2方程求根二分法迭代省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第2章方程求根

2.1问题提出对方程，若存在，使得，则称为根，或称为零点。①当为多项式形式时，即则

称为代数方程。②若可写成形式,为m重根，或称m重零点。则第1页③代数方程公式解（当次数时有）令，原方程又可写为：对三次方程（卡当公式）：这类方程有公式解：

其中,（有可能出现复数根）对四次方程，可找相关文件。第2页对高次方程，使用数值方法求解，即在满足一定精度前提下，求根近似值。详细步骤：①找到根隔离区间当在内连续，且则内有解；

当在内严格单调，则内有唯一解。②求根准确化找出一个根近似值后，经过迭代方法计算，直至近似值到达一定精度。第3页例1：求有根区间。有根区间：[0,2]内有解;

缩小区间可知:[1,2]内有解;

再继续缩小区间知:[1.5,2]内有解。例2：求有根区间.即,e=2.71828…,可由作图知,[0,1]内有解。

第4页2.2二分法思绪：找到一区间，满足在上连续单调，且。（有唯一解）经过迭代法，将有根区间缩小，使在足够小区间内有唯一解。（满足误差精度）记：，取中点，分成两区间：若，则找到方程根；

不然有：，或

第5页若，记，若，记，

…………经过k次迭代，得到一区间，有取中点作为近似解，∴可经过误差公式反算出迭代次数k。

误差为：第6页例：求在[0，1]内根，要求到达3为有效数字。已知：，；

，所以当时，有唯一根，

此时：

可满足精度。经过上机计算可知，第7页二分法特点：1：计算简单，方法可靠，但收敛速度普通，且无法求重根和复根；2：可经过该方法找到足够小有根区间，为别求根方法提供好初值。作业：证实方程

在[0,1]中有且只有1个根。根，需求多少次迭代？使用二分法求误差小于（无须求出根）第8页2.3迭代法惯用数值求根方法，包含方程组求解，主要考虑是否收敛，收敛快慢问题。思绪：给一初值，经过迭代产生，……几何意义如右图：

第9页考虑问题：1.φ(x)形式多样性，不一样φ(x)，迭代结果不一样，可能收敛，可能发散。若有极限值，则收敛，极限值可作为方程根。2.收敛快慢。例：,

∈[2,4]，=4。φ(x)形式有：①②

③

第10页（收敛）

（发散）

（发散）第11页由几何作图可知：迭代是否收敛与迭代函数相关，详细有以下定理：定理2.1

迭代函数φ(x)含有一阶连续导数，且满足（1）当∈[a,b]时,φ(x)∈[a,b],（2）存在正常数L＜1，使得当x∈[a,b]时有|φ’(x)|≤L，则迭代方程收敛，且有以下性质：（1）方程在[a,b]内有唯一根。第12页证实：记

∵φ(x)∈[a,b],∴,∴在［a,b]内最少有一个根（端点处也能够）又∵，∴单调。（2）对任意∈[a,b]经过φ(x)迭代，结果收敛，有第13页证实：∵,∴由拉格朗日中值定理知：，

∈[a,b]∴,

∈[]∈[a,b]∵＜L，∴∴，即（3）第14页证实：(反推法)不等式即为：，

由性质（2）知：，∴若即可。这显然是成立，因为

该结果可用于判断迭代次数是否到达误差范围.∴由前后两次迭代结果判断称为误差事后公式。（4）第15页证实：由性质（3）得又∵∴因为还未计算，即能预计出迭代次数，该式称为误差事先公式。第16页（5）

∵，∴又∵，∴⑥若时，，则对任意初值，迭代公式发散.

,逐步远离.第17页

例：判断迭代函数收敛性.（同时满足定理2个条件）①

当时,,

迭代收敛.(该题可作习题，准确4位有效数字,)第18页②

当时，,迭代发散.例：利用迭代法求根,区间为[0,1]

当时，，条件1满足.但，不能满足条件2.第19页方法:缩小区间使得同时满足两个条件,可使用二分法或等距法.等距法更加快,从开始以为步长，确定区间使.,所以内有根..但此时闭区间在端点处不满足.这是由引发.继续缩小区间为.此时:.可经过迭代方法求出.第20页注意:若有根区间较大,不能满足两个条件.可经过缩小有根区间方法，或采取下面局部收敛判别定理.2.3.2迭代法局部收敛性.(因为原来定理两个条件较难同时满足)定义:对方程，若在某个邻域内,对任意初值，迭代公式都收敛.则称该迭代公式在附近局部收敛.第21页定理:设有根，且在邻域内存在一阶连续导数，则当时,迭代公式局部收敛.当时,迭代公式局部发散.证实:(先证实第2个条件：寻找某区间,有)第22页为一阶导数连续，即.对任意给定正数，总存在当时,有可令,则有

(绝对值性质)第23页再证第一个条件。当时，有，值域也满足条件.两个条件都成立，迭代收敛，即满足条件.反之,可证实当时，迭代公式发散.第24页注意:未知,可使用初值来判断.即使用|φ'(x0)|>1来判断（但需选择靠近x0上适当初值）例:用迭代法求方程f(x)=x(x+1)2-1=0在x=0.4附近根。x=φ(x)=

φ'(x)=-

|φ'(0.4)|=0.72<1迭代收敛第25页2.3.3迭代法收敛速度（不但考虑是否收敛，还考虑收敛快慢）定义：设{xk}收敛于x*，记ek=xk-x*（k=0,1,2,……），假如存在非零常数

C

和正常数

p，满足=C，则{xk}是

p

阶收敛。可使用p值大小反应收敛快慢：当p=1，且0<|C|<1时，为线性收敛；当p>1时，为超线性收敛；当p=2时，为平方收敛。第26页考虑线性收敛时，需注意：=φ’(x*)=C，这是因为：若C=0，则xk+1-x*=0，但xk+1另外需满足收敛条件|φ’(x*)|<1，所以︱C︱<1。x*不相等；例：已知，其中e0=,，若取误差精度为10-10，分别计算迭代次数。需确保第27页解：ek=

ek-1=,，取k=32。可得,(2)

可得算出k>3.72，取k=4。一阶收敛和二阶收敛迭代次数相差较大。(1)第28页普通地，收敛阶可经过下面定理判断：

定理：若φ(x)在x*附近某个领域内有p阶连续导数，且φ(x*)=x*，φ’(x*)=0，……φ(p-1)(x*)=0，φp(x*)0,则对一个任意靠近x*初始值，迭代公式xk+1=φ(xk)是p阶收敛，且有常数C证实：当p>1时，首先考虑局部收敛条件:φ'(x*)=0<1

此时满足局部收敛条件.第29页利用泰勒公式在x*处展开，取n