复合场中的等时圆模型

等时圆现象指质点在圆中不同的弦的一端从静止开始运动到弦的另一端点所用时间相等，且都等于沿某一直径的一端从静止开始运动到另一端所用的时间。复合场指某空间同时存在重力场、电场、磁场三种场中的两种场或三种场。做有关等时圆现象的题可练习建模能力、受力分析能力、综合应用牛顿第二定律、运动学公式、电场力、磁场力以及几何知识的能力。一、复合场中“等时圆〞模型根本规律1、匀强电场与重力场组成的复合场中“等时圆〞推论如图1所示竖直平面内有一圆，AB是圆的直径，在平面内有水平向左的匀强电场，带正电绝缘小滑块受到的重力与电场力的合力方向恰好与AB平行且由A指向B，带正电绝缘小滑块沿经过A点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。证明：如图1所示，设AC弦与直径AB夹角为θ，圆的直径为，那么。带正电绝缘小滑块沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，运动时间为ABABCD图26002、由重力场、匀强电场、匀强磁场叠加的复合场中中“等时圆〞推论在图1中，如果有垂直纸面向里的匀强磁场，带正电绝缘小滑块运动方向与磁场垂直，小滑块沿轨道运动的加速度不会变化，即其受到的洛伦兹力不影响质点在轨道上的运动时间，所以上述结论仍成立即“带正电绝缘小滑块沿经过A点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。〞二、复合场中“等时圆〞模型例析例1：如图2所示，竖直的圆环放在水平向左的匀强电场中，半径为R，AB、AC、AD三条光滑管道中分别有三个质量均为m、带正电且电量相等的绝缘小球无初速度地从A端释放后，分别在管道AB、AC、AD中下滑到D、C、B三端点。AB竖直，AD与竖直方向夹角为600，AC经过圆心。小球所受重力大小与电场力大小之比为，那么小球其中运动时间最长的管道是〔〕A、ADB、ACC、ABD、条件缺乏，无法判定解析：如图3所示，小球所受重力大小与电场力大小之比为可知，小球所受重力与电场力的合力F的方向恰好与AD平行，且由A指向D。过AC两点画一个虚线圆，且圆心在AD上，直径长设为d，延长管道AD到M。AB与虚线圆交于N点。设AC与AD夹角为θ，小球在管道AC上运动的加速度，位移。小球在光滑管道AC上从A点静止释放，到达C的时间，等于沿虚线圆直径从A点静止释放小球后滑到M点所用时间，与θ和弦长无关，所以从A点静止释放小球后滑到N点所用时间也为。AD短于AM，AB长于AN，所以沿管道AB运动时间最长。故正确答案是C选项例2、如图4所示，竖直圆环上的两条直径CD和AB夹角为600，CD竖直，圆环内有两条光滑轨道AM、AC。一个带负电绝缘光滑小球从A点静止释放，沿轨道AC到达C点时间为ｔ。在圆环所在空间加匀强电场，方向与圆环所在平面平行，小球在A点时受到的电场力与重力的合力方向恰好由A指向B，让该小球从A点静止释放，沿轨道AM到达M点时间也为ｔ。小球质量为ｍ，带电量为－ｑ。求所加电场的电场强度大小和方向。解析：如图5所示，在重力场中，小球从A点静止释放，沿轨道AC到达C点时间〔ｄ是圆的直径，θ是重力与AC夹角〕①在匀强电场和重力场组成的复合场中，电场力与重力的合力大小设为Ｆ，小球从A点静止释，沿轨道AM到达M点时间②由①②可知F＝ｍｇ根据三角形定那么和几何知识，重力G、电场力F电及这二力的合力F构成等边三角形，即F电=mg=qE，得到所求电场强度大小E=mg/q，小球带负电，所以电场方向竖直方向夹角为600，斜向右下方。例3、如图6所示，在竖直平面内有两个圆相切于O点，圆心分别为O1、O2、直径径分别d1、d2。