利用零点分段法解含多绝对值不等式之欧阳引擎创编

欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳弓欧阳弓I擎创编 2021.01.01欧阳弓擎创编 欧阳弓擎创编 2021.01.01利用零点分段法解含多绝对值不等式欧阳引擎(2021.01.01)对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．一、步骤通常分三步：⑴找到使多个绝对值等于零的点．⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式.一般地几个零点把数轴分为几十1段进行讨论.⑶将分段求得解集，再求它们的并集.二、例题选讲例1求不等式|X+21+1X-11>3的解集.分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．JX+2(X>-2) JX-1(x>1)解：・・・IX+21=I-X-2(X<-2),IX-11=I1-X(x<1).故可把全体实数X分为三个部分：①Xv-2,②-2<Xv1,③X>1.所以原不等式等价于下面三个不等式组：

f—2<x<1xf—2<x<1x<—2—x—2+1—x>3,或(II)tx+2+x-1>3,或(III)tx+2+1—x>3.不等式组(1)的解集是{xIxv-2},不等式组(11)的解集是0,不等式组(111)的解集是{xIx>1}.综上可知原不等式的解集是{xIxv-2或x>1}.例2解不等式1x-1I+I2-xI>3-x.解：由于实数1,2将数轴分成(-8,1],(1,2],(2,十8)三部分，故分三个区间来讨论.⑴当x<1时，原不等式可化为-(x-1)-(x-2)>x+3,即xv0.故不等式的解集是{xIxv0}.⑵当1vx<2时，原不等式可化为(x-1)-(x-2)>x+3,即xv-2.故不等式的解集是0.⑶当x>2时，原不等式可化为(x-1)+(x-2)>x+3,即x>6.故不等式的解集是{xIx>6}.综上可知，原不等式的解集是{xIx<0或x>6}.例3已知关于x的不等式x-5I+Ix-3I<a的解集是非空集合，求a的取值范围.角牟：*/x=5时，Ix-5I=0;x=3时，Ix-3I=0.⑴当x<3时，原不等式可化为-x+5-x+3<a，即a>8-2x,由x<3,所以-2x〉-6,故a>2.⑵当3Vx<5时，原不等式可化为—x+5+x—3<a，即a>2.⑶当x>5时，原不等式可化为％-5+x-3va，即a>2x-8>10—8=2,故a>2.综上知a>2.无理不等式与绝对值不等式•考试目标主词填空1.含有绝对值的不等式①\f(x)l<a(〃>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是一a<f(x)<a.②\f(x)\>a(〃>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)<—a.③fx)\>\g(x)\of2(x)>g2(x).2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:g(x)>0 或［g(x)<0f(x)>［g(x)『［f(x)>03.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式IIa1-1bIKIa±bKIa1+1bI,此不等式可推广如下:1ai+a2+a3+―+anlKIaiI+Ia2I+Ia34・・+I%当且仅当ai，a2,%，…%符号相同时取等号.・题型示例点津归纳【例1】解无理不等式.(1)E>2;(2)vx-1>2x—4;(3"x+1<2x+1.【解前点津】（1）因2>0,故原不等式可化为不等式组:1⑵因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,（3）与⑵类似，也须讨论.【规范解答】（1）化原不等式为:42x-4>0⑵化原不等式为:[(x-1)>(2x-4)2,vIx一1>0或〈|2x-4<0Ix>2 1x>1 「 17+ ।n4 或4 n2<x< 或1<x<2n1<x<4x2-17x+17<0Ix<2 8⑶化原不等式为两个不等式组:x+1>0<2x+1>0x+1<(2x+1)2x>-11x>——2欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳弓欧阳弓I擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例21解下列含有绝对值的不等式：(1)1x2—4l<x+2;(2)lx+ll>l2x-ll;(3)lx-ll+l2x+ll<4.【解前点津】(1)可直接去掉绝对值符号，转化为-(x+2)<1x2-4<(x+2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当，时，有x-1=0及2x+l=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号.【规范解答】(1)原不等式可化为：x2+x-2>0 或一(x+2)<x2—4<X+2 [%2_%_6V0 [-2<x<3.故原不等式的解集为[1,3]U{-2}.(2)化原不等式为lx+1\2>\2x-112n(2x-1)2—(x+l)2<0.(2x—1+x+l)•(2x—1-%—l)v0=>3x•(x—2)<0n0<x<2.£TOC\o"1-5"\h\z(3)令x—1=0得x=l,令2x+l=0得 —2.(11当X['2_|时，原不等式可化为：一(1-1)一x<-- 4 1n< 20—<x<—3 2(2x+l)<4[-3%<4当2」时，原不等式可化为:-(x—l)+(2x+l)v4.

