第5节 指数与对数的运算

第5节指数与对数的运算考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.根式的概念及性质(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.有理指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.4.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.5.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).[常用结论]换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.()(2)分数指数幂aeq\f(m,n)可以理解为eq\f(m,n)个a相乘.()(3)log2x2＝2log2x.()(4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于eq\r(4,（－4）4)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)错误.(2)当eq\f(m,n)<1时，不可以，故(2)错误.(3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误.(4)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0，但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误.2.(必修一P127T5改编)设a＝lg2，b＝lg3，则log1210＝()A.eq\f(1,2a＋b) B.eq\f(1,2b＋a)C.2a＋b D.2b＋a答案A解析log1210＝eq\f(1,lg12)＝eq\f(1,lg3＋2lg2)＝eq\f(1,2a＋b).3.(必修一P110T8改编)已知aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________.答案747解析由aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.4.计算：π0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log26＝________.答案eq\f(3,8)解析原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log22－log23＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(3,2)－1＝eq\f(3,8).考点突破·题型剖析考点一指数幂的运算例1(1)(2023·杭州调研)化简eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的结果是()A.eq\f(b,a) B.eq\f(a,b)C.eq\f(a2,b) D.eq\f(b2,a)答案B解析eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))＝eq\f(a\s\up6(\f(3,2))b·a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,3)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·a－\f(1,3)·b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝ab－1＝eq\f(a,b).(2)计算：27－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))eq\s\up12(－2)＋256eq\s\up6(\f(3,4))－3－1＋(eq\r(2)－1)0＝________.答案16解析原式＝(33)－eq\f(1,3)－(－7)2＋(44)eq\s\up6(\f(3,4))－eq\f(1,3)＋1＝eq\f(1,3)－49＋64－eq\f(1,3)＋1＝16.感悟提升1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.训练1(1)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(\r(（4ab－1）3),（0.1）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))＝________(a＞0，b＞0).答案eq\f(8,5)解析原式＝eq\f(2·4\s\up6(\f(3,2))a\s\up6(\f(3,2))b－\f(3,2),10a\s\up6(\f(3,2))b－\f(3,2))＝eq\f(8,5).(2)已知a2x＝5，则eq\f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝________.答案eq\f(31,5)解析eq\f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝eq\f(（ax－a－x）（a2x＋1＋a－2x）,ax－a－x)＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋eq\f(1,5)＝eq\f(31,5).考点二对数的运算例2(1)log381－log98·log23－2log23＋lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＝________.答案0解析原式＝log334－eq\f(3,2)·log32·log23－3＋lgeq\r(10)＝4－eq\f(3,2)－3＋eq\f(1,2)＝0.(2)计算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.答案1解析原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.(3)已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝________.答案eq\f(b－a＋1,2b＋a)解析log1815＝eq\f(lg15,lg18)＝eq\f(lg3＋lg5,lg2＋2lg3)＝eq\f(lg3＋1－lg2,lg2＋2lg3)＝eq\f(b－a＋1,2b＋a).感悟提升1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.训练2(1)(2023·豫北名校联考)已知2a＝7b＝k，若eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，则k的值为()A.28 B.eq\f(1,14)C.14 D.eq\f(1,7)答案A解析∵2a＝7b＝k，∴a＝log2k，b＝log7k，∴eq\f(1,a)＝logk2，eq\f(1,b)＝logk7，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2logk2＋logk7＝logk28＝1，∴k＝28.故选A.(2)计算：log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514＝________.