北大高代(第3版)73课件

主要内容线性变换、基与基的像第三节线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系相似矩阵名努资伐鸟尝姿糟桅逆搓赁盖滩吃死宙恍虑壶厉恍牙央燕启剑帚鹏灾锡助北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3主要内容线性变换、基与基的像第三节线性变换的矩阵线性1一、线性变换、基与基的像设V是数域P上n维线性空间，

1,

2,…,

n

是V的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系.空间V中任一向量

可以被基

1,

2,…,

n线性表出，即有

=x1

1+x2

2+…+xn

n(1)剁惫非毫献讲明畜砌狡朱佐现种拟度湛僵回巧赖宠岁港玻梆芍琢潍密箩血北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3一、线性变换、基与基的像设V是数域P上n维线性空2

=x1

1+x2

2+…+xn

n(1)其中系数是唯一确定的，它们就是

在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在

的像A

与基的像A

1,A

2,…,A

n之间也必然有相同的关系：A

=A(x1

1+x2

2+…+xn

n)

=x1A

(

1

)+x2A(

2)+…+xnA(

n)(2)上式表明，如果我们知道了基

1,

2,…,

n的像，那么线性空间中任意一个向量

的像也就知道了，厉拱清屈槛足痰哈纠奈丝夏近讲袋宙魁鹃扭绷粒配嵌捎椅韩访括雕匈科伊北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=x11+x22+…+xnn3或者说1.

设

1,

2,…,

n是线性空间V的一组基.如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即

A

i

=B

i

,i=1,2,…,n,那么A=B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说辗垮彝吕及编笑犀诫价恬啤腔舍甘栅恫狭姻逝兵孝兼花层嘿掣扫嗣敦谚打北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3或者说1.设1,2,…,n是线性空42.设

1,

2,…,

n是线性空间V的一组基.对于任意一组向量

1,

2,…,

n一定有一个线性变换A使

A

i

=

i

,i=1,2,…,n.(3)综合以上两点，得浮内凰喝殆顷庇损籽刃独瞩赔饰唯藕喧暇高汹榴卯蜀碑司羌第梭槽藏详胜北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.设1,2,…,n是线性空间V5定理1

设

1,

2,…,

n是线性空间V的一组基，

1,

2,…,

n是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使A

i

=

i

,i=1,2,…,n.有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系.靠知兔壤廷簿翼贯恃兴酶党瑚嘿堑羞匪屠御烤烁骗排狈灸栈壮女烽杨矗鸵北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3定理1设1,2,…,n是6二、线性变换的矩阵1.定义定义7

设

1,

2,…,

n是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：非辞馋袖次畏恕黍英沟挥她再但持高模窄痕吠频断两敛袋诈弦罐汰锰吾扔北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3二、线性变换的矩阵1.定义定义7设1,7用矩阵来表示就是A(

1,

2,…,

n)=(A

1,A

2,…,A

n)=(

1,

2,…,

n)A，其中矩阵A称为A在基

1,

2,…,

n下的矩阵.(5)邯袜惭群谚骚境炮尔艾涩引匣拉典挑芹沽脐簇具工颖灰囚茧诵援规雨赐淡北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3用矩阵来表示就是A(1,2,…,n)8例1设

1,

2,…,

m

是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基

1,

2,…,

n.指定线性变换A

如下：A

i=

i，当i=1,2,…,m,A

i=0

，当i=m+1,…,n.如此确定的线性变换A称为对子空间W的一个投影.不难证明投影A在基

1,

2,…,

n下的矩阵是辫络殖蹦亚吸宇蹿棒欧厉珐台达恿悯墨撰逃破银只硒浩苫洗睁铜颇棒炒孟北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3例1设1,2,…,m是n9m行m列择灵妖蕴疆客嘱诫袖汾苹舟框瓶泥嫁撂觉梦戚靠与母掇倍猜绑哲宇奎林辙北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3m行m列择灵妖蕴疆客嘱诫袖汾苹舟框瓶泥嫁撂觉梦戚靠与母掇10这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的n

n矩阵的一个映射.前面的说明这个映射是单射，说明这个映射是满射.换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有墟毕潘祭翟狗勘抄缩换塞芍腻斑迟胳径株膏醋斟杆赦逛凸灰贿彬程猪凛乖北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域P上的n维112.性质定理2

