初三数学上册内容

第21章分式1．分式A形如高〔A、B是分式的元素,此时如此要求B≠。,否如此无意义〕的式子,叫做分式.其中A叫做分式B的分子,B叫做分式的分母.〔这个大家都懂〕［注］分式中.分母不能为零,否如此分式无意义.如：a/A-A不成立2．有理式整式和分式统称为有理式〔可以成立的分数形式〕.如：1/23．分式的根本性质分式的分子与分母都乘以〔或除以〕同一个不等于零的整式,分式的值不变.〔即分子分母乘以同一个数〔可以是方程式,也可以是未知数,或数〕分式的大小不变.〕如：a∕A=a〔b*c〕/A〔b*c〕4最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式〔就是说分子分母无法约分了〕.如：2/4的最简分式是1∕2,a*b*c∕A*b*c的最简分式是a/A6.最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积.取各式所有分母因式的最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母.1/4,1/16,1/256它们的最简公分母就是1/47．分式的运算〔1〕分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,如果得到的不是最简分式,应该通过约分进展化简.如：1/4*2/5=<1*2>/<4*5>=2/20此时约分简化=1/10,a/b*c/d=〔ab〕/<cd>,15/20*10/20=150/400,简化得=3/8〔2〕分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相除.如：1/2/1/4=4/1/2/1=2 ,2/5/1/5=5/1/5/2=2 /〔通俗的说就是把被除项颠倒分子分母顺序后除以同样颠倒的主除项〕也可以教孩子先同化分母,再约分：1/3/1/2=2/6/3/6=2/3〔3〕分式的乘方等于分子分母分别乘方〔乘方不好打,用这个代替〕.〔1/9〕*〔1/9〕=1*1/9*9.〔4〕同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减.如：8/99+5/99=13/99 a/bc+2/cd=<a+2>/cd2/5-1/5=〔2-1〕/5=1/5异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.如：1/5-1/10=2/10-1/10=1/10,a/b-a/bc=ac/bc-a/bc=〔ac-a〕/bc8．分式方程〔1〕分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如：1/3a=1/3 1/2b=1/8〔其实上面的例题用了很多,此时未知数不一定用x〕〔2〕解分式方程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.如：1/3a=1/3解：a=11/2b=1/8解：4b=1b=1/4.此时最简公分母约分即可得到.〔3〕增根指的是在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,即代入分式方程后分母的值为0〔此时分式无意义如〔x-1>/<x-2>=2∕<x-2>根应该是x=3但在解方程过程中,我们需要先把它转化成整式方程：<x-1><x-2>=2<x-2>即x*x-5x+6=0这个方程有两个根x=2或x=3其中x=2就是在转化过程中把x≠2这个条件去掉后产生的增根.〕或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根〔这里就是如同1/b,b不能等于0一样,要使得分式成立有意义,分母不等于0的对未知数的限制条件〕，叫做原方程的增根〔4〕解分式方程进展检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了方便起见,可将它代入最简公分母中,看它的值是否为零,假设为零,如此为增根.9.零指数幂与负整指数幂〔1〕任何不等于零的数的零次幂都等于1.〔如a的0次方=1,abcd的0次方依然等于1894527的0次方还是等于1〕［注］0的零次幂没有意义.〔2〕任何不等于零的数的-n〔n为正整数〕次幂,等于这个数的n次幂的倒数.1/八a-n=——（a≠0,n是正整数〕an1∙利用10的负整指数幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成aX10-n的形式,其中n是正整数,1≤∣a∣<10.〔1*10的-2次方=1/100这个意思,10的-1次方=1/10,-2次方=1/100一次类推〕第22章一元二次方程一元二次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.〔在下面我用a八2表示a的2次方〕一般形式：ax2+bx+C=0（a,b,C是数,a≠0）.其中a,b,C分别叫做二次项的系数,一次项的系数,常数项.一元二次方程的解法〔其实我觉得解法的选择也很重要,解方程前要通过观察方程式后慎重选择解法〕〔1〕直接开平方法〈就是直接把有平方项打开相加减求值如〔1+x〕八2-〔2-x〕八2=0解：1+2x+x八2-4+4χ-χʌ2 =6χ-3=0x=1∕2>〔2〕因式分解法.‹即十字相乘法,如：xʌ2+3x+2=0这时候我们变化这个方程,其中的2可以等于1*2,3x可以等于x+2x,Xʌ2=x*x就可以变成〔3〕配方法：y=aχ2+bx+c=a<χ2+bx∕a>+c添上b/a一半的平方,再减去这个数=a<x2+bx∕a+b2∕4a2--b2∕4a2>+c=a<x+b∕2a>2-a*b2∕4a2+c=a<x+b∕2a>2-b2∕4a+c］这是书上的原文〕我举个有数字的例子：xʌ2+2x=-1xʌ2+2x+1=-1+1〔+1就是1b∕2a]^2即〔2/2〕ʌ21〕Xʌ2+2x+1=0〔x+1〕ʌ2=0即x=-1还有一种：2xʌ2+X=0.