--<%<1 12n—%<2 2<%<1.当%e(i,+8)时，原不等式可化为：(%—i)+(2%+1)<4,故由」4」4」综上所述知[3,21/4][3,3J为原不等式解集.【解后归纳】解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n个不同的分点，将数轴分割成了(n+1)段.【例3】若不等式'%>a+3的解集是(4,m),求a,m的值.【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y=、%(%>0)及3 3尸a%+i(%>0)的图像.若尸耳的图像位于尸a%+2图像的上方，则与之对应的%的取值范围就是不等式的解.3【规范解答】设为=右，它的图像是半条抛物线;y2=a%+2(%3>0),它的图像是经过点(0,2),斜率为a的一条射线.3 3不等式,%>a+2的解即当为=,%的图像在为=a%+2(%>0)的图像上方时相应的%的取值范围，因为不等式解集为(4,m)，故方3 ■ 3程a%+2有一个解为4,将%=4代入c=a%+2欧阳弓欧阳弓I擎创编 2021.01.01欧阳弓擎创编 欧阳弓擎创编 2021.01.01欧阳弓欧阳弓I擎创编 2021.01.01欧阳弓擎创编 欧阳弓擎创编 2021.01.01为v4=4a+3na=1得： 2 8._1 3再求方程"'"=8"+2的另一个解，得:户36，即m=36.【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例4】解不等式110g2"l+llog2(2-")l>1.【解前点津】从"的可取值范围入手，易知0a<2,当"分别在⑥］及(1,2)上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.【规范解答】・・”>0且2-">0故0<"<2时不等式才有意义.当"6 时，因log2"<0,1og2(2-")>0,故此时原不等式为：-%-log2%+1og2(2-%)>1nlog2%>1og222—%>2%n<0<%<1当%6(1,2)时，因为log2%>0,10g2(2-%)<0,故此时原不等式为:%log2%-log2(2-%)>1nlog22-%>1og22>2%>2(2一%>2n<一1<%<2故原不等式的解集为(°,故原不等式的解集为(°,2卜3,2【解后归纳】本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.5.2.3无理不等式的解法一、引入：1、无理不等式的类型:，f(X)>\/g(X)型ov一、引入：1、无理不等式的类型:，f(X)>\/g(X)型ov①、f(X)>01 …vsbn定义域g(X)>0J、f(X)>g(X)②、g(X)>0 r,.n"g(X)<0If(X)>0g(X/f(X)>0③、f(X)>0g(X)〉0、f(X)<[g(X)]2二、典型例题:例1、解不等式｛0口一一>0例2、解不等式%-X2+3X-2>4-3X例3、解不等式、2x2-6x+4<x+2例4、解不等式、> -1例5、解不等式，；‘X2节-"X<1(〃>0)例6、解不等式3/2-X+、；□>1三、小结:四、反馈练习：解下列不等式22-^3+33-55><51-63X—3+—'X+3<3X+-■X+3. \：4一V1一X>2--X(X-1)%X22-X-2>02-—x-x/x+1>1第6课无理不等式与绝对值不等式习题解答.C对〃=3进行检验，考虑不等式的几何意义..C利用x>0,化简另一个不等式..D由04『<1=0<x-3<1n3<x<4.-1+再4.B由4-x2>0且x+1>0且4-x2<(x+1)2n2<x<2.5.B分别画出:y=^,与广2x+a的图像，看图作答.6.BIx—a1<8,1y—a1<8nIx—y1=1(x—a)—(y—a)1<1x—al+ly—al<8+8=28,当1x—yl<28时,不能推出1x—al<8且1y—al<8.7.A若0Va<b<c,且1ga<lgb<lgc,又因为llgal>llgcl>llgbl>0,ac—1—(a+c)=ac+1—a—c=(c—1)•(a—1)<0,Aac+1<a+c.8.B因x>0,当log2x<0时，不等式成立,此时0<x<1;当log2x>0时,l2x+log2xl=2x+llog2xl.— —lxl9.Bv4-x2>—,当0<x<2时，不等式成立，另由'—2<x<0 1-2<x<0 「<, nI n-%'3<x<0J4-x2-1>0 |4-x2>1、 ' ・.由(lxl-1),(lxl-3)<0o1<lxl<3ox6(—3,—1)U(1,3)..由x>0知,x—，x—2<0,(\x—2),(%x+1)<0o0<\x<2o0<x<4..考察y=v'1-x2,y=x+a的图像，即直线y=x+a在半圆x2+y2=1(y>欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳弓［擎创编 欧阳弓［擎创编 2021.01.01。)上方n。e(行,+°°).13.⑴化原不等式为:313.⑴化原不等式为:3-x>0 „fx+3>0〈 或《x+3〉（3-x）[3-x<0n1<X<3或X>3nX>Lx+1>0<1-2x2>0⑵化原不等式为:（X+1⑵化原不等式为:（X+1）2>1-2x23x2+2x>0n原不等式解集为「浮一|o。，苧14.原不等式等价于:X<-1214.原不等式等价于:X<-125—x+2x+3<13P,—<xV5或《2<5—x—2x—3<1口]x>