湖南省长沙市万寿山中学2022年高三数学文摸底试卷含解析

湖南省长沙市万寿山中学2022年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的一个单调增区间是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】复合三角函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．2.对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，…6当为奇数时，…5现有四个命题：①，

②2006!!=!!，③个位数为0，

④个位数为5其中正确的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略3.己知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数g(x)=lnx+x-2的零点为b，则下列不等式中成立的

A,

B.

C.

D．参考答案：C略4.已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为（

）A．

B.

C．

D．参考答案：B略5.已知a＝21.2，b＝()－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(

)A．c<b<a

B．c<a<b

C．b<a<c

D．b<c<a参考答案：A略6.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（

）

A．2450

B．2500

C．2550

D．2652

参考答案：答案：C7.函数f(x)＝x3＋lgx－18的零点所在的区间为A.(0，1)

B.(1，2)

C.(2，3)

D.(3，4)参考答案：C8.已知是定义在R上的函数，对于给定的正数，定义函数，若函数对任意的恒有成立，则正数

（

）(A)有最大值2

(B)有最小值2

(C)有最大值4

(D)有最小值4参考答案：

B略9.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C10.已知为常数，函数有两个极值点，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D令得，。又，。，故选D。【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知∫（sinx+3x2）dx=16，则实数a的值为_________．参考答案：212.若函数（）的图象关于直线对称，则θ=

▲

．参考答案：略13.已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为

参考答案：14.函数的图象恒过定点,若点在直线上，其中，则的最小值为

▲

。参考答案：815.如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是．参考答案：[﹣3，0]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y0）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．参考答案：略17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___.参考答案：试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中u表示分数在之间被选上的人数，v表示分数在之间被选上的人数，记变量ξ=u﹣v，求ξ的分布列和期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图、频率分布直方图，分别求出分数在19.（本小题满分12分）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?参考答案：12分）（1）由题设可知，，

1分又，所以，

3分从而，再由题设知时，代入，得，从而，

5分因此，.

6分（2）要使点距离地面超过米，则有，

8分即，又解得，即

10分所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟.

12分20.（本题满分16分）设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）写出一个正整数，使得是数列的项；（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数和（），使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有

，……（2分）解得，，…………（3分）所以的通项公式为（）．…………（4分）（2）当时，，所以．……（1分）由，得，两式相减，得，故，……（2分）所以，是首项为，公比为的等比数列，所以．……（3分），…………（4分）要使是中的项，只要即可，可取．…………（6分）（只要写出一个的值就给分，写出，，也给分）（3）由（1）知，，…………（1分）要使，，成等差数列，必须，即，…………（2分）化简得．…………（3分）因为与都是正整数，所以只能取，，．…………（4分）当时，；当时，；当时，．…………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：，，．…………（6分）21.(本题满分18分）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。参考答案：（1），，

于是，所求“果圆”方程为

，

（2）由题意，得

，即．

，，得．

又．

．

（3）设“果圆”的方程为，．

记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是．的中点满足得．

，．

综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．

由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．

当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．22.某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，(＞)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为0123

(1)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；(2)求，的值；(3)求数学期望。参考答案：设事件表示“该公司第种产品受欢迎”，=1,2,3，由题意知，，