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文档简介
1005年高考3年模 B版(教师用书§10.5圆锥曲线的综合问题解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”,具体操作程序如下:函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数;定值把得到的函数解析式化简,消去变量得到定值.求定值定点问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值或定点,再证明这个值或点的坐(2)直接推理计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中
对应学生用书起始页码几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.对于最值问题,一般可以用数形结合的方法或转化为函数求参数的取值范围时,往往是先根据已知条件建立等式或与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数三角函数平面几何等方面的知识.考点考点 (i)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组).(ii)解此方程或不等式(组),若有解,则存在,若无解,则不()解答此类问题要充分注意解题的规范性
对应学生用书起始页码1定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量,常表现数量积.
11= = .关键就是引入变化的参数表示直线方程数量积比例关系等,根据等式恒成立数式变换等寻找不受参数影响的量.2.定点问题常见的解法
l1x轴不垂直也不重合时,可设l1的方程为y=k(1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2则ly=(x x2
y=k(x设O为坐标原点,动点M
+=1上,
x2+y2 消去x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2 (1)求点P的轨迹方程 得(8+9k2)x218k2x+9k272=()F()的直线l1与点的轨迹交于A两点,F()l1l2与点的轨迹交于C两点,
则x1+x2
,x1x2
9k2,
48(1+k2 ∴AB 证+为定值解析(1)设P(x,y),则N(x,0),NP=( 同理可得CD1
48(1+k2,
又∵NM=NP= ,∴ ∴ ,为定值 x2y x2
1
9
=1, +1.
综上
+CD为定值x2的轨迹方程为98=
(2018广西南宁测试,20)已知左焦点为F(1,0)x2x轴重合时,AB=6,CD=
椭圆 ,
=1(a>b>0)经过点A(1 1+1=17.
()l与椭圆分别交于M(M在x轴异侧),关于x轴对称的点为B(不与重合),直线x=4分别当l1与x轴垂直时,AB ,CD=3
第十 x2 x2解析 (1)因为椭 所以a=
=1(a>b>0)经过点A(
解析()设椭圆的方程为2 则由题意知b=
=1(又a2b2=c,c=1,所以b2=
5,∴a2
=
5. (2)证明:由题意可知直线l不与x轴垂直,可设直线l的
+y2=5 程为y=kx+m,代入椭圆方程+=1,得(3+4k2)x2+ (2)证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).由(1) 4m2=0,且设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2
,x1x2
4(m2.
F1(2,0)PF2=(2x0,y0),F2B=(x22,y2∵PF=λF 1y
x(x2),令x=4,得x1
∴(2x0,y0)=λ1(x1+2,y1y0标y=6y1
∴λ1 y1y0x1 0x1 同理,λ2=y22xQx2
2
36y1
①PA,x轴垂直,且y时x所以TPTQ=yPyQ x
直线的方程为y
(xx136(kx1+m)(kx2
22(x12)(x2
x0 x1x22(x1+x2)
代入+y=因为∠TQF=∠TFP,所以tan∠TQF= 消去x得[(x2)2+5y2]y2+4y(x2)yy2= 0 因为TP⊥TF,所以
=TP
则yy
02(x2)2所以TP
=
2=
y
, 由①②可得(4k+1)xx+(4km2)(x+x)+4m+4= 2(x2)2
1
λ=(
将x1+x2=3+4k2,x1x2= 代入,整理得m+km2k 0,则m=k或m= 同理可得λ 0=(x+2)2+5y2 y m=2k时,直线l的方程为y=k(x2),此时点或点在x轴上,不符合题意,舍去,故m=
∴λ+λ=(x+2)2+5y2+(x2)2+5y2=2(x2+5y2) 此时直线l的方程为y=kx+k,故直线l经过定点F(焦点在2
又点P(x0,y0)0所以x2+y2=0
+y2=1上5顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点,离心率等 5 即x2+5y2= ()上一点,分别过焦点F1F,PF1λ1FA,PF2=λ2FB,证明:λ1+λ2为定值
故λ1+λ2=②或与x轴垂直或y0=0时,也易得λ1+λ2=综上,λ+λ2为定值二、圆锥曲线中最值(范围)求解有关圆锥曲线的最值参数范围的问题:一是注意题目中的几何特征,充分考虑图形的性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求解最值.在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下五个方面考虑:()利用判别式来构造不等关系从而确定参数的取值