先同除以2得：xʌ2+1∕2x=0.配〔"22〕八2=〔1/4〕八2即可得xʌ2+1∕2x+〔1/4〕八2-〔1/4〕入2=0.得出收+1/4〕入2-1/16=0.解得x1=0,x2=-1/2当然也有根麻烦的，直接写出解的X的值就可以.xʌ2+1∕2x=1∕4Xʌ2+1∕2x+1∕16=5∕16收+1/4〕ʌ2=5/16〔然后讨论X的正负就可以得出解〕X为正时：X+1/4=根号5/4X为负时：1/4-X=根号5/4、,, —b±Kb2—4ac( )⑷公式法X二一2a—b2-4ac≥”〔这个超纲了应该,高中数学的不过很好用套进去用就OK如：3x2+6x=0解x1=0x2=-23.一元二次方程的判别式,A=b2-4ac当Δ>0时,方程有两个不等的实根.如：3x2+6x=0==36如上题般，当A=0时,方程有两个相等的实根.如如：3x2+6x+3=0 =36-36只有唯一的x=-1当Δ<0时,方程没有实数根.bcX+X=—,X∙X=—<这个一定超纲的,但可以用来最后检验方程所求的根是否正确›1 2a12a第23章圆1．圆的认识〔这一章注重概念还有圆上线的运用〕〔1〕当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面旋转一周时,它的另一个端点A的轨迹叫做圆.或到一个定点的距离等于定长的点的集合.这个以点。为圆心的圆叫作〃圆0〃，记为〃。0〃.〔2〕线段0A、0B、OC都是圆的半径,线段AC为直径〔此时三角形ABC一定是直角三角形〕.〔3〕连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆。中的弦.〔4〕圆上任意两点间的局部叫做弧.如曲线BC、BAC都是圆中的弧,分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆叫做劣弧.像弧,这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧〔这么记：相比拟半个圆,哪个多哪个优秀,哪个少哪个劣等〕.〔3〕圆心角：顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角〔圆的连线中以圆点〔0〕为顶角的角〕.如NAOB、∠AOC∖∠BOC就是圆心角〔不能小于0度也不能大于360度〕.2．圆的对称性〔1〕在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等.〔2〕在同一个圆中,如果弦〔这里的弦指的是如同在图中AB的长〕相等,那么所对的圆心角、所对的弧相等.〔3〕在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦相等.〔4〕圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴..垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧〔而且也将弧对应的角平分〕.推论：平分弦的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦..圆周角〔1〕圆周角：顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角.图中角ACB,角CBA,角BAC,都是圆周角〔打个比方：三角形三个点都在圆上,如此三角形的三个角都是圆周角〕〔2〕半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°〔直角〕〔这个非常实用〕.90°的圆周角所对的弦是圆的直径.〔如图：角ABC就是直角,对应了AC这条直径.扩展：这里可以几何推理得出线段OB=1∕2AC,直角三角形斜边长等于中线的两倍,其实也可以用勾股定理/2=a入2+-2〕〔3〕同圆或等圆中,一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半.〔这是个概念,可以推理.讲到这一课的时候我写推理的纸片给你.如图：角AOB就是角ACB的两倍,对于初中的要求就是记得这个概念了.〕〔4〕同弧〔或等弧〕所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等..点与圆的位置关系设。O的半径为r,点圆心O的距离为d,如止匕<->d>r〔2〕点在圆上<:d=r〔3〕点在圆Ud<r〔1〕过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.〔2〕三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交〔3〕一个三角形的外接圆是唯一的〔三个点只能确定唯一的一个面〕直线与圆的位置关系〔1〕如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.〔2〕如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切.此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.〔3〕如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线.如上图,设。O的半径为人圆心O到直线l的距离为d,从图中可以看出：假设d>号一直线l与。。相离；假设d=«=> 直线l与。。相切；假设d<r≠=> 直线l与。。相交；8．切线〔1〕判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.