k5圆锥曲线方程(林秀川)

知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考圆锥曲线方程灵溪一高林秀川专题设计立意及思路：高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：（1）圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；（2）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆过程，要充分体现分类指在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.一、高考考点回顾01～04四年高考圆锥曲线试题回顾：年次题号题型内容类别分值总分百分率01年全国文科7选择题概念、性质类5分21分14．0%14填空题概念、性质类4分20解答题直线和圆锥曲线关系类12分理科7选择题概念、性质类5分21分14．0%14填空题概念、性质类4分19解答题直线和圆锥曲线关系类12分02年全国文科7选择题概念、性质类5分28分18．7%11选择题概念、性质类5分16填空题概念、性质类4分1知识就是力量21解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分理科6选择题概念5分21分14．0%14填空题概念、性质类4分19解答题概念、性质类03年全国文科3、性质类5分24分16．0%5选择题概念、性质类22解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分理科25分24分16．0%、性质类12分选择题概念5分选择题概念、性质类8选择题概念、性质类5分21解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分04年全国文科7选择题概念、性质类5分24分16．0%8选择题直线和圆锥曲线关系类5分22解答题直线和圆锥曲线关系类14分理科7选择题概念、性质类5分22分14．7%8选择题直线和圆锥曲线关系类5分21解答题直线和圆锥曲线关系类12分04年浙江文科6选择题直线和圆锥曲线关系类5分24分16．0%11选择题概念、性质类5分22解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分理科4选择题直线和圆锥曲线关系类5分22分14．7%9选择题概念、性质类5分21解答题与圆锥曲线有关的轨迹类12分从以上四年的高考题中可以看出选择、填空题主要考察圆锥曲线有关的概念和性质问题；而解答题则是以直线和圆锥曲线关系、求轨迹类问题为主，当然也是圆锥曲线的概念性质为前提.所以在复习中，要求学生掌握一些直线和圆锥曲线关系和求轨迹问题的一般解题思路及思想方法，同时加强对圆锥曲线的概念和性质的理解和灵活应用的训练.二、基础知识梳理（一）概念及性质1．椭圆及其标准方程第一定义、第二定义；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；椭圆的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径）；椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ,当点P在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题.2知识就是力量2．双曲线及其标准方程：第一定义、第二定义（注意与椭圆类比）；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；双曲线的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义、准线方程、焦半径、渐近线）.3．抛物线及其标准方程：定义以及定义在解题中的灵活应用（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离）；标准方程（注意焦点在哪个轴上、开口方向、p的几何意义）四种形式；抛物线的简单几何性质（焦点坐标、准线方程、与焦点有关的结论）.（二）常见结论、题型归类及应对思路：1．中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax+Bx＝221.b2．共渐近线的双曲线标准方程为为参数，≠0）.(x2y2yxaa2b23．焦半径、焦点弦问题（1）椭圆焦半径公式：在椭圆2＝１中，F、F分别左右焦点，P(x，y)是椭圆是一点，则：xy2a2b2１２00①|PF|=a+ex②|PF|=a-ex2100过椭圆x2y2（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则AB2ae(xx)，112a2b2过右焦点的弦AB2ae(xx).12（2）双曲线焦半径公式：设P（x,y）为双曲线00x2y2（a>0,b>0）上任一点，焦1a2b2点为F(-c，0)，F(c，0),则：21①当P点在右支上时，1PFaex,PFaex；020②当P点在左支上时，PF,aexPFaex；（e为离心率）0102（3）抛物线焦半径公式：设P（x，y）为抛物线y=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，200pp；则；y=2px（p<0）上任意一点，F为焦点，则2PFxPFx2200抛物线y=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x，y）、B(x，y)，则有如下21122结论：①AB＝x+x+p；②yy=－p，xx=p2.21212124（4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为2b，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，b22ca焦准距为p；双曲线x2y2（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b.1a2b24．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题3知识就是力量一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，、AB两点分别为A(x，y)、B(x，y)，则弦长22AB1k2xx(1k2)[(xx)24xx]1121121211yy(11)[(yy)24yy]k2,这里体现了解析几何“设而不求”的解21k12122题思想.5．中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x，y)、B(x,y)1122b2为椭圆x2y21（a>b>0）上不同的两点，M(x，y)是AB的中点，则KK=a2；对于ABOM00a2b2双曲线x2y21（a>0，b>0），类似可得：KK=b22；对于y=2px（p≠0）抛物线有2ABOMaa2b22pK＝；另外，也可以用韦达定理来处理.AB2yy16．求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条确件定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x，y)的变11化而变化，并且Q(x，y)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x、y，再将1111x、y带入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方11可程.