所有大二上概率第三章2讲

第三节

条件分布

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量

设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.

例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布

现在若限制1.7<Y<1.8(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.

容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.

例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.

一、离散型r.v的条件分布

实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定义1

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件概率函数.

作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.

条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i=1,2,…

例1

一射手进行射击，击中目标的概率为

p，(0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.解：依题意，{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次n次射击击中2nn-11……………….m击中

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的联合概率函数为

不论m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于n次射击击中2nn-11……………….m击中每次击中目标的概率为pP(X=m,Y=n)=？

为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘概率函数是：m=1,2,…Y的边缘概率函数是：n=2,3,…于是可求得：当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1联合分布边缘分布n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，练习：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率；（2）二维随机变量（X,Y)的概率分布。且中途下车与否相互独立。以

Y

表示在中途下车的人数，求：设某班车起点站上车人数X

服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为解：

二、连续型r.v的条件分布

设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.定义2

设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使

的x,定义已知

X=x下，Y的条件密度函数为同样，对一切使的y,定义为已知

Y=y下，X的条件密度函数.

我们来解释一下定义的含义：

将上式左边乘以dx

,右边乘以(dxdy)/dy即得以为例换句话说，对很小的dx和

dy，表示已知

Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.

运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.定义在已知

Y=y下，X的条件分布函数为特别，取即:若(X,Y)是连续型r.v,则对任一集合A，求P(X>1|Y=y)例2

设(X,Y)的概率密度是解:P(X>1|Y=y)为此,需求出由于于是对y>0,

故对y>0,

P(X>1|Y=y)例3

设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为求解：X的边缘密度为

当|x|<1时,有即当|x|<1时,有X作为已知变量这里是y的取值范围X已知下Y的条件密度

前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布.可以证明，对二维正态分布，已知

X=x下，Y的条件分布，或者已知

Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布.留作练习.

例4

设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度.解：依题意，X具有概率密度对于任意给定的值x(0<x<1)，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为X和Y的联合密度为于是得Y的概率密度为已知边缘密度、条件密度，求联合密度练习：解：返回主目录

这一讲，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握.难点：求条件分布时如何确定条件分布率和条件密度不为零的范围。数学文化欣赏

-------（罗素悖论1872-1970）一理发师宣称：他给所有自己不刮脸的人刮脸，而不给自己刮脸的人刮脸。一智者问：理发师先生，你是否应该为自己刮脸呢？理发师无言以对。

A={z|z不属于Z},即，对任一集合Z,如果z不属于Z,z就是A的元素；反之，如果z属于A,则z不属于Z.那A是否属于A呢？自从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。因此集合论被誉为“数学大厦的基石”。然而“罗素悖论”的发现，证明了集合论中竟然存在自相矛盾的悖论，这足以暴露集合论本身的缺陷。“罗素悖论”在20世纪数学理论中引起了轩然大波。“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”。这就是数学史上著名的“第三次数学危机”。

罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广