专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题2.2直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线的点斜式方程及辨析】 2【题型2直线的斜截式方程及辨析】 2【题型3直线的两点式方程及辨析】 5【题型4直线的截距式方程及辨析】 6【题型5直线的一般式方程及辨析】 8【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】 9【题型7求直线的方向向量】 11【题型8根据直线的方向向量求直线方程】 12【知识点1直线的点斜式、斜截式方程】1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【题型1直线的点斜式方程及辨析】【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点0,3,2,1的直线方程为()A．x-y-C．x+y+3=0【解题思路】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.【解答过程】由两点0,3,2,1，可得过两点的直线的斜率为又由直线的点斜式方程，可得y-3=-1×(x故选：B.【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(-5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（

A．x-y+12=0C．x+y-【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.【解答过程】依题意，直线的斜率k=所以直线方程为：y-7=-1⋅(x故选：B.【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（

）A．2x-y=0 B．2x+【解题思路】根据点斜式方程求解即可.【解答过程】解：经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是y-2=2x故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kxA．通过点2,0的所有直线 B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点2,0且除去x轴的所有直线【解题思路】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.【解答过程】y=k(故选：C.【题型2直线的斜截式方程及辨析】【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+yA．x32+C．y-3=-2(x【解题思路】化方程为斜截式即可.【解答过程】直线2x+y故选：B．【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=-x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（A．y=x+2C．y=-x+2【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数b，确定答案.【解答过程】因为所求的直线与直线y=-x+2垂直，所以k×设所求直线为y=x+b,又因为所求直线在x轴上的截距为求得b=-2,所以所求直线的斜截式方程为y故选：B.【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（A．y=x+1 B．y=x-【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.【解答过程】斜率k=点斜式方程为y-斜截式方程为y=故选：A.【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x-y-1=0垂直，且在yA．yB．y=-1C．yD．y=1【解题思路】将直线2x-y-1=0化为斜截式方程，可得出斜率k=2，从而得与直线2【解答过程】解：由于直线2x-y-1=0则与直线2x-y由于所求直线在y轴上的截距为4，则所求直线的斜截式方程是y=-故选：A.【知识点2直线的两点式、截距式方程】1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当时，直线方程为(或).

③当时，直线方程为(或).2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【题型3直线的两点式方程及辨析】【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G1,-3，H-2,1，则直线lA．4x+y+7=0 B．2x-【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【解答过程】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为y+31+3=故选：C．【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,-5，B-5,5的直线在yA．-54 B．54 C．-【解题思路】由两点式得出直线方程，令x=0，即可解出直线在y轴上的截距【解答过程】过两点A3,-5，B-5,5令x=0，解得：y故选：A.【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，-3)，H(2A．4x+yC．2x-3【解题思路】直接利用两点式直线方程得x-1【解答过程】直线l的两点式方程为：x-12-1故选：B.【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过-2,-2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.【解答过程】由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+2故选：C.【题型4直线的截距式方程及辨析】【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A5,2，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（

A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.【解答过程】若直线经过原点，则y=25若截距均不为0，则设直线方程为xa+ya=1a≠0故选：C.【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,-6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（

）A．2x+yC．x-y+3=0 D．【解题思路】由题意，分截距为0或不为0两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.【解答过程】显然，所求直线的斜率存在．当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，将点(3,-6)代入得k=-2当两截距均不为0时，设直线方程为xa+ya=1,a≠0故选：D．【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(-2,0),B(0,3)，则直线lA．3x-2y+6=0 B．2x【解题思路】已知直线l的过点点A(-2,0),B(0,3)【解答过程】由直线l过点A(-2,0),B(0,3)，则直线l的方程为x故选：A.【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A-2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（A．x+2y=0或x-yC．x-y-1=0或x+【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.【解答过程】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y把点-2,1代入求出k=-（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为xa把点-2,1代入求出a=-3综上，直线方程为x+2y故选：A.【知识点3直线的一般式方程】1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程【题型5直线的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,-1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（

）A．3x-y-1=0 B．3x【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【解答过程】由直线的倾斜角为60°知，直线的斜率k=因此，其直线方程为y-(-1)=3故选：A.【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x-2yA．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【解题思路】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.【解答过程】由x-2y+3=0，令x=0可得，y即直线x-2y+3=0过点所以直线x-2故选：A.【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(-3,1)，且与直线x-2y+3=0A．2x+y+3=0 B．2x+【解题思路】由题意设直线l方程为2x+y+m【解答过程】因为直线l与直线x-2y+3=0垂直，所以设直线因为直线l过点(-3,1)，所以-6+1+m=0所以直线l方程为2x故选：B.【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（AA．无论A,B取任何值，直线都存在斜率 B．当A=0，且BC．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交 D．当A≠0，且B=0，且【解题思路】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.【解答过程】解：对于A选项，当A≠0，且B对于B选项，当A=0，且B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交；当A=0，且B≠0对于C选项，当A≠0，且B对于D选项，当A≠0，且B=0，且C=0时，直线方程为x=0故选：D.【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点(0,-1)且斜率为-23的直线方程为（A．2x+3y+3=0 B．2x+3【解题思路】写出点斜式，再化为一般式即可.【解答过程】由点斜式得y+1=-23故选：A.【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】直线变换为y=-ABx-C【解答过程】由Ax+By+C=0因为AB<0，BC<0，故-A故直线不经过第四象限.故选：D.【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线x+ay-1=0的倾斜角为3πA．1 B．-1 C．2 D．【解题思路】将直线方程化为点斜式方程，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【解答过程】解：由题知a≠0，故将直线方程化为点斜式方程得y因为直线x+ay-所以直线x+ay-1=0的斜率为-1故选：A.【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（

）A．x+2y-C．2x-y=0或x+2【解题思路】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.【解答过程】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=把点(2,4)代入方程，得2=k，即k=2，所以直线的方程为当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为x2把点(2,4)代入方程，得22b+4b故选：D．【知识点4方向向量与直线的参数方程】1．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型7求直线的方向向量】【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x-2yA．2,1 B．1,2 C．2,-1 D．1,-2【解题思路】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.【解答过程】在直线x-2y+1=0上取点故直线x-2y故选：A.【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+myA．1,2 B．2,-1 C．2,1 D．1,-2【解题思路】直接根据方向向量的定义解答即可.【解答过程】明显m≠0直线2mx+my所以直线2mx+my故选：D.【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么kA．-2 B．-1 C．-1【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.【解答过程】由题意k1=2-0故选：A.【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量1-m,1A．-1 B．1 C．2 D．-1【解题思路】根据题意得到直线l的一个方向向量为-2,m【解答过程】因为直线l:mx+2y+6=0又因为向量1-m,1是直线所以-2-m1-m=0故选：D.【题型8根据直线的方向向量求直线方程】【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为2,-1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（

A．x-y-C