北师大版八年级数学下册 （多边形的内角和与外角和）平行四边形教学课件(第1课时)

八年级下册6.4多边形的内角和与外角和第1课时

学习目标12探索多边形的内角和公式，进一步发展推理能力;掌握多边形内角和公式，并能运用公式解决实际问题.回顾与思考三角形：三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形；三角形内角和等于180°；多边形：在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形叫做多边形.正多边形：在同一平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形.1.n边形的内角和等于

.2.多边形的边数每增加一条，内角和就增加

.3.正多边形的每个内角

.前置学习（n-2）·180°180°1.六边形的内角和等于_______．2.已知多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为_______.3.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加（

）A.180°B.90°C.360°D.540°4.四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（

）A．80°B．90°C．170°D．20°前置学习720°7CA活动探究探究点一问题1：三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？①用量角器度量：分别测量出三角形三个内角的度数，再求和.②拼角：将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起，可组成一个平角.问题2：小明和小亮的求五边形内角和的方法，是把五边形的内角和问题化归三角形内角和的问题，小明将五边形分成了

个三角形，五边形的内角和计算方法

.小亮将五边形分成了

个三角形，五边形的内角和计算方法

.

你还有其它方法吗？

图3的分割法：4×180°-180°=540°图4的分割法：4×180°-180°=540°活动探究33×180°=540°55×180°-360°=540°活动探究探究点二问题1：按小明的方法，从一个顶点引对角线，完成下表：多边形图形一顶点引对角线条数分割三角形个数多边形内角和三角形（n=3）

01180°四边形（n=4）1

2

360°五边形（n=5）

2

3540°

六边形（n=6）3

4720°

…………………………n边形

n-3n-2

（n-2）180°活动探究探究点二问题1：按小亮的方法，从多边形内一点分别连接各顶点，完成下表：多边形图形多边形内一点连接各顶点的线段条数分割三角形个数多边形内角和三角形（n=3）33180°四边形（n=4）4

4

360°五边形（n=5）5

5540°

六边形（n=6）6

6720°

…………………………n边形nn

（n-2）180°活动探究归纳：多边形内角和等于(n-2)·180°.活动探究问题2：一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1440°解得，n=10因此，这个多边形是十边形活动探究问题3：减掉一张长方形的纸片的一个角后，纸片还剩几个角，这个多边形的内角和是多少度？解：（1）纸片剩5个角，得到五边形内角和为（5-2）×180°=540°；（2）纸片剩4个角，得到四边形内角和为（4-2）×180°=360°；（3）纸片剩3个角，得到三角形内角和为180°.活动探究探究点三：问题1：根据多边形内角和求出下列正多边形的内角.正三角形的内角为

；正四边形的内角为

；正五边形的内角为

；正六边形的内角为

；正八边形的内角为

；正n边形的内角为

.

活动探究问题2：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°.强化训练1.小明想为校运动会设计一个内角和为2017°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明．解：假设这样的多边形图案存在，其边数为n.由(n－2)·180°＝2017°，得n－2＝

所以n＝因为解得n不是整数，所以其想法不能实现．强化训练2.求出下列图中x的值．

解：(1)根据四边形的内角和是360°，得(x＋10)＋x＋60＋90＝360.解得x＝100.(2)根据五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°，得x＋(x＋20)＋(x－10)＋x＋70＝540.解得x＝115.随堂检测1.下列说法中，正确的有(

)(1)三角形是边数最少的多边形；(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角；

A．0个B．1个C．2个D．3个2.若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为_____．B63.一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？解：设这个多边形的边数为n，由题意得n（n－3）＝3n，所以n－3＝2×3，所以n＝9，所以(n－2)•180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以这个多边形的内角和为1260°.随堂检测随堂检测4．已知两个多边形的内角和为1080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得(2x－2)•180°＋(3x－2)•180°＝1080°.解得x＝2.故这两个多边形的边数分别是4和6.随堂检测5.如图所示，回答下列问题：(1)小华是在求几边形的内角和？(2)少加的那个内角为多少度？解：(1)因为1125÷180＝6，∴n－2≥6，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，故小华求的是九边形的内角和；(2)因为（9-2）×180-1125=135，故小华少加的那个内角度数为135°.课堂小结1.多边形的定义及其内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)•180；2.n边形一个顶点可以引（n-3）条对角线；你边形共有n（n-3）条对角线.再见八年级下册6.4多边形的内角和与外角和第2课时