〔2〕性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论：1〕经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.2〕经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.〔3〕切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.性质：从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.〔5〕三角形的切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的切圆.三角形切圆的圆心叫做这个三角形的心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形,三角形的心就是三角形三条角平分线的交点.6．圆和圆的位置关系1〕两个圆没有公共点,那么就说两个圆相离,其中〔1〕又叫做外离,〔2〕、〔3〕又叫做含.〔3〕中两圆的圆心一样,这两个圆还可以叫做同心圆.2〕如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如〔4〕、〔5〕所示．其中〔4〕又叫做外切,〔5〕又叫做切.3〕如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如〔6〕所示.〔1〕两圆外离=d>R+r；〔2〕两圆外切od=R+r；〔3〕两圆外离oR—r<d<R+r；〔4〕两圆外离Od=R~r；〔5〕两圆外离o0Gd<R—r7．圆中的计算问题,n兀r〔1〕弧长的计算公式为：/=180〔2〕扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.Cn兀r2 1ι扇形面积的计算公式：S=F^=KIr360 2〔3〕圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高,如图中〃,而h就是圆锥的高.〔4〕圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.〔这些例子很好举例,记得数字不要太复杂,如果他们说简单就用a,b,c,d,e这些未知数来代替数字,可以显得复杂点,计算方法都一样.〕第24章全等三角形1.命题判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题叫做真命题,错误的命题叫假命题.成立的.对的就是真命题.…比如地球是圆的…就是真命题假命题就是:地球是方的！命题可以写成"如果……,那么……〃的形式.[如果a=b,b=c,那么a=c]2．定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.3．公理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定公理.4．全等三角形的判定一般三角形SSSSASASAAAS直角三角形SSSSASASAAAS HL5．尺规作图只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图.〔1〕作一条线段等于线段〔2〕作一个角等于角〔3〕作角的平分线〔4〕经过一点〔直线上、直线外〕作直线的垂线〔5〕作已经线段的垂直的平分线6．逆命题〔1〕对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题.〔2〕原命题为真,它的逆命题不一定为真7．等腰三角形的判定〔1〕利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形.〔2〕如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.〔等角对等边〕.8．勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和,那么这个三角形是直角三角形.9．角平分线到一个角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.10．线段垂直平分线到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.第25章样本与总体〔这个回忆不起来了〕1．普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查.2．抽样调查：为一特定目的而对局部考察对象作的调查叫做抽样调查.3．总体：把所要考察的对象的全体叫做总体.4．个体：把总成总体的每一个考察对象叫做个体.5．样本：从总体中取出的一局部个体叫做这个总体的一个样本.6．样本容量：一个样本中包含的个体的数量叫做这个样本的容量.7．调查的对象在总体中要具有代表性,样本容量要足够大.8．简单的随机抽样：用抽签的方法决定哪些个体进入样本,这种抽样方法叫做简单的随机抽样.9．随机性：不能够事先预测结果的特性叫做随机性.第26章二次函数1．二次函数形如y=ax2+bx+C<a,b,c是常数,a≠0>的函数,叫做X的二次函数.它的图像是一条抛物线〔也称抛物线方程〕.y=ax2(aW0)的图像与性质〔1〕对称轴是y轴,顶点坐标是〔0,0〕〔这里还要讨论a的值,图中的两个抛物线中,a是正数就是X轴上面的图,反之就是下面的图.即a大于0抛物线开口向上,小于0开口向下〕〔2〕当a>0时,图像开口向上,函数有最小值.当x<0时,y随X的增大而减小,当x>0时,y随X的增大而增大.当a<o时,图像开口向下,函数有最大值.当x<0时,y随X的增大而增大,当x>0时,y随X的增大而减小.y=ax2+k(aW0)的图像与性质〔1〕y=ax2+k(aW0)由y=ax2(aW0)向上〔或向下〕平移k个单位得到的.