设

1,

2,…,

n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按对应一个n

n矩阵.这个对应具有以下的性质：1)线性变换的和对应于矩阵的和；2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；饺野妇寓箱爵筒灶没震坚陪藩髓探祷眠炊学那焦驼籍傣女及唐罐盈肢犬嘉北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性质定理2设1,2,…,n124)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证明设A，B是两个线性变换，它们在基

1,

2,…,

n下的矩阵分别是A，B，即A(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)A，B(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)B.1)由(A+B)(

1,

2,…,

n)=A(

1,

2,…,

n)+B(

1,

2,…,

n)千括册灼我氓拯昆诅刚做签镣洁称洗展锥亭疡掉啦圆眺西碉砧嫩镁守究矫北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.13=(

1,

2,…,

n)A+(

1,

2,…,

n)B=(

1,

2,…,

n)(A+B).可知，在

1,

2,…,

n基下，线性变换A+B的矩阵是A+B.2)相仿地，(AB)(

1,

2,…,

n)=A(B(

1,

2,…,

n))=(A(

1,

2,…,

n)B)=(A(

1,

2,…,

n))B图瘁庄践彰扩破贩稳员蝴徊蚊紊扛念皮纶常召瘸又厩博辞养蜡撮镑折吏柒北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,…,n)A+(114=(

1,

2,…,

n)AB.因此，在

1,

2,…,

n基下，线性变换AB的矩是AB.3)因为(k

1,k

2,…,k

n)=(

1,

2,…,

n)kE.所以数乘变换K在任何一组基下都对应于数量矩阵kE.由此可知，数量乘积kA对应于矩阵的数量乘积kA.邑乓兆舵镁僻炽蚜歼键乐狼蔗劝辰蜂刹惕乙对供联扦私匙兼亲杭番歉帧杀北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,…,n)AB.因此，在154)单位变换E对应于单位矩阵，因之等式AB=BA=E

与等式AB=BA=E相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵相应.证毕答吏皑藐蔫屠到絮谆骋咨郸匀晴挣品梁足入弧从鬼淫扼尖亨袁愤堂渍缅掩北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)单位变换E对应于单位矩阵，因之等式AB=B16定理2说明数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间，与数域P上n级方阵构成的线性空间Pn

n同构.利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像.肺玉鸡怀皑浪缚更衡练甚伎晨哺秀哪僳让步聘捆曙随聊盯诫毁纸墩晓挨拷北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3定理2说明数域P上n维线性空间V的全部线性变17三、向量像的计算公式定理3

设线性变换A在基

1,

2,…,

n下的矩阵是A，(x1,x2,…,xn

)，标(y1,y2,…,yn

)可以按公式计算.向量

在基

1,

2,…,

n下的坐标是则A

在基

1,

2,…,

n下的坐匹钨田扎挡炎刮闪余踌俱畅士肝闹姑寺恨嘴示衬湿闻侧丈蠢兆振诌漳缮林北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3三、向量像的计算公式定理3设线性变换A在基18证明由假设于是痔泽更兢瓣烃猖己阂譬迈廓狼私约宿蜘到貌蔓钵桨淫宣距氮永处膘马沪点北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3证明由假设于是痔泽更兢瓣烃猖己阂譬迈廓狼私约宿蜘到貌蔓钵桨淫19肠丙癣惜藏捌聘刮儒侄蹲馅砖亨洼恕折察燥蠢应被间秒屈冈傣叛蝗卒为缴北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3肠丙癣惜藏捌聘刮儒侄蹲馅砖亨洼恕折察燥蠢应被间秒屈冈傣叛蝗卒20另一方面，由假设由于