三、重点、难点分析重点圆锥曲线的概念、性质难点圆锥曲线的概念、性质等的综合应用四、课时安排第一课时圆锥曲线的概念、性质类问题第二课时直线和圆锥曲线关系类问题第三课时与圆锥曲线有关的轨迹类问题说明：问题的类别、知识是相互联系的，因此课时分类也不是绝对的.五、分课时讲解例题第一课时圆锥曲线概念、性质类问题4知识就是力量例1.（02北京）已知椭圆x2y1和双曲线x2y21有公共的焦点，那么双曲线23m25n22m23n2的渐近线方程是（）151533(A)xy(B)yx(C)x4y(D)yx224分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点(3m25n2,0)，双曲线焦点(2m23n2,0)，∴3m25n22m23n2，∴m28n2，6n又∵双曲线渐近线为yx.2m3∴代入m28n2，m22n，得yx，∴选D.4例2．（02全国文11）设(0,)，则二次曲线xcotθ-ytanθ=1的离心率的取值范围为224（）(A)(0,1)12(B)(,)22(C)(2,2)(D)(2,)22分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为(0,)，所以cotθ>0，tanθ>0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必4然大于1.从而排除A、B、C，得D.1tan，解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为acot1tanbbtancot，离心率为ec1cot2，因cot.所以半焦距ca22a为(0,)，所以e的取值范围为(2,)，选D.4第二课时直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析题问和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档5知识就是力量次”，有利于选拔的功能.例3．<2004年天津高考·理工第22题，文史第22题[只做第(1)和(2)问]，本小题满分14分>椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.（1）求椭圆的方程及离心率；0，求直线PQ的方程；（2）若OPOQAPAQ（3理工类考生做）设（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明.FMFQ本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.xy22(I)解：由题意，可设椭圆的方程为1(a2).ab22由已知得ac2,22c2(a2c).c解得a6,c2.所以椭圆的方程为1，离心率e6.xy22623(II)解：由(I)可得A(3,0).设直线PQ的方程为yk(x3).由方程组xy22162yk(x3)(3k21)x218k2x27k260.12(23k2)0,得得依题意6k6.33设P(x,y),Q(x,y),则11226知识就是力量18k2xx3k21,12①②27k26.x.x3k2112由直线PQ的方程得yk(x3),yk(x3).于是1122yyk2(x3)(x3)k2[xx3(xx)9].③12121212OP.OQ0,xxyy0.④1212由①②③④得5k21,从而k5(,).66533所以直线PQ的方程为x5y30或x(III)证明：AP(x3,y),AQ(x3,y).由已知得方程组5y30.1122x3(x3),12yy,12xy2211612xy221.2622251.注意1,解得x2因F(2,0),M(x,y),故11FM(x2,y)((x3)1,y)121121(1,y)(,y).221FQxyy2,)(1,),所以222(而2FMFQ.例4．已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210x200相切．过点P4,0作斜率为1的直线l，使得l和G交于A,B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，4又满足PAPBPC2．7知识就是力量（Ⅰ）求双曲线G的渐近线的方程；（Ⅱ）求双曲线G的方程；（Ⅲ）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆x2y210x200相5k切可得：5．k21所以，k1．2双曲线G的渐近线的方程为：y12x．x4ym22（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G的方程为：．1把直线l的方程yx4代入双曲线方程，整理得3x28x164m0．4164m则xx8,xx（＊）33ABAB∵PAPBPC2，P,A,B,C共线且P在线段AB上，xxxxxx2∴，PABPPC即：x44x16，整理得：4xxxx320BAABABm28．将（＊）代入上式可解得：xy22所以，双曲线的方程为1．287xy22（Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：1a27．下面我们来求出S中垂直于l的28a2平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为Mx,y,Nx,y，MN的中点为Px,y，则112200xy2211128a2xy2228221a2．8知识就是力量xxxxyyyy01212两式作差得：121228a2yy24，xx2x,yy2yxx由于112012012x4y00，所以，028a2x4yl的平行弦中点的轨迹为直线0截在椭圆所以，垂直于S内的部分．28a2a122又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，．所以，a56，1122xy2椭圆S的方程为：21．2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．第三课时与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是”将其转化为求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题例5．（2004.福建理）（本小题满分12分）如图，P是抛物线C：y=x上1l过点P且与抛物线C交于另一点Q.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个利用题设中的几何条件，用“坐标化寻过程．一点，直线22（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；|ST||ST||SP||SQ|交于点S，与y轴交于点T，试求的取值（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴范围.