2022-2023学年湖南省岳阳市华容县高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省岳阳市华容县高一下学期期末数学试题一、单选题1．是虚数单位，则的虚部是（）A．-2 B．-1 C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．2．某校共有学生3000人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为50的样本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（

）A．600 B．800C．1000 D．1200【答案】D【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】该校高三学生人数为人.故选：D3．在正方体中，异面直线与所成的角为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】根据题意，求异面直线所成角，找到平行线，转化成平面角，即可求解.【详解】由题意，作正方体，如下图所示：连接，，∴异面直线与即所成的角为.由题可得为等边三角形，.∴异面直线与所成的角为60°.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角，属于基础题.4．已知是两个不同的平面，则下列命题错误的是（

）A．若且，则B．若是平面内不共线三点，，则C．若直线，直线，则与为异面直线D．若且，则直线【答案】C【分析】根据基本事实3（公理2）可判断A；根据基本事实1（公理3）可判断B；根据异面直线的定义可判断C；根据基本事实2（公理1）可判断D.【详解】对于A，由根据且，则是平面和平面的公共点，又，由基本事实3（公理2）可得，故A正确；对于B，由基本事实1（公理3）：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又，且，则，故B正确；对于C，由于平面和平面位置不确定，则直线与直线位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；对于D，由基本事实2（公理1）：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确.故选：C.5．已知三边，，，，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】由余弦定理可得，则为锐角，故，因此的面积为.故选：B.6．中，点为边AC上的点，且，若，则的值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.【详解】由题意易得：，故.故选：A.7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（

）

A．53米 B．55米C．57米 D．60米【答案】A【分析】根据给定条件，连接，判断为等边三角形，再利用余弦定理求解作答.【详解】如图，连接，

在中，，则是等边三角形，，由，得，而，在中，由余弦定理得：（米）.故选：A8．已知三棱锥中，平面，，，是的中点，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为三棱锥的高，体积最大即为底面面积最大.取的中点，的中点，连结，则为三棱锥外接球的半径，进一步计算得出结果.【详解】如图，因为平面，所以三棱锥的高为，所以其体积的最大即为底面面积最大.因为，所以，当时，取得最大值，即面积最大.因为是的中点，所以，取的中点，的中点，连结，则，点为直角的外心，因为平面，所以平面，则点为三棱锥外接球的球心，且，又，则，三棱锥外接球的表面积为.故选：D.

二、多选题9．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据（

）A．标准差为4 B．平均数为3C．方差为1.6 D．众数为2和3【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合众数的含义，以及平均值和方差公式，即可求解．【详解】对于B，数据为5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，平均数为，故B正确.对于A、C，方差，标准差为，故C正确，A错误．对于D，由题中数据可得，这组数据众数为2和3，故D正确.故选：BCD．10．已知向量，，若两个向量的夹角为钝角，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】两个向量的夹角为钝角，则且与不反向，结合向量的数量积公式及共线的坐标表示求得结果.【详解】已知向量，的夹角为钝角，则且与不反向，即且，解得且.故选：BC.11．一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出个球，甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则（

）A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥C．乙与丁互斥 D．丙与丁互斥【答案】AB【分析】利用互斥事件的定义即可求解．【详解】解：甲与乙不能同时发生，甲与乙是互斥事件，故A正确；乙与丙不能同时发生，乙与丙是互斥事件，故B正确；丁与乙可以同时发生，乙与丁不是互斥事件，故C错误；丙与丁可以同时发生，丙与丁不是互斥事件，故D错误．故选：AB．12．已知正四面体，下说法中正确的是（

）A．与垂直B．直线与平面所成角的正弦值为C．平面与平面所成角的大小为D．若，则直线与直线之间的距离为【答案】ABD【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；找出直线与直线的公垂线段，并其长度，可判断D选项.【详解】如下图所示：

对于A选项，取线段的中点，连接、，因为、均为等边三角形，为的中点，所以，，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，设正四面体的棱长为，则点在面的射影为等边的中心，连接、，则，所以，，因为平面，平面，所以，，所以，，由线面角的定义可知，直线与平面所成角为，且，故与平面所成角的正弦值为，B对；对于C选项，取线段的中点，连接、，因为、都是边长为的等边三角形，且为线段的中点，则，，且，由二面角的定义可知，平面与平面所成角为，由余弦定理可得，所以，平面与平面所成角不是，C错；对于D选项，当时，则，因为为的中点，则，且，又因为，为的中点，则，因此，若，则直线与直线之间的距离为，D对.故选：ABD.三、填空题13．袋子中有5大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球都是黄球的概率为.【答案】/0.3【分析】求出从中不放回地依次随机摸出2个球的基本事件，求出摸出的2个球都是黄球的基本事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】由题意可给这五个球分别标上号码,红球为1,2,黄球为3,4,5,可得从中不放回地依次随机摸出2个球，共有基本事件如下，,共10个,其中摸出的2个球都是黄球的基本事件有共个，故摸出的2个球都是黄球的概率为，故答案为：14．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是．【答案】或【分析】先利用平面向量的减法法则得到．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．【详解】，，；点是线段的三等分点，，或者．，或．或．故答案为：或．15．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为．

【答案】56【分析】由题目所给信息可得即求相应台体体积，由台体体积公式可得答案.【详解】由题可得即求相应台体体积，设台体上底面面积为，下底面面积为，台体高为，则台体体积为.故答案为：5616．中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为．【答案】【分析】利用三角形面积公式得到，由基本不等式求出，从而得到面积的最小值.【详解】由三角形面积公式可知，，故，又，所以，即，由基本不等式得，即，解得，当且仅当时，等号成立，所以.故答案为：四、解答题17．已知复数，mR，其中i为虚数单位．(1)若z是实数，求m的值；(2)当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）若是实数，则虚部为0；（2）根据复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于零，虚部小于零.【详解】（1）若是实数，则，即（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时,，解得.18．1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为世界读书日，向全世界发出了走向阅读社会的号召，4月也因此成为“读书月”．定这个日期是因为，1616年4月23日是西班牙著名作家塞万提斯和英国著名作家莎士比亚的辞世纪念日．某校为了解高一学生在“读书月”课外阅读时间的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们阅读的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．

(1)估计这100名学生在“读书月”课外阅读时间的众数，中位数，平均数；(2)估计这100名学生在这个“读书月”内课外阅读时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】(1)众数是20；中位数为，平均数为(2)【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数，中位数，平均数的概念计算即可；（2）确定第75百分位数所在区间，再计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由，解得，因为，且，所以中位数位于之间，设中位数为，，解得，故中位数是；平均数为；（2）75百分位数即为上四分位数，又因为，，所以上四分位数位于之间，设上四分位数为，则，解得．19．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】（1）设,连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．20．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求；(2)求事件“且甲获胜”的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.（2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】（1）就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此.（2）“且甲获胜”，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分．因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为：.21．在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．

(1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2).若的面积为，求三棱锥的体积．【答案】(1)存在；证明见解析(2)【分析】（1）由题可得，即在上找一点M，使平面即可；（2）设，由题目条件及的面积为，可得，即可得三棱锥的体积.【详解】（1）存在，当M为的中点时，平面平面．证明：取AD的中点M，连接，由是等边三角形，可得，由平面平面，平面，平面平面，可得平面，由平面，可得平面平