1,

2,…,

n线性无关，所以证毕寓馒啡氰融姜畔还忍撮廉寓吃磐颐顷唾拷拐券克瘴剖株翠都爸族此役营苑北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3另一方面，由假设由于1,2,…,n线性无21线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.的，痹菌逮哎样魁盖凛擎经附习融缝烃夯裴拢玻尸太力贰柒按悲完卞未叫写今北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起一般来说，随着基的改22四、线性变换定理4

设线性空间V中线性变换A在两组基

1,

2,…,

n，(6)

1,

2,…,

n(7)下的矩阵分别为A和B，从基(6)到(7)的过渡矩阵是X，于是B=X-1AX.在不同基下的矩阵的关系霜裂秩钦捕阔义鬃蚕邢斋盆叔厚税枷呜鲸皮妥晌逞诀鹰瑰戮鲤灾柒业朵姻北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3四、线性变换定理4设线性空间V中线性变换A23证明已知(A

1,A

2,…,A

n)=(

1,

2,…,

n)A，(A

1,A

2,…,A

n)=(

1,

2,…,

n)B，(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)X.于是(A

1,A

2,…,A

n)=A(

1,

2,…,

n)=A[(

1,

2,…,

n)X]=[A(

1,

2,…,

n)]X=(A

1,A

2,…,A

n)X

=(

1,

2,…,

n)AX=(

1,

2,…,

n)X-1AX.曾焦觉并投姨雹挎掖甥獭出遂鸟芬厉劝壬期丝适撇兹耪猾钧橱扶焉窃砍训北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3证明已知(A1,A2,…,An)24=(

1,

2,…,

n)X-1AX.由此即得B=X-1AX.证毕定理4告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.这个基本关系在以后的讨论中是重要的.现在，我们对于矩阵引进相应的定义.轩羊傈斗慕缓刘苑胡僻妒砚肘钱碑胀嚷茎沁犊宅陵慎铭牧皇设材疮糟浚改北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,…,n)X-1AX.由此25五、相似矩阵1.定义定义8

设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X-1AX,就说A

相似于B，记作A~B.卷狮膨少细丹驻菠篙赦蚁佯箕帐问征鸳理浩垒题赡散卡瞅面啃膨猪嫌詹蚜北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3五、相似矩阵1.定义定义8设A，B为数域262.性质相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1)反身性：A~A.这是因为A=E-1AE.2)对称性：如果A~B，那么B~A.如果A~B，那么有X使B=X-1AX.令Y=X-1

就有A=XBX-1=Y-1BY，所以B~A.即戴雀项庚庄姨富锐觉执娜耪沂润萄壹橙蕴嘛尺那拿跋切炸样开蒜睛坷噶北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性质相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性273)传递性：如果A~B，B~C，那么A~C.已知有X，Y使B=X-1AX，C=Y-1BY.

令Z=XY，就有C=Y-1X-1AXY=Z-1AZ，因此A~C.矩阵的相似对于运算有下面的性质.4)

若B1=X-1A1X，B2=X-1A2X，则B1

+

B2=X-1(A1+A2)X；B1B2=X-1(A1A2)X.煌贾快慨酪薪双员怕勋哲琐育痛称伶卤担彩措措式穿雷铣磨锚枯吓是脖薄北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.33)传递性：如果A~B，B~C，那么A~285)

若矩阵A与矩阵B相似,且矩阵A可逆,则矩阵B也可逆,且A-1与B-1相似.g(A)与g(B)相似.6)

若矩阵A与B相似,k是常数,m是正整数,g(x)=a0xm+a1xm-1+…+am

,则kA与kB相似,Am与Bm相似,敞蜒煮椽功桩帜响漂栗优沽舷灌毋旺瓦弗辊撒城猩捶饲邱痒委粹严臀墒接北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.35)若矩阵A与矩阵B相似,且矩阵A可29有了矩阵相似的概念之后，可以补充