湖北省十堰市第十三中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省十堰市第十三中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域为R的函数，若关于x的方程,恰有5个不同的实数解等于（

）A．0

B．2

C．8

D．10参考答案：C2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（

）

A．6 B．3 C． D．参考答案：A

【知识点】抛物线的简单性质．H7解析：抛物线C：的焦点为F（0，2），准线为：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．【思路点拨】由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．3.已知函数有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数有（）A．3 B．2 C．4 D．1参考答案：B【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于AB=＜2+1，故满足条件的且和线段AB有交点的直线不存在，故满足条件的直线有两条，这两条直线位于线段AB的两侧．【解答】解：AB=＜2+1，故不存在和线段AB有交点的直线．故满足条件的直线有两条，这两条直线位于线段AB的两侧．故选B．如图：

5.已知函数满足：A. B. C. D.参考答案：D略6.若a，b表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则参考答案：C【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．【点睛】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．7.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）2参考答案：A方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.

8.如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：cm2）等于（

）A．55π B．75π C．77π D．65π参考答案：C【分析】由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；由三棱锥的体积求出h的值，把三棱锥还原为长方体，长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R，由此求出外接球的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；由三视图可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD=5，BC=6，AB=h，∴三棱锥的体积V=××5×6h=20，∴h=4；把三棱锥还原为长方体，如图所示；则长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R；∴（2R）2=42+52+62=77，∴三棱锥外接球的面积为S=4πR2=77π．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的结构特征以及多面体外接球的面积计算问题，是基础题．

9.在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对边的长，若bsinA＝asinC，则△ABC的形状是()A．钝角三角形

B.直角三角形

C．等腰三角形

D.等腰直角三角形参考答案：C10.（5分）已知函数f（x）=和函数，若存在x1，x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，2]C．（0，2]D．[2，+∞）参考答案：B【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：分别确定f（x），g（x）的范围，利用存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，建立不等式组，即可求得实数a的取值范围．解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）=3x2﹣3x+1=3（x﹣）2+∈（，1]，则当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]；又当x∈[0，1]时，≤x+≤，有0≤cos（x+）≤，因a＞0，有1﹣a≤g（x）≤1﹣，若存在x1，x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2），则有．解得，即为1≤a≤2．故选B．【点评】：本题考查函数最值的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定f（x），g（x）的范围是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线上切线平行于轴的切点坐标为_________________。参考答案：或12.如图为一个棱长为2cm的正方体被过其中三个顶点的平面削去一个角后余下的几何体，试画出它的正视图

．

参考答案：（所画正视图必须是边长为2cm的正方形才给分）略13.函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为，f（x）的最小值是． 参考答案：π,【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】化简可得f（x）=sin2x，由周期公式可得周期，由振幅的意义可得最小值． 【解答】解：化简可得f（x）=sinxcosx=sin2x， ∴函数的最小正周期T==π， 当sin2x=﹣1时，函数取最小值． 故答案为：π； 【点评】本题考查三角函数的周期性和最值，属基础题． 14.若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=

．参考答案：3【考点】基本不等式．【分析】将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：315.已知的展开式中，的系数为，则

．参考答案：2二项展开式的通项为，由得，，即，因为的系数为80，所以，即。16.函数的最大值为_______参考答案：1【分析】因为，所以可以把函数解析式化简，再逆用两角差的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的性质求出最大值.【详解】,所以，因此的最大值为1.【点睛】本题考查了二角差的正弦公式的逆用，正弦型函数的最值，考查了三角恒等变换.17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是

．参考答案：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．(1)证明：EF∥平面SAD；(2)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的余弦值．参考答案：(1)证明：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，FG綊CD，又CD綊AB，E为AB的中点，故GF綊AE，四边形AEFG为平行四边形．所以EF∥AG.又AG?平面SAD，EF?平面SAD.所以EF∥平面SAD.(2)不妨设DC＝2，则SD＝4，DG＝2，△ADG为等腰直角三角形，取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG，DH⊥EF，DH＝．取EF中点M，连接MH，则HM綊AE，∴HM⊥EF.连接DM，则DM⊥EF.故∠DMH为二面角A－EF－D的平面角．tan∠DMH＝＝＝，cos∠DMH＝，∴二面角A－EF－D的余弦值为．19.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线，使得被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．参考答案：解假设存在，设其方程为y＝x＋m，代入x2＋y2－2x＋4y－4＝0，得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是x1＋x2＝－(m＋1)，.以AB为直径的圆经过原点，即直线OA与OB互相垂直，也就是kOA·kOB＝－1，所以即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，将x1＋x2＝－(m＋1)，，代入整理得m2＋3m－4＝0，解得m＝－4，或m＝1.故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为x－y＋1＝0，x－y－4＝0.略20.生产甲乙两种精密电子产品，用以下两种方案分别生产出甲乙产品共3件，现对这两种方案生产的产品分别随机调查了100次，得到如下统计表：①生产2件甲产品和1件乙产品正次品甲正品甲正品乙正品甲正品甲正品乙次品甲正品甲次品乙正品甲正品甲次品乙次品甲次品甲次品乙正品甲次品甲次品乙次品频

生产1件甲产品和2件乙产品正次品乙正品乙正品甲正品乙正品乙正品甲次品乙正品乙次品甲正品乙正品乙次品甲次品乙次品乙次品甲正品乙次品乙次品甲次品频

数81020222020已知生产电子产品甲1件，若为正品可盈利20元，若为次品则亏损5元；生产电子产品乙1件，若为正品可盈利30元，若为次品则亏损15元．（1）按方案①生产2件甲产品和1件乙产品，求这3件产品平均利润的估计值；（2）从方案①②中选其一，生产甲乙产品共3件，欲使3件产品所得总利润大于30元的机会多，应选用哪个？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意求出按方案①生产2件甲产品和1件乙产品的利润表，由此能求出这3件产品平均利润的估计值．（2）方案①生产的2件甲产品和1件乙产品所得总利润大于30元的情形有70，45，求出其频率；方案②生产1件甲产品和2件乙产品所得总利润大于30元的情形有80，55，35，求出其频率，由此能求出结果．【解答】解：（1）由题意得按方案①生产2件甲产品和1件乙产品的利润表为：利润702545020﹣25频率0.150.200.160.310.100.08∴这3件产品平均利润的估计值为：70×0.15+25×0.20+45×0.16+0×0.31+20×0.10+（﹣25）×0.08=22.70．（2）方案①生产的2件甲产品和1件乙产品所得总利润大于30元的情形有70，45，频率是：0.15+0.16=0.31，方案②生产1件甲产品和2件乙产品所得总利润大于30元的情形有80，55，35，频率是：0.08+0.10+0.20=0.38，∵0.38＞0.31，∴选择方案②．21.(本题满分12分)如图，在四棱锥中，为正三角形，⊥平面，⊥平面，为棱的中点，.（I）求证：∥平面；（II）求证：平面⊥平面．参考答案：（1）取AC中点N，连接MN,BN

由于M、N分别是AE、AC的中点，∴EC

，又BDEC∴MNBD从而MNBD为平行四边形∴

DM//BN,又所以DM//面ABC

………………6分(2)

由（1）及ABC为等边三角形，∴BN丄AC，又BD丄面ABC∴BD丄AC,

BN∩BD=B从而AC⊥面BDN，即AC丄面BDMN而AC在平面AEC内，

∴面EAC上面BDMN,

即面ECA丄面BDM

………12分22.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD．AB=AA1=（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC?面ABCD，∴A1O⊥BD，A1O⊥AC；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C?面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵AB=，∴AO=1，在Rt△A1OA中，∵AA1=，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则