ＝１ ＮＱ ＮＲ２（１＋ｍ２）ｙ２（１＋ｍ２） ｙ２ （１＋ｍ２）ｙ２

（ｙ＋ｙ）２２ｙ １（１＋ｍ２） １

∴ａ＝２ｃ，ｂ２＝ａ２ｃ２＝３ｃ２∴ｃ２＝４，ｃ＝２，ａ＝１ １ １６ｍ２

２ｍ２

Ｐ的方程为ｘ

＝＝１６（１＋ｍ２）ｔ２＝（２ｍ２＋２） （）存在

１６若ＮＱ＋ＮＲ为定值，ｔ＝２，Ｎ（当ｔ＝２时所以存在点Ｎ（２，０），当过点Ｎ的直线ｌ′与抛物线Ｃ

假设存在满足题意的直线ｌ，易知当直线ｌ的斜率不存在时Ｔ＜０不满足题意故可设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ４，Ｒ（ｘ１，ｙ１），Ｔ（ｘ２，ｙ２ＱＲ两点时，１ＮＱ

ＮＲ

为定值１４

∵

＝７（广西柳州月考，２１）ｘＯｙ中，已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），此抛物线上的点Ｎ（２，ｍ）到焦点的距离是３．Ｑ（ｘ，ｙ）ＱＡ⊥ＱＢ？若存在，求出ｋ的取解析２∵２＋

∴ｘｘ＋ｙｙ＝１ １ ｙ＝ｋｘ由ｘ２＋ｙ２＝１ 得（＋４ｋ２）ｘ２３２ｋｘ＋１６＝Δ得（３