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值()利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围()利用已知参数的范围,求新参数的范围,
关系(2015浙江,19,15分)已知椭 2+y2=1上两个不1025年高考3年模 B版(教师用书的点A,关于直线y=mx+1对称
00(≤x2
2).4
P·()求△面积的最大值(为坐标原点
0(x+2)20
4 解析()由题意知m可设直线的方程为y=myy
因为x≤2,所以当x0=2时·FP取得最大值,最大值为6,故选C.为,直线ly轴交于点P(m),与椭圆相异两点AB,且=3 解析()设椭圆 解析()设椭圆的方程为=1(a>b>0) a2=由 1 件知2b=2,c=2,c2=a2b2,∴a=1,b=c=2=m xx2m2
∴椭圆的方程为y+2x2=()当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=因为直线y
x+b
=1有两个不同的交点
∵=3PB,此时若A(),B(2m 2所以Δ=2bm
m=3(1m),m=2mbmb 若A(1),B(将AB的中点Mm2+,2+代入直线方程y=mx+2 m2
2 2
∴m+=3(m),即m=2解得b 经检验,知m=2
由①②得 6或m>6 2m 6 62m
②l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+m,k≠0(k=0时明显不满足题意)AB两点的坐标分别为(x1(2)t
,0∪0,2
y),(x,y),
y=
得(k2+2)x2+2kmx+m2=则
2 2x2+y2=t2+122t4+2t2+ Δ=(2km)24(k2+2)(m21)=4(k22m2t2+12 m2t2+21
x1+x2 ,x1x2.k2k2∵AP=3PB,∴x=3x
x+x=2x t 1且O到直线AB的距离d ∴3(x+x)2+4x 1
1 即
m2设△AOB的面积为S(t), 1
=0.k2+2S(t)=AB·
+2≤
整理,得4km2+2m2k2= 2 1
时,上式不成立4当且仅当t2 时,等号成立4. .故△面积的最大值为2和点分别为椭圆x2+y2
1
m≠时,k2=2 4m2由(),k>2m2k≠0,22m2 ∴k2=4m2点,点P为椭圆上的任意一点,则P·P的最大值 答案
∴
解 由题意得F(1,0),设点P(x,y),则y2 综合①②可得,m的取值范围为1,∪ 存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明 化.其步骤为假设满足条件的元素(点直线曲线或参数)存在列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元 y0 y0 y= y=
第十 4(点直线曲线或参数)存在否则元素(点直线曲线或参
kQA=x
y2y
,同理kQB
y+y数)不存在.当然反证法与验证法也是求解探索性问题的方法(2018云南昆明教学质量检查,20)设抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,已知点A在抛物线C上,点B在
y y由QA⊥QB得 ·y y 0 1l上,△ABF是边长为4的等边三角形 即y2+y(y+y 0 1()p的值
∴y2+4y+20=040 +C交于QR两点时, 1为定值?若存在,求出点N Δ=+
80≥0,
,NQ
坐标,若不存在,请说明理由 结 1<k<1且k≠0得,k的取值范 解析()由题意知AF=AB,
5 5设准线l与x轴交于点D,则
5,0∪0,5又△ABF是边长为4的等边三角形,∠=所以∠=60°,DF=BFcos∠=4×1=2,即p=2(2)存在.设点N(t,0),由题意知直线l′的斜率不为零设直线l的方程为x=my+t,Q(x1,y1),R(x22).x=
经过点A(),离心率为12()E(4)lP于点R,T,
得
4my4t
满足OR·OT
若存在,求直线l的方程;若不存在,7 1则Δ=16m2+16t>0,y+y=4m,yy= 1又NQ2=(xt)2+y2=(my+tt)2+y2=(1+m2)y2 x2 NR2=(1+m2)y2
a2
=1(2则 1+1 2
由题意得b=2e
c=1 NQ NR2(1+m2)y2(1+m2) y2 (1+m2)y2
(y+y)22y 1(1+m2) 1
∴a=2c,b2=a2c2=3c2∴c2=4,c=2,a=1 1 16m2
2m2
P的方程为x
==16(1+m2)t2=(2m2+2) ()存在
16若NQ+NR为定值,t=2,N(当t=2时所以存在点N(2,0),当过点N的直线l′与抛物线C
假设存在满足题意的直线l,易知当直线l的斜率不存在时T<0不满足题意故可设直线l的方程为y=kx4,R(x1,y1),T(x2,y2QR两点时,1NQ
NR
为定值14
∵
=7(广西柳州月考,21)xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0),此抛物线上的点N(2,m)到焦点的距离是3.Q(x,y)QA⊥QB?若存在,求出k的取解析2∵2+
∴xx+yy=1 1 y=kx由x2+y2=1 得(+4k2)x232kx+16=Δ得(3
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