高二上学期第一次月考数学试卷（基础篇）（解析版）

2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线A．30° B．45° C．60°【解题思路】根据两点间斜率公式求解即可；【解答过程】解析：k=tan所以α=45故选：B.2．（5分）（2023春·浙江杭州·高二统考期末）若a,b,A．b+c,b,-b-C．a+b，a-b，【解题思路】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【解答过程】对选项A：-b-c对选项B：a=12a+b+对选项C：假设c=λa对于选项D：(a+b故选：C.3．（5分）（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角60°，在y轴上的截距为-2，则此直线方程为（

A．y=3x+23 B．y=【解题思路】先求直线的斜率，再根据直线的斜截式方程运算求解.【解答过程】因为直线l的倾斜角60°，则直线的斜率k=所以直线方程为y=故选：C.4．（5分）（2023春·高二单元测试）若A,B,A．ABB．2C．ABD．AB【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解答过程】对于A，AB+2对于B，2AB对于C，AB+对于D，AB-故选：A.5．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若a=1,1,-3，b=1,-1,x，且A．5 B．7C．11 D．13【解题思路】由a⊥b，得a⋅b=0【解答过程】因为a=1,1,-3，b所以a⋅b=1-1-所以b=1,-1,0，所以所以a+故选：B.6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x①∃a∈R，使得l1//l2③∀a∈R，l1与l2都相交；

④∃其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断【解答过程】对于①，若l1//l2，则对于②，若l1⊥l2，则-1对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=-1对于④，直线l1的方程为x若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则Δ=100-4×3×7>0，方程3a2-故选：C.7．（5分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）直线l1:kx-y+2k+1=0与l2:x+ky-kA．35 B．45 C．10 D【解题思路】由题意可得l1⊥l2，设点O到弦AC、BD的距离分别为d1、【解答过程】显然l1⊥l2，且两直线同时过定点P(-2,1)设点O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2，则|AC|=2四边形面积S故选：D.8．（5分）（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E

A．32 B．33 C．36【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【解答过程】

根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A0,0,0则AC设平面A1EC则n⋅EA1=-2x-所以平面A1EC设直线AC1与平面A1则sinθ故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大【解题思路】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【解答过程】当0∘<α<90根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90∘时，直线的斜率为tan若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.10．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BCB．“a-b=a+b”C．若a,b共线，则a与D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、z∈R)【解题思路】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误．【解答过程】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，a,b同向时，应有对C，根据共线向量的定义可知，a,对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．故选：BCD．11．（5分）（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l：3x+2y+m=0，圆A．若m=5+13或5-13，则直线lB．若m=5，则圆C关于直线lC．若圆E：x2+y2+5D．若m>5，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则【解题思路】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断A，根据直线经过圆心即可判断B，根据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断C，根据圆心C-2,12到直线l【解答过程】x2+y2+4对A，若直线l与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则3×-解得m=213+5或m若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有3×-2+2×12对C，圆C与圆E的方程作差得3x2+则12+54m满足D2+E2-对D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心C-2,12到直线l的距离d∈r-解得5+13<m故选：AC.12．（5分）（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱C

A．OEB．SC．异面直线OD1与EFD．点F到直线OD1【解题思路】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；【解答过程】故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-

B1,1,0,O12,1OE⋅BC=OF⋅OF=5根据三角函数两角正余弦关系解得：sinS△FOE=ODOD1=62点F到直线OD1的距离为：而cosOF,所以OFsinOF,故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点A2,3且与直线x+2y【解题思路】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.【解答过程】设与直线x+2y-依题意，2+2×3-m=0，解得所以所求直线方程是x+2故答案为：x+214．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知a=1,1,2，b=2，a-b【解题思路】根据a-b【解答过程】因为a=1,1,2因为a-b=2即4-2a⋅b故答案为:2.15．（5分）（2023春·江苏南京·高二校联考期末）已知直线l:x+y-1=0：与圆C:x【解题思路】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.【解答过程】由圆C:x-32又由圆心C到直线l:x+根据圆的弦长公式，可得AB=2故答案为：2316．（5分）（2023·全国·高三对口高考）在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,D,D1

【解题思路】建系，分别求平面DA1C、平面【解答过程】如图，以C为坐标原点，CA,CB,则A1可得CA设平面DA1C的法向量为n令x=2，则y=-2,z由题意可得：平面A1CC则cosn由图形可知：二面角D-A1故答案为：-2四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023秋·高二课时练习）在正六棱柱ABCDEF-A1

【解题思路】根据空间向量的线性运算求解.【解答过程】根据正六棱柱的性质知，四边形BB则BB所以AB+结果如下图所示：

18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)l1经过点A(2,3),B(-4,0)，(2)l1的斜率为-10，l2【解题思路】（1）分别计算出l1和l（2）求出l2的斜率，再与l1【解答过程】（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1因为l1经过点A(2,3),B(-4,0)，所以k1=3-0所以k1所以l1与l（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k因为l2经过点A所以k2所以k1所以l1与l219．（12分）（2023春·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OP(1)判断P,(2)能否以OA,OB,【解题思路】（1）假设P,（2）先判断OA,OB,【解答过程】（1）假设P,则存在实数x,y,z，使即2比较对应的系数，得到关于x,x-3y+z故P,A,（2）若OA,OB,OC共面，则存在实数所以e1所以-3所以OA,OB所以OA,OB,所以e1+2所以OP=17a20．（12分）（2023春·北京海淀·高二校考开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为a+1x(1)若a=1，求过点1,0且与直线l(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．【解题思路】（1）代入a=1计算出斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）列出点到直线的距离公式，建立等式求解可求出a的值；（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可【解答过程】（1）当a=1时，直线l的方程为2x-则过点1,0且与直线l平行的直线方程为y=2x-（2）原点O到直线l的距离为d=解得：a=-1（3）a=-1当a≠-1时，令y=0，x=-4aa+1，令x=0，21．（12分）（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l【解题思路】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；（2）根据直线垂直于l⊥CP时，AB【解答过程】（1）直线2+kx+联立x+y+1=02x+y=0解得圆C:x2+y因为PC=(1-0)2+(-2-0)则直线l与圆C恒有两个交点.（2）直线l经过圆C内定点P1,-2，圆心C记圆心到直线l的距离为d.因为AB=2r2-d所以当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦此时AB=2因为kCP=-2-01-0=-2，所以直线l的斜率为所以当AB取得最小值时，直线l的方程为y+2=12综上：AB最小值为211，此时直线l方程为x

22．（12分）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1

(1)求点B到平面ACC(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，A【解题思路】（1）应用等体积法求出点到平面距离；（2）空间向量法求线面角的正