黑龙江省哈尔滨市东安中学高三数学文上学期期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市东安中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知、为非零向量，则“”是“函数为一次函数”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B2.O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平行向量与共线向量．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选：B．3.已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A、B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]参考答案：B考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA≤2，∴点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.若集合，，则中元素的个数为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：C解析：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，选C5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=lnx3 B．y=﹣x2 C．y=x|x| D．参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=lnx3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=﹣x2为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=x|x|的定义域为R，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|；∴该函数为奇函数；；∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是增函数，且02=﹣02；∴该函数在R上为增函数，∴该选项正确；D.在定义域上没有单调性，∴该选项错误．故选：C．6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（

）A．144

B．120

C．72

D．24参考答案：D7.已知，则A.7

B.－7

C.

D.参考答案：D因为，所以＝，故选D.8.下列有关命题的说法中，错误的是（） A． 若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题 B． “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件 C． “”是“”的必要不充分条件 D． 若命题p：”?实数x0，使x02≥0”则命题?p：“对于?x∈R，都有x2＜0”参考答案：考点： 命题的真假判断与应用．专题： 简易逻辑．分析： 对于A，根据“或命题”真假的判断方法判断；对于B，判断充要性要双向推理，即从左右互推进行判断；对于C，思路同上；对于D，特称命题的否定：一是量词的改变，二是结论的否定，依此判断．解答： 解：对于A：或命题为假，当且仅当两个命题都为真，故A为真命题；对于B：当x=1时，显然有x≥1成立，但是由x≥1，未必有x=1，故前者是后者的充分不必要条件；对于C：当sinx=时，x=或，故C为假命题；对于D：该命题的否定符合特称命题的否定方法，故D项为真命题．故选：C．点评： 该题目借助于命题真假的判断重点考查了复合命题的真假判断、命题充要性的判断、及特称命题的否定等知识，要注意准确理解概念和方法．9.△ABC中，a=，b=3，c=2，则∠A=（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理cosA=，代入数据，再由特殊角的三角函数值，计算即可得到A．【解答】解：由余弦定理直接得，且A∈（0°，180°），得A=60°，故选C．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．10.已知函数f（x）＝＋，则满足f（x－2）＜＋1的x的取值范围是A．x＜3

B．0＜x＜3

C．1＜x＜e

D．1＜x＜3参考答案：D由题意,可知:f（x）为偶函数,f（x）在上单调递增且f（1）=＋1∴f（x－2）＜＋1，即,解得：1＜x＜3故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则__________．参考答案：【知识点】二倍角公式C6【思路点拨】由三角的二倍角的公式可求出值.12.在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则

参考答案：略13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为

.参考答案：14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m?α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④15.已知指数函数，对数函数和幂函数的图像都过，如果，那么

参考答案：答案：解析：令则，16.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[，]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为

．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】过A作BD的垂线AE，则A点轨迹是以E为圆心的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角A﹣BD﹣A′的大小为θ，用θ表示出A和C的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E．∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AE=，CE=．∴A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠A′EA为二面角A﹣BD﹣A′的平面角．以E为原点，以EB，EA′，EA为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，设∠A′EA=θ，则A（0，cosθ，sinθ），C（﹣1，﹣，0）∴AC==，∴，解得0≤cosθ≤，∴60°≤θ≤90°，∴A点轨迹的圆心角为30°，∴A点轨迹的长度为=．故答案为：【点评】本题考查了空间距离的计算，建立坐标系用θ表示出AC的长是解题的关键，属于中档题．17.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．参考答案：根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边得中心的距离，根据球心O与高围成的等腰三角形，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知抛物线的焦点在抛物线上．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、，切点为、．若、的斜率乘积为，且，求的取值范围．

参考答案：解：（Ⅰ）的焦点为， …2分所以，． Ks5u …4分故的方程为，其准线方程为． …6分（Ⅱ）任取点，设过点P的的切线方程为．由，得．由，化简得， …9分记斜率分别为，则，因为，所以 …12分所以，所以． …14分

略19.已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B． （Ⅰ）求点P的坐标； （Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标． 参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标； （Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果． 【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则， 所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．… （Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2． 当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1； 当y1≠﹣2时，直线AP的方程为， 化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0； 综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0． 与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为． 因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为． 因此，B点的坐标为． 当，即时，直线AB的斜率． 所以直线AB的方程为， 整理得． 当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立， 此时，直线AB恒过定点（2，2）， 当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2）， 故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．… 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想． 20.（14分）（2015春?江苏校级期中）是否存在常数a，b使得2+4+6+…+（2n）=an2+bn对一切n∈N*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由．参考答案：考点：数学归纳法．

专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，再令n=1，n=2构造两个方程求出a，b，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．解答：解：取n=1和2，得解得，…（4分）即2+4+6+…+（2n）=n2+n．以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证．…（6分）（2）假设当n=k，k∈N*时等式成立即2+4+6+…+（2k）=k2+k…（8分）那么，当n=k+1时有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k2+k+（2k+2）…（10分）=（k2+2k+1）+（k+1）=（k+1）2+（k+1）…（12分）就是说，当n=k+1时等式成立…（13分）根据（1）（2）知，存在，使得任意n∈N*等式都成立…（15分）点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．21.（12分）在数列中（），，（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列前项和.参考答案：（1）由已知得，，即┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分所以数列是以为首项，1为公差的等差数列

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）

┄┄┄┄┄┄①┄┄②┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分由①－②，得┄┄┄┄┄┄┄