答案2解析原式＝log535－log5eq\f(1,50)－log514＋logeq\s\do9(\f(1,2))(eq\r(2))2＝log5eq\f(35,\f(1,50)×14)＋logeq\s\do9(\f(1,2))2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.(3)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋eln3＋logeq\s\do9(\f(1,4))eq\r(2)－log34·log23＝________.答案3解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＋3－eq\f(1,2)log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\s\up6(\f(1,2))))－2log32·log23＝eq\f(9,4)＋3－eq\f(1,4)－2＝3.考点三指数与对数运算的实际应用角度1指数运算的实际应用例3(1)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：小时h)与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T＝ekt＋b(k，b为常数，其中e＝2.71828…)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080h，在10℃时的有效保存时间是120h，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为()A.15h B.30hC.40h D.60h答案C解析由题意知1080＝eb，120＝e10k＋b＝e10k·eb，所以e10k＝(e5k)2＝eq\f(120,1080)＝eq\f(1,9)，所以e5k＝eq\f(1,3)，所以e15k＝eq\f(1,27)，所以e15k＋b＝e15k·eb＝eq\f(1,27)×1080＝40(h).(2)(2020·新高考全国Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，∴t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8(天).角度2对数运算的实际应用例4(1)(2022·临汾三模)我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12日定为全国“防灾减灾日”.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式：lgE＝4.8＋1.5M，其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级.已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的(参考数据：eq\r(3,1002)≈21.5，eq\r(1000)≈31.6)()A.9.6倍 B.21.5倍C.31.6倍 D.47.4倍答案C解析在lgE＝4.8＋1.5M中，令M＝8，得lgE＝4.8＋1.5×8＝16.8，则E＝1016.8，因此汶川地震释放的能量为1016.8，令M＝7，得lgE＝4.8＋1.5×7＝15.3，则E＝1015.3，因此九寨沟地震释放的能量为1015.3，所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的eq\f(1016.8,1015.3)＝101.5＝10eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\r(103)＝eq\r(1000)≈31.6(倍).(2)(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态答案D解析对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＝lg1026>lg103＝3，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B，当T＝270，P＝128时，lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C，当T＝300，P＝9987时，lgP＝lg9987<lg104＝4，且与4非常接近，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D，当T＝360，P＝729时，lgP＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP＝lg729∈(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故选D.感悟提升解决指数、对数运算实际应用问题的步骤(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.训练3(1)(2023·江西名校联考)法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“2p－1(p为素数)”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，267－1这个“梅森素数”的位数为(参考数据：lg2≈0.301)()A.19 B.20C.21 D.22答案C解析依题意，lg(267－1)≈lg267＝67lg2≈67×0.301＝20.167，∴267－1≈1020.167.∴267－1这个“梅森素数”的位数为21位.(2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度()A.25天 B.30天C.35天 D.40天答案B解析依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10%＝m·a10，,20%＝m·a20，))解得m＝eq\f(1,20)，a10＝2，当h＝40%时，40%＝eq\f(1,20)·at，即40%＝eq\f(1,20)·a10·at－10，解得at－10＝4＝(a10)2＝a20，于是得t－10＝20，解得t＝30(天)，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.若代数式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，则eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝()A.2 B.3C.2x－1 D.x－2答案B解析由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq\f(1,2)≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝eq\r(（2x－1）2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.2.已知lg5＝a，则lg20＝()A.4＋a B.0.6＋aC.2－a D.2a－4答案C解析∵lg5＝a，∴lg20＝lgeq\f(100,5)＝lg100－lg5＝lg102－lg5＝2lg10－lg5＝2－a.3.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝()A.25 B.5C.eq\f(25,9) D.eq\f(5,3)答案C解析因为2a＝5，b＝log83，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(（2a）2,（23b）2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).4.