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.9知识就是力量解：（Ⅰ）设P(x，y)，Q(x，y)，M(x，y)，依题意x≠0，y>0，y>0.1122001121由y=x2，①2得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k=x1，切11∴直线l的斜率kl=－k=－，x1切11∴直线l的方程为方法一：y－x2=－(x－x1)，21x1联立①②消去y，得x2+2x－x1－2=0.2x1∵M是PQ的中点xx1x0=2=-，12x1∴11y=x2－(x0－x1).201x112+1(x0≠0)，2x消去得x，y=0x0+2101∴PQ中点M的轨迹方程为方法二：y=x2++1(x≠0).2x20xx11由得则y=x2，y=x2，x0=2，12222112111y－y=x2－x2=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，2222121yy1x0==kl=-，1xx2x1121∴x1=－，x0将上式代入②并整理，得1y0=x02+2x2+1(x0≠0)，010知识就是力量1∴PQ中点M的轨迹方程为y=x++1(x≠0).22x02（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则|ST||ST||OT||OT||b||b|.|SP||SQ||PP||QQ||y||y|121y=x22由去消x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.③y=kx+by1+y2=2(k2+b)，则y1y2=b2.方法一：|ST||ST||b|(1111=2|b|=2.b2∴)≥2|b|yy12|SP||SQ|yy12∵y1、y2可取一切不相等的正数，|ST||ST|的取值范围是（2，+）.∴|SP||SQ|方法二：yy=|b|1yy2(k2b)|ST||ST|2=|b|∴.|SP||SQ|b212当b>0时，|ST||ST|2(k2b)2(k2b)2k2=b==+2>2；b|SP||SQ|bb2当b<0时，|ST||ST|2(k2b)2(k2b)=－b=.|SP||SQ|bb2又由方程③有两个相异实根，得△=4(k+b)22-4b=4k(k2+2b)>0，22于是即k+2b>0，k2>－2b.2所以|ST||ST|2(2bb)>=2.b|SP||SQ|∵当b>0时，2k可取一切正数，2b|ST||ST|的取值范围是（2，+）.∴|SP||SQ|方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，11知识就是力量ybyb即=.21xx12则即xy－bx=xy－bx，b(x－x1)=(x2y1－x1y2).1212122x1x于是bx1x221222112==－xx12.xx221|1xx||1xx||ST||ST||b||b|22=|x2|||x1212∴==++≥2.1|SP||SQ||y||y|121xx22121x||可取一切不等于1的正数，∵2x1|ST||ST|的取值范围是（2，+）.∴|SP||SQ|下面是探究型的存在性问题：例6．（2004湖北理）（本小题满分12分）直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力.解：（Ⅰ）将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后,整理得(k22)x22kx20.„„①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故k20,2(2k)28(k22)0,2kk22020.k22解得k的取值范围是2k2.（Ⅱ）设A、B两点的(x,y)、(x,y)，则由①式得坐标分别为112212知识就是力量2k2k22xx,12xx.k2222„„②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FA⊥FB得：(xc)(xc)yy0.1212即(xc)(xc)(kx1)(kx1)0.1212整理得(k21)xx(kc)(xx)c210.„„③1212把②式及c6代入③式化简得25k226k60.6666(2,2)(舍去)5解得k或k566k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.5可知高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.四、思维能力训练（一）选择题xy21．（04年天津理4、文5）设P是双曲线21上一点，双曲线的一条渐近线方程为a923x2y0,F、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|3，则|PF|(112或A.51B.6C.7D.9xy22．（04重庆高考理10、文10）已知双曲线21,(a0,b0)的左，右焦点分别为F,F,ab1222点P在双曲线的右支上，且|PF|4|PF|,则此双曲线的离心率e的最大值为（）12．A4B．5C．2．7D33313知识就是力量xy04湖北理）已知椭圆21的左、右焦点分别为F、F，点P在椭圆上，若P、F、16912123．（F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为2（）997D．94A．．B3C．574．（04福建理）如图，B地在A地的正东方向4km处，CB地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（任意一点到A的距离地在曲线）上比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．(27－2)a万元B．5a万元C．(27+1)万元aD．(23+3)万a5．（04辽宁卷）已知点A(2,0)、B(3,0)，动点(,)满足PAPBx2，则点P的轨迹是Pxy（）A．圆B．椭圆．双C曲线．抛物线D6．[04全国（山东山西河南河北江西安徽）理8、文8]设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是11（）．[A－，]．[－B2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]22（二）填空题1．（2004年重庆高考·理工类第16题）对任意实数K，直ykxb线：与椭圆：(02)x32cosy14sin恒有公共点，则b取值范围是_______________．xy2．（2004年湖南高考·理工类第16题）设F是椭圆21的右焦点，2且椭圆上至少有7621个不同的点Pi（i=1，2，3，„），使|FP|，|FP|，|FP|，„组成公差为d的等差数列，123则d的取值范围为.（三）解答题14知识就是力量1．设抛物线过定点A1,0，且以直线x1为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N，且线段MN恰被直线x1平分，设弦2MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围．2.（2004.辽宁卷）（本小题满分12分）y2设椭圆方程为x21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，4111点P满足OP2(OAOB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，求：22（1）动点P的轨迹方程；（2）|NP|的最小值与最大值.a0，向量c(0,a)，i(1,0)，经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点3.已知常数A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R．试问：是否存在两个定点E、F，使得PEPF为定值，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．五、小结圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把