学习目标12理解和掌握多边形外角和定理的推导过程;能进行多边形内角和、外角和定理的综合运用.回顾思考1.n边形的内角和等于180°.2.正多边形的每个内角等于1.多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的一个外角.2.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.3.任意多边形的外角和等于360°.前置学习1.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为(

)A．90°B．180°C．270°D．360°2.下列多边形中，内角和与外角和相等的是(

)A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形3.如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了(

)A．60mB．100mC．90mD．120m前置学习DAC活动探究探究点一问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，跑步方向改变的哪个角？在图中标出.活动探究探究点一问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，跑步方向改变的哪个角？在图中标出.活动探究探究点一问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，跑步方向改变的哪个角？在图中标出.(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？解：360°活动探究探究点一问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？小明的推理：如图：∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEA=180°，∴∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5=5×180°-(5-2)×180°=360°活动探究探究点一问题2：如果广场是六边形、八边形、n边形那会什么结果？解：如图，由小明推理有，六边形：∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6=6×180°-(6-2)×180°=360°同理，八边形：∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6+∠7＋∠8=8×180°-(8-2)×180°=360°n边形：∠1+∠2＋…＋∠（n-1）＋∠n=n×180°-(n-2)×180°=360°活动探究探究点二问题1：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5是多少度？解：∵∠1=∠α，∠2=∠Β，∠3=∠γ，∠4=∠δ，∠5=∠θ∴∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5=5×180°-(5-2)×180°=360°活动探究多边形的外角：多边形的内角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.多边形的外角和：多边形的每个顶点处取取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外交和.多边形的外角和都等于360°活动探究探究点三：问题1：已知一个多边形,它的内角和等于外角和的3倍,求这个多边形的边数和对角线的条数?解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）•180°=3×360°解得，n=8对角线的条数：n（n-3）=×8（8-3）=20因此，这个多边形是八边形.对角线有20条活动探究问题2：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．

解：∠DCF=60°，理由如下：如图，∵∠B=90°∴∠1+∠BCF=90°∵∠BCF=60°，∴∠1=30°．∵AE∥CF，∴∠2=∠1=30°∵AE平分∠BAD∴∠3=∠2=30°又∵∠D=90°∴∠3+∠4=90°∴∠4=60°∵AE∥CF∴∠DCF=∠4=60°．强化训练1.一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是多少？解：设新形成的多边形的边数为n,则有(n-2)×180=1620,解得n=11.若只截去多边形的一个顶点,则新多边形会多出一个顶点,此时原多边形是十边形;若截到两个顶点,则边数未变,此时原多边形为十一边形;若截到三个顶点,则少了一个顶点,此时原多边形为十二边形;综上可知,原多边形的边数可以为10或11或12.强化训练2.如图所示,根据图中的对话回答问题.(1)内角和为2015°,小明为什么说不可能?(2)小华求的是几边形的内角和?(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗?强化训练2.如图所示,根据图中的对话回答问题.解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)•180°，∴内角和一定是180°的倍数．∵2014÷180＝11…35，∴内角和为2014°不可能．强化训练2.如图所示,根据图中的对话回答问题.解：(2)依题意，有2015°－180°＜(x－2)•180°＜2014°，解得12＜x＜14，因而多边形的边数是13.故小华求的是十三边形的内角和．强化训练2.如图所示,根据图中的对话回答问题.解：(3)十三边形的内角和是(13－2)×180°＝1980°，2015°－1980°＝35°，因此这个外角的度数为35°1．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那