专题25同解方程（含解析）

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专题25同解方程

1．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程；

（1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值；

（2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；

（3）若关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值．

2．我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：与方程的解都为，所以它们为同解方程.

(1)若方程与关于的方程是同解方程，求的值；

(2)若关于的方程和是同解方程，求的值；

(3)若关于的方程和是同解方程，求的值.

3．如果关于的方程和的解相同，那么．

4．若关于x的方程与的解相同，则．

5．方程的解与关于的方程的解相同，则．

6．若方程2x+1＝﹣3和的解相同，则a的值是．

7．若关于x的方程x+2=a和2x﹣4=4有相同的解，则a=．

8．当x=时，代数式x﹣1和3x+7的值互为相反数．

9．方程与方程的解一样，则________.

10．已知关于的方程与方程的解相同，求k的值．

11．如果方程的解与关于的方程的解相同，试求的值．

12．已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解．

13．若关于的一元一次方程与的解相同，求k的值．

14．已知关于x的方程3x－2m＋1＝0与2－m＝2x的解互为相反数，试求这两个方程的解及m的值．

15．a为何值时，方程3(5x－6)＝3－20x的解也是方程a－x＝2a＋10x的解？

16．如果方程的解与方程4x﹣（3a+1）=6x+2a﹣1的解相同，求式子的值．

17．已知关于的方程和有相同的解，求的值和这个解是什么？

18．如果方程的解与关于的方程的解相同，试求的值．

参考答案：

1．（1）m＝1；（2）a＝﹣7；（3）m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．

【分析】（1）根据题意解方程再把方程的解代入到mx＝m+1求出m即可；

（2）把a当做有理数解方程，用含a的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求a即可；

（3）把m，n当成有理数，用含m，n的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求m，n即可；

【详解】（1）解方程2x＝4得x＝2，

把x＝2代入mx＝m+1得2m＝m+1，

解得m＝1；

（2）关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2得x＝，x＝，

∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，

∴，

解得a＝﹣7；

（3）解关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝（m+1）得x＝，x＝，

∵关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝（m+1）是同解方程，

∴＝，

∴mn﹣3m﹣3＝0，

mn＝3（m+1），

∵m，n是正整数，

∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．

【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数．

2．（1）=11；（2）；(3)6.

【分析】（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m的方程，然后解答；

（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；

（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a,b的等式，然后整体代入求值．

【详解】解：（1）解方程得x=7，

把x=7代入得28+5=，

解得=11；

（2）解关于x的方程得x=，

解关于x的方程得x=，

∵方程和是同解方程，

∴，

解得；

(3)解关于的方程得，

解关于的方程得，

∵和是同解方程，

∴，

∴，

∴==6.

【点睛】本题考查了同解方程及一元一次方程的解法，正确理解同解方程的定义是解题的关键．

3．##0.5

【分析】先解方程，求出x=3，再将x=3代入方程求解即可．

【详解】解：解方程，得x=3，

∵关于的方程和的解相同，

∴将x=3代入方程，得12-2m=11，

解得m=，

故答案为：．

【点睛】此题考查解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的步骤及同解方程的定义是解题的关键．

4．

【分析】求方程的解，代入中解方程即可．

【详解】解：，

x-a=3，

x=3+a，

∵方程与的解相同，

∴将x=3+a代入，

得，

∴6+5a-12=0，

解得a=，

故答案为：．

【点睛】此题考查同解方程，正确解方程是解题的关键．

5．-1

【分析】先求方程的解，再代入，求得k的值．

【详解】解方程，

得x＝，

把x＝代入，

得，

解得k＝1．

故答案为：-1．

【点睛】此题主要考查了一元一次方程解的定义．解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力．

6．4

【分析】先求已知方程的解，再利用解相同，确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数．

【详解】2x+1＝﹣3，

解得：x＝﹣2，

将x＝﹣2代入，得，

解得：a＝4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是正确解一元一次方程，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

7．6

【详解】试题解析：解方程

解得：

方程与方程同解，把代入方程得：

故答案为

8．

【分析】直接根据相反数的定义作答即可．

【详解】根据题意得，x﹣1+3x+7=0，解得x=．

故答案是．

【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟记相反数的和为0．

9．-21

【分析】根据一元一次方程的解法解出方程，根据同解方程的定义代入计算即可．

【详解】解方程得，

因为方程与方程的解一样，

所以把代入方程得：

化简整理后可得m=-21

故答案为-21．

【点睛】本题考查的是同解方程的定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．

10．1

【分析】先解方程，得，因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把代入方程中求出的值．

【详解】【方法1】

．

由题意，得方程的解也是．

代入方程，得

．

【方法2】由方法1，可知的解为，

且易知方程的解为．

由题意，得

．

【点睛】在解含字母系数的方程时应该尽量避免繁杂的运算，方法1避免了直接解含字母系数的方程，而利用方程解的含义将字母系数方程转化成只含有数字系数的一元一次方程，因此方法1是比较简捷的方法．

11．．

【分析】分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得a的值．

【详解】解：，

去分母得，

去括号，

移项合并得5x=50，

解得得x=10，

解，

移项合并得：，

解得x=，

由题意得：，

解得．

【点睛】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键．

12．

【分析】先求出方程的解，将解代入求出m，将m的值代入求得方程的解.

【详解】解方程：，得x=1，

∵方程与有相同的解，

∴将x=1代入，得3（1+m）=m-1，

解得m=-2，

将m=-2代入，

得

2（3+2y）=3（-2-3y）

解得.

【点睛】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键.

13．

【分析】根据题意，分别求出两个方程的解，然后根据解相同，即可求出答案．

【详解】解：根据题意，则

解方程：

；

解方程：

∵两个方程的解相同，

∴，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤，正确的求出方程的解．

14．两个方程的解分别为－3，3.

【分析】分别表示出两方程的解，根据两解互为相反数即可求出m的值，以及两方程的解．

【详解】3x-2m+1=0，

解得：x=，

2-m=2x，

解得：x=，

根据题意得：+=0，

去分母得：4m-2+6-3m=0，

解得：m=-4，

两方程的解分别为-3，3．

【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

15．－8.

【详解】试题分析：由两个方程的解相同，求出第五个方程的解x，代入到第二个方程即可求出a的值．

试题解析：解方程3(5x－6)＝3－20x得x＝.

将x＝代入a－x＝2a＋10x，得a－2＝2a＋6.

解得a＝－8.

16．-20．

【分析】先求第一个方程的解，再代入第二个方程求得a的值，最后求式子a-的值．

【详解】解方程，

2（x-4）-48=-3（x+2），

2x-8-48=-3x-6，

5x=50，

得：x=10．

把x=10代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1，

得：4×10-（3a+1）=6×10+2a-1，

解得：a=-4，

∴．

【点睛】本题考查了同解方程，解题的关键是正确的计算．

17．，

【详解】试题分析：先分别解两个方程，用a表示出x得和，然后根据解相同得出关于a的方程，解方程即可．

试题解