瑕积分的中值定理

瑕积分的中值定理王晓华【摘要】以区间［a,b］以b为瑕点的积分为例，在定积分中值定理的基础上用比较类推法研究了瑕积分的中值定理,给出瑕积分的第一中值定理、第二中值定理及积分型柯西中值定理，并予以证明.【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷)，期】2018(040)002【总页数】5页(P16-20)【关键词】瑕积分;收敛;中值定理【作者】王晓华【作者单位】浙江广厦建设职业技术学院教务处，浙江东阳322100【正文语种】中文【中图分类】O175MSC2010:00A050引言文献［1］介绍了定积分第一中值定理和第二中值定理;文献［2］将定积分中值定理进行推广，给出一个统一的表示形式;文献［3-5］将定积分中值定理推广到无限区间上广义积分的中值定理，得到一些研究成果.本文在已有研究成果的基础上，对区间［a,b］上以b为瑕点的瑕积分的中值定理进行研究，得出一些结果，丰富了广义积分的理论.1预备知识定义1［1］设函数f(x)在区间［a,b)上连续，而在点x=b的任意左邻域内无界，此时称点x=b是函数f(x)的瑕点.取£>0,如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在区间［a,b)上的广义积分，又叫瑕积分，记作f(x)dx，即引理1［1］若函数f(x)在区间［a,b］上连续，g(x)在区间［a,b］上可积且不变号，在［a,b］上必存在一点厂使得f(x)g(x)dx=f(&g(x)dx.引理2［1］设函数g(x)在区间［a,b］上可积，①若函数f(x)在区间［a,b］上单调下降，对任意给定的xe［a,b］都有f(x)>0，则存在R［a,b］，使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx.若函数f(x)在区间［a,b］上单调上升，对任意给定的xe［a,b］都有f(x)>0，则存在R［a,b］,使得f(x)g(x)dx=f(b)g(x)dx.若函数f(x)在区间［a,b］上单调，则存在R［a,b］,使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b)g(x)dx.引理3［2］若函数f(x)在区间［a,b)上连续，且(c为常数)，则函数f(x)在区间［a,b)上有界；(H)函数f(x)在区间［a,b)上存在最大值或最小值；(B)对于任意的M，m<p<M，其中：M=sup{f(x)|xe［a,b)},m=inf{f(x)|xe［a,b)}都存在M［a,b)，使得f(&=”从定积分的中值定理，本文可以类推得到瑕积分的中值定理.2主要结果定理1设函数f(x)在区间[a,b)上非负连续且(c为常数)，又设函数g(x)在区间[a,b)上不变号且瑕积分g(x)dx收敛，则(I)瑕积分f(x)g(x)dx收^;存在Eu[a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(&g(x)dx.证明(I)设M=sup{f(x)|xE[a,b)},m=inf{f(x)|xe[a,b)},对于任意给定的xe[a,b)都有m<f(x)<M,不妨假设g(x)>0，于是有：0<mg(x)<f(x)g(x)<Mg(x),(I)由瑕积分g(x)dx收敛及不等式(1)知，瑕积分f(x)g(x)dx收敛且有：mg(x)dx<f(x)g(x)dx<Mg(x)dx.(2)若g(x)dx=0，则由(2)式推出f(x)g(x)dx=0，则显然存在M(a,b),使得f(x)g(x)dx=f(&g(x)dx.若g(x)dx疝，则g(x)dx>0，则由(2)式得：令则m<p<M，由引理3的(B)知，存在Eu[a,b)，使得f(&=“命题得证.定理2设函数f(x)在区间[a,b)上单调下降且f(x)>0，又设瑕积分g(x)dx收敛，贝U瑕积分f(x)g(x)dx收^;(H)存在Eu[a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx.证明(I)由题设知，函数f(x)在区间[a,b)上有界，即存在M>0,对任意给定的xe[a,b)都有|f(x)|<M,又瑕积分g(x)dx收^，根据柯西收敛准则的必要条件知，对任意给定的£>0,存在A>0,使得当a1>A,a2>A时，有：对于f(x)g(x)dx由定积分第二中值定理知，存在K(a1,a2),使得由柯西收敛准则的充分条件知瑕积分f(x)g(x)dx收敛.(H)对任意给定的xe[a,b)，令G(x)=g(t)dt,则其在[a,b)上连续，且收敛，记为G(b-),又令m=inf{G(x)|xe[a,b)},M=sup{G(x)|xE[a,b)},则m<G(x)<M,对任意给定的A>a，根据引理2,有：f(x)g(x)dx=f(a)g(t)dt=f(a)G(EA),其中：Eau[a,A].由存在且为常数及f(a片0可得存在，记其为口，则m<p<M,再由引理3的(B)得存在R[a,b),使得G(&=l于是有：f(x)g(x)dx=f(a)|j=f(a)G(&=f(a)g(x)dx.定理3设函数f(x)在区间[a,b)上单调上升且(c为常数)，又设瑕积分g(x)dx收敛，则(I)瑕积分f(x)g(x)dx收^;(H)存在Eu[a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(b-0)g(x)dx.证明(I)证明参考定理2的(I).对于任意给定的A>a，根据定理2的(H)可得：f(x)g(x)dx=f(A)g(x)dx.根据积分区间的可加性⑶其中:EAu[a,A].已知瑕积分f(x)g(x)dx和g(x)dx都收敛，又可得存在，从定理2的证明可以类似地推出，存在^e[a,b)使得⑷由(3)式、(4)式可得：推论设函数f(x)在区间[a,b)上单调，(c为常数)且瑕积分g(x)dx收敛，贝U瑕积分f(x)g(x)dx收^;(H)存在Eu(a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b-0)g(x)dx.定理4若函数f(x),g(x)在区间[a,b)上连续，f(x)dx、g(x)dx均收敛，且f(x)、g(x)在区间[a,b)上有原函数，对任意给定的xe[a/b),f2(x)+g2(x)/0，则存在R[a,b),使得证明令并设F(x)、G(x)分别是f(x)、g(x)在区间[a,b)上的原函数，根据f(x)、g(x)在区间[a,x]上的可积性可知，f(x)dx、g(x)dx在[a,b)上连续，且f(x)dx=F(x)-F(a),g(x)dx=G(x)-G(a),从而H(x)在［a,b)上连续、在(a,b)内可导，且由引理知H(x)在［a,b)上必有最大值或最小值，不妨设有最大值M，则存在R(a,b)使H(沪M,易知H任)=0，于是由题设知g(混0,则在定积分中值定理的基础上，本文讨论了区间［a,b)上以b为瑕点的瑕积分的中值定理，而区间(a,b］上以a为瑕点，或c在［a,b］内且以c为瑕点的瑕积分的中值定理，可以做类似的讨论，得出相应的结果.参考文献：［1］ 华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2011.［2］ 覃运初.开区间上的连续函数［J］.安庆师范学院学报(自然科学版)，2003,9(4):43-44.［3］