在一、二象限内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E；在圆内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小为B1。在三、四象限内有竖直向上的匀强电场，场强大小也为E；在圆内有垂直纸面向外的磁场，磁感应强度大小为B2。有两个管道AB、CD都经过O点，A、C在☉O1上，B、D在☉O2上。一带正电绝缘光滑小球，直径略小于管道直径，分别从管道A端、C端从静止释放，经管道内到达B端、D端所用时间分别为t1、t2。小球在电场中受到的电场力小于其重力。以下说法正确的有〔〕图6A、管道AB比CD长，所以t1>t图6B、t1=t2C、如果第三象限内没有电场，那么有t1>t2D、因B2与B1大小关系不确定，所以t1与t2大小关系也不确定。解析：光滑小球在管道内运动受到的洛伦兹力与管道垂直，不影响小球运动的速度和加速度，所以不用考虑磁场对运动时间的影响。所以D选项错。如图7所示，设小球质量为m，AB与Y轴夹角为θ，在第一、二象限小球受到的重力与电场力合力为F1，在第三、四象限小球受到的重力与电场力合力为F2，小球在AO运动的位移大小为d1cosθ，小球在OB运动的位移大小为d2cosθ，根据牛顿第二定律和运动学公式有：得，与θ无关，与管道在圆中长度无关。所以，即两小球在☉O1中局部管道运动时间相等。化简得可见tOB也是与θ无关，所以，又，所以t1=t2。如果第三象限内没有电场，两小球在竖直方向受到恒力为重力G，同理可得，tOB仍与θ无关，两小球那么在☉O2中管道运动时间仍相同，所以t1=t2，因此，正确选项只有B。三、复合场中“等时圆〞模型变式练习1：如图8所示，在一竖直放置的圆环中的4根光滑绝缘细杆AE、AD、BF、BC，其中，BF竖直且与AD相交于圆心O，夹角为450，AE与BF平行，AD与BC平行。在圆环平面内水平向右的匀强电场，四个完全相同的带正电的绝缘小圆环分别套在4根光滑绝缘细杆的A、B两点，静止释放，使环分别沿AE、AD、BF、BC滑到圆周上的E、D、F、C点，所用时间分别为t1、t2、t3、t4，小圆环受到的重力大小与电场力大小相等，那么t1、t2、t3、t4大小关系为〔〕A、t1>t2>t3>t4B、t1>t2=t3>t4C、t3>t1=t2>t4D、t1=t2>t3>t4在如图9所示，在倾角为θ〔θ小于450〕的斜面上固定有一竖直杆PB，Ｐ点到斜面C点距离小于A点到C点距离，即PC＜ＡＣ。整个装置放在匀强电场中，电场方向水平向左。现有一光滑绝缘轨道一端放在P点，另一端放在斜面上，让带正电小球从P点静止释放，使其沿轨道滑到斜面上，所用时间为ｔ，那么该轨道与PB夹角β为多少时，ｔ最短？，小球在电场中所受电场力大小等于其重力大小。3、如图10所示，水平向左的匀强电场中，有一竖直圆环，环内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆环圆心为O，半径为R，直径PQ与水平面夹角为300，PQ上有一点M，MO长为L。现在圆环上找一点N，在M、N两点间架设一条光滑轨道，让一带正电绝缘小滑块从M点无初速度释放，要使小滑块滑到N点所用时间最短，那么N点与圆心O点连线与PQ夹角θ的正切值为多少？最短时间t是多少？带正电小滑块所受重力是其在电场中所受电场力的倍，重力加速度为g。变式练习参考答案：1、C提示：AD是复合场等时圆直径，所以t1=t2，AE与BF平行，小环加速度相同，但AE短于BF，所以t3>t1，AD与BC平行，小环加速度相同，但AD长于BC，所以t2>t4〕2、。提示：如图11所示，重力与电场力合力方向为斜向左下方，与水平夹角为450，在AC上选取一点D，使AD连线与AC夹角为450，过P点作一个圆，使圆心在PD上且与AB相切于E点，在PE两点安放轨道