〔k〕最终影响的是y的值,所以函数图象会根据k的值上下移动〕〔2〕对称轴是y轴,顶点坐标是〔0,k〕.〔这里指的是当x=0时,y=k〕〔3〕当a>0时,图像开口向上,函数有最小值,即当x=0时,丫=上当x<0时,y随X的增大而减小,当x>0时,y随X的增大而增大.由图分析〕当a<o时,图像开口向下,函数有最大值,即当x=0时,丫=k当x<0时,y随X的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.y=a(X—h)2(aW0)的图像与性质<1>y=a(x—h)2(aW0)由y=ax2(aW0)向左〔或向右〕平移h个单位得到的.〔平移遵从"左加右减,上加下减〞的原如此〕〔2〕对称轴是x=h,顶点坐标是〔h,0〕.〔利用的是特殊值代入法,将有x项的解为0〕〔3〕当a>0时,图像开口向上,函数有最小值,即当x=h时,丫=0.当x<h时,y随X的增大而减小,当x>h时,y随x的增大而增大.当a<o时,图像开口向下,函数有最大值，即当x=h时,丫=0.当x<h时,y随X的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小.y=a(x-h)2+k〔aW0〕的图像与性质y=a(x—h)2+k〔aW0〕由y=ax2〔aW0〕先向右〔或向左〕平移h个单位,再向上〔或向下〕平移k个单位得到的.〔2〕对称轴是x=h,顶点坐标是〔h,k〕.〔3〕当a>0时,图像开口向上,函数有最小值〔开口向上有最小值,开口向下有最大值,死记,非常好用〕，即当x=h时,丫=上当x<h时,y随x的增大而减小,当x>h时,y随X的增大而增大.当a<o时,图像开口向下,函数有最大值，即当x=h时,丫=上当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小.<4>二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数y=a(x-h)2+k〔aW0〕中k的值；左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变〔变形状的话要改变a的值〕，所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式与平移的路径．此外,图象的平移与平移的顺序无关.6.通过配方把二次函数y=ax2+bx+C(aW0)化成y=a(X—h)2+k〔a≠0〕的形式，即,b、 4ac一b2y=a(X+ )2+一一〔这个很常用,你可以举几个简单数字的例子,这里不要写,套公式就可以用〕2a 4ab b4ac一b2〔1〕对称轴X=--,顶点坐标〔一丁,一-——2a 2a4a\o"CurrentDocument"b 4ac一b2 b〔2〕当a>0时,图像开口向上,函数有最小值,即当X=-—时,y=「一.当x<--时,y随X的增大而减2a 4a 2ab小,当x>-—时,y随χ的增大而增大.〔根据上面的理论和推理即可,告诉她们增强自我推导公式的能力,有2a事没事就去推导公式,变换公式.〕b 4ac-b2 b当a<o时,图像开口向下,函数有最大值，即当X=-—时,y=---.当x<--时,y随X的增大而2a 4a 2ab增大,当x>-—时,y随x的增大而减小.2a7.最大值或最小值的求法,第一步确定a的符号,a>0有最小值,a<0有最大值；第二步配方求顶点〔前面有顶点坐标公式可以更直接〕,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.一般有些函数题目是联系实际生活的,解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系〔特别是此变化彼也变化的关系〕，列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.如：南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价是25万元,市场调研明确,当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价没降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆,如果设每辆车降价X万元,每辆汽车的销售利润为Y万元,<销售利润=销售价-进货价><1>求Y和X的函数关系式,在保证商家不赔本的前提下,写出X的取值围<2>假设这种汽车平均每周销售利润为Z万元,试写出Z与X的函数关系式<3>当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少？<1>原来每个车的利润是：29-25=4万元现在每个车的利润是：Y=4-X,[0<=X<=4><2>Z=<29-25-x>[8+<x∕0.5>*4]=<4-x><8+2x>=32+8x-8x-2x^2=32-2x^2<3>Z=-2x^2+32所以当X=O时,Z取最大值,是32即定价是29万元时,利润最大是32万元有时候会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式.〔1〕一般式：y=ax2+bx+C(a≠0),给出三点坐标可利用此式来求.〔初中的题目不会很变态的,给的三个点都可以确定abc的值〕〔2〕顶点式：y=a(X-h)2+k(a≠0),给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来求.〔3〕交点式：y=a(X-X)(x-X)(a≠0),给出三点,其中两点为与X轴的两个交点(X,0)、(X,0)时可12 1 2利用此式来求.〔此时这两个点y=0,很好求得值〕9．抛物线与直线的交点一次函数