第二课时 解三角形的应用

第四章三角函数、解三角形第二课时解三角形的应用内容索引分层精练巩固提升考点一多边形中的解三角形问题例1

(2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；因为0°＜B＜180°，所以B＝120°.

解由(1)知B＝120°，设∠ACB＝θ，则∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.由题可知0°＜θ＜60°，所以60°＜60°＋2θ＜180°，所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB的值为45°.平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.感悟提升解如图，连接BD，

(2)若C＝45°，求四边形ABCD的面积.整理得CD2－2CD－2＝0，考点二三角形中的最值、范围问题

所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos（A＋B）＝sinB②，(4分)

(2)由（1）得cos（A＋B）＝sinB，

[满分规则]❶得步骤分：①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.❷得关键分：②处消去角A是本题得解的关键所在.❸得计算分：③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.

解选①：由正弦定理及2a－b＝2ccosB，得2sinA－sinB＝2sinCcosB，又∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴2sinBcosC＝sinB.

选③：∵m⊥n，∴(a－c)(a＋c)＋(b－a)b＝0，化简得a2＋b2－c2＝ab，

解由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.当且仅当a＝b时等号成立.考点三三角形中的证明问题例3

(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A). (1)若A＝2B，求C；解由A＝2B，A＋B＋C＝π，将A＝2B代入sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinB＝sinBsin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC＝sin(C－A).

又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，

(2)证明：2a2＝b2＋c2.证明法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，结合正弦定理可得，accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).2bccosA＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.

法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.感悟提升

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升【A级

基础巩固】解连接BD.因为0°＜∠BCD＜180°，所以∠BCD＝30°.(2)若AB＝AD＝2，求梯形ABCD的面积.解由(1)知∠BAD＝2∠BCD＝60°.又AB＝AD＝2，所以△ABD为等边三角形，且BD＝2.易得∠DBC＝180°－60°－30°＝90°，所以△BCD为直角三角形.解若①成立，则m＝2；故①②不同时成立，②③不同时成立，①③符合题意.由③知T＝2π，则ω＝1.由余弦定理得4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c＝2时等号成立.由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cosD，因为∠BAC＋∠ACB＋B＝π，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos∠BAC，证明设BD＝x，则a＝BC＝2x.在△ABC中，由余弦定理，得b2＋c2－2bccosA＝4x2，即2b2＋2c2－bc＝8x2.①即b2＋4c2－bc＝4x2.②2×②－①，得6c2－bc＝0.又c≠0，所以b＝6c.解将b＝6c代入①，【B级

能力提升】解由sinA＝2sinB，得a＝2b＝4，又sin∠BDC＝sin∠ADC，故sin∠BCD＝sin∠ACD，即∠BCD＝∠ACD或∠BCD＝π－∠ACD，又∠