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：k＝Ae－eq\f(Ea,RT)，其中k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，Ea为反应活化能，A(A＞0)为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为k1和k2(此过程中R与Ea的值保持不变)，经计算－eq\f(Ea,RT1)＝M，若T2＝2T1，则lneq\f(k1,k2)＝()A.eq\f(M,2) B.MC.eq\r(M) D.2M答案A解析由题意知k1＝Ae－eq\f(Ea,RT1)＝AeM，k2＝Ae－eq\f(Ea,RT2)＝Ae－eq\f(Ea,2RT1)＝Aeeq\f(M,2)，eq\f(k1,k2)＝eq\f(AeM,Ae\s\up6(\f(M,2)))＝eeq\s\up6(\f(M,2))，则lneq\f(k1,k2)＝lneeq\s\up6(\f(M,2))＝eq\f(M,2).5.若log23×log36m×log96＝eq\f(1,2)，则实数m的值为()A.4 B.6C.9 D.12答案A解析∵log23×log36m×log96＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lgm,lg36)×eq\f(lg6,lg9)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lgm,2lg6)×eq\f(lg6,2lg3)＝eq\f(lgm,4lg2)＝eq\f(1,4)log2m＝eq\f(1,2)，∴log2m＝2，∴m＝4.6.若2a＝5b＝10，则2eq\s\up6(\f(a,b))＝()A.2 B.4C.5 D.10答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(a,b)＝eq\f(log210,log510)＝eq\f(ln5,ln2)＝log25，∴2eq\s\up6(\f(a,b))＝2log25＝5.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)()A.11h B.21hC.31h D.41h答案B解析由已知得eq\f(4,5)＝e－10k，方程两边同取自然对数得lneq\f(4,5)＝－10k，所以k＝eq\f(2ln2－ln5,－10)≈0.0223.设污染物减少到最初含量的50%需要经过th，则eq\f(1,2)＝e－0.0223t，方程两边同取自然对数得lneq\f(1,2)＝－0.0223t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21h使污染物减少到最初含量的50%.8.已知eq\f(1,logm3)＝p，9p＝n，其中m＞0且m≠1，n＞0且n≠1，若2m－n＝0，则p的值为()A.log32 B.log23C.2 D.3答案A解析因为eq\f(1,logm3)＝p，所以log3m＝p，得m＝3p，所以2m－n＝2×3p－9p＝2×3p－(3p)2＝0.即3p(2－3p)＝0.因为3p≠0，所以3p＝2，解得p＝log32.9.[(0.064eq\s\up6(\f(1,5)))－2.5]eq\s\up6(\f(2,3))－eq\r(3,3\f(3,8))－π0＝________.答案0解析原式＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,1000)))\s\up6(\f(1,5))))\s\up12(－\f(5,2))))eq\s\up6(\f(2,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,10)))\s\up12(3)))eq\s\up12(\f(1,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×\f(2,3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.10.计算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋7log72＋8eq\s\up6(\f(1,3))＝________.答案eq\f(15,2)解析原式＝log33eq\s\up6(\f(3,2))＋lg52＋lg22＋2＋23×eq\f(1,3)＝eq\f(3,2)＋2lg5＋2lg2＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2＋2＋2＝eq\f(15,2).11.若ex＝2024，e－y＝1012，则x＋y＝________.答案ln2解析ex＝2024，e－y＝1012，则eq\f(ex,e－y)＝eq\f(2024,1012)＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln2.12.(2023·长沙模拟)若a＝log23，3b＝2，则2a＋2－a＝________，ab＝________.答案eq\f(10,3)1解析2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).∵3b＝2，∴b＝log32，∴ab＝log23×log32＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝1.【B级能力提升】13.(2023·广州测试)若0＜a＜1，b＞0，且ab－a－b＝－2，则ab＋a－b的值为()A.2eq\r(2) B.±2eq\r(2)C.－2eq\r(2) D.eq\r(6)答案A解析根据题意，由ab－a－b＝－2，得(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，即a2b＋a－2b＝6，则(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝6＋2＝8，所以ab＋a－b＝2eq\r(2)(负值舍去)，故选A.14.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T－Ta＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(t,h))(T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度.若Ta＝25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要(参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.70，lg11≈1.04)()A.3.5分钟 B.4.5分钟C.5.5分钟 D.6.5分钟答案C解析由题意，Ta＝25℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得75－25＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,h))(80－25)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,h))＝eq\f(50,55)＝eq\f(10,11).又水温从75℃降至55℃，所以55－25＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq