初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例1 如图1,。0的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。求证：PO平分/APD。分析1：由等弦AC=BD可得出等弧=C(d,进一步得出(b=(d，从而可证等弦八8二©口，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE±AB,OFLCD,易证△OPE/AOPF,得出PO平分/APD。证法1：作OELAB于E,OFLCD于F一AC=BDAc>(d= (b=>(d= =>AB=CD=>OE=OF、，ZOEP=ZOFP=90° =>△OPE5OPF0OP=OP=>ZOPE=ZOpF=>PO平分/APD分析2：如图1-1,欲证PO平分/APD,即证

ZOPA=ZOPD,可把乙OPA与乙OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA,0D,因此易证△ACP/ADBP,得AP=DP,从而易证△OPA/AOPD。证法2：连结OA,ODo=>AACP^ADBPZCAP=ZBDP二=>AACP^ADBPZAPC=ZDPB>AC=BD=>AP=DPOA=t)D=>AOPA^AOPD=>ZOPA=ZOPD=〉PO平分心APDOP二6P2,有直径，可作直径上的2,有直径，可作直径上的周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。例2如图2,在AABC中，AB=AC,以AB为直径作OO交BC于点D,过D作。0的切线DM交AC于M。求证DMIACo分析：由AB是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。于是可连结AD,得/ADB=Rt乙又由等腰三角形性质可得乙1二42,再由弦切角的性质可得/42,再由弦切角的性质可得/ADM=/B,故易证/AMD二4ADB二90°,从而DM，AC。证明连结ADAC。证明连结AD。AB为。O的直径=>ZADB=RtZAB=AC=>Z1=Z2DM切。DM切。O于D=>/ADM二4B=>Z1+ZB=Z2+ZADM=>ZAMD=ZADB=Rt4=>DM1AC说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角3.中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦3.中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例3如图3,AB是。O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB,DC切。。于C点。求4A的度数。分析：由过切点的半径垂直于切线，于是可作辅助线即半径OC,得RtA,再由解直角三角形可得/COB的度数，从而可求乙A的度数。解：连结OC。DC切。。于C=>ZOCD=90°OC=OB=BD=>COSZCOD=OC/OD=1/2=>ZCOB=60°OC=OB=BD=>4A二1/24COB二30°说明,由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。例4如图4,已知AABC中，乙1二42,

圆O过A、圆O过A、D两点，且与BC切于D点。求证EF//BC。分析：欲证EF//BC,可找同位角或内错角是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE,得一对内错角/BDE与4DEF,由圆的性质可知这两个角分别等于41和42,故易证EF//BC。证明连结DE。BC切。。于D二〉/BDE二41 、42二4DEF=>ZBDE=4DEF=〉EF//BC41二42一说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。4.当两相切，可作公切线或连心线4.当两相切，可作公切线或连心线例5已知：如图5,。01与。02外切于点P,过P点作两条直线分别交。01与。02于点A、B、C、D。求证PB・PC=PA・PD。分析：欲证PB・PC=PA・PD,即证PA:PB=PC：PD,由此可作辅助线AC、BD,并证AC//DB,要证平行，需证一对内错角相等，如/C二4D,然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN,从而问题迎刃而解。证明连结AC、BD,过P点作两圆的内公切线MN=>ZAPM=ZC,ZBPN=ZDzapm=4BpNzc=zd=>AC//DB=>PA:PB=PC：PD=>PB*PC=PA*PD说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。例6已知：如图6，。01与。02内切于点「经过切点T的直线与。O1与。02分别相交于点A和B。TOC\o"1-5"\h\z求证TA：TB=OA：OB。1 2图6分析：欲证TA:TB=O1A：O2B,可考虑证这四条线段所在的三角形相似，即证aTo1A二ATOzB,于是只需连结O2O『并延长，必过切点,则产生ATO1A和ATOzB,由41=Z2=ZT,则01A//0月易证线段比相等。证明连结并延长Ooi 1 200］和00；内1切于点T0M必过切点T01A=0：=>；）2：!-Z2=>OA//0B02T=02B=>Z2=ZT i2=>ATO1AsATO2B=>TA：TB=O1A：02B说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。

5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。例7如图7,。01与。O2相交于A、B两点，过A点作。02的切线交3。1于点C,直线CB交。O2于点D,DA延长线交。O1于点E,连结CE。求证CA=CE。分析：欲证CA=CE,考虑在三角形中证它们所对的角相等，即4E=/CAE,又由/DAF=/CAE,想到弦切角/DAF与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB,得/E=/DBA,易证CA=CE。证明连结AB。CA切。02于A=>ZDAF=ZDBA)四边形ABCE内接于。O1=〉/E=/DBAzdaf=Lcae=>ZE=ZCAE=>CA=CE '说明,由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。图8

图8例8如图8,在梯形ABCD中，以两腰AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。求证：MNIABo分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2,必有MNLO1O2,再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB,从而易证MNLAB。证明连结O1O2交EF于G=>MN1O1O2 1DO1=O1A,CO2=O2B=>O1O2是梯形ABCD的中位线=>O1O2//AB6．有半圆，可作整=>ZEFA=ZEGO1=RtZ=>MN1AB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。6．有半圆，可作整例9如图9,BC为。。的直径，(A=F,AD交BF于E。求证分析：欲证AE=BE,可考虑在三角形中证这两边 ，H一一J所对角相等。即/ABF=/BAE,再考虑证这两个圆周唐9所对的弧相等，故需补全。O,可证(H=,(H故有F,=易证AE=BE.证明补全。O,延长AD交。。于H,直径8^八口二>A(H](A二(F,J=>(=(F=>ZABF=ZBAH=>AE=BE说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径例10如图10,。01与。02相交于A、B两点，且02在。01上，点P在。01上，点Q在。02上，若4APB=40°,求乙AQB的度数。

P A图10分析连结O2A、O2B，在。O1中利用圆内接四边形性质求得/AO2B=140°,在。O2中，/AQB=1/24AO2B=70°。证明过程略。说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过