人教版九年级数学上册 （实际问题与二次函数）二次函数教学课件(拱桥问题和运动中的抛物线)

拱桥问题和运动中的抛物线实际问题与二次函数

学习目标会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题；建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.12自主学习任务：阅读课本

51页，掌握下列知识要点。自主学习1、用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题2、建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题自主学习反馈1.如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线

铅球落在A点处，则OA长=

米72.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB=1.6

米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．涵洞所在抛物线的解析式是

.

例1如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面2m,水面宽4m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1m,问此时水面宽度增加多少?xyO-3(-2,-2)●

●(2,-2)4米典例精析当时，所以，水面下降1m，水面的宽度为

m.所以水面的宽度增加了m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3xyO(-2,-2)●

●

(2,-2)设二次函数解析式为典例精析xyxy4m4m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a=∴y=+2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a=∴y=+2；典例精析解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.

知识小结

例2

在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？3米4米4米xyO典例精析3米4米4米xyABC解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0，），B点坐标是（4，4），C点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4①.把点A(0,)代入①得解得所以抛物线的解析式是.当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；O典例精析若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米xyO典例精析yx（8，3）（4，4）O12345678910642（1）跳得高一点儿；典例精析y（8，3）（4，4）O12345678910642（７，３）

●（2）向前平移一点儿.x典例精析

典例精析典例精析例4有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米；

（1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式．

（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2米的速度上升）典例精析解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2．

设D（5，b），则B（10，b-3），

把D、B的坐标分别代入y=ax2得（2）∵b=-1，

∴拱桥顶O到CD的距离为1，

小时．

所以再持续5小时到达拱桥顶．典例精析1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在

s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为

米.xyO2随堂检测随堂检测3.密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.解：如图所示建立平面直角坐标系，

此时，抛物线与x轴的交点为C（-100，0），D（100，0），

设这条抛物线的解析式为y=a（x-100）（x+100），

∵抛物线经过点B（50，150），

可得

150=a（50-100）（50+100）．解得即

抛物线的解析式为顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米随堂检测

公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米学以致用OBCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点.由题意可知A（0，1.25）、

B（1，2.25）、C（x0，0）.

xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25(a≠0),点A坐标代入，得a=－1；当y=0时，x１=－0.5（舍去），

x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.1.25学以致用实际问题数学模型转化回归（二次函数的图象和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.课堂小结商品利润最大问题实际问题与二次函数

学习目标

能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.12自主学习任务：阅读课本

50页，掌握下列知识要点。自主学习1、商品销售过程中的最大利润问题2、商品销售问题中的数量关系自主学习反馈1、某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可以多售出4件．则每件童装应降价

元时，每天能获得最大利润.2、某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增

棵苹果树，所结苹果的总数最多.3、将进货单价为80元的某种商品按零售价100元每个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个，为了获得最大利润，应降价

元．1555

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是

元，销售利润

元.180006000数量关系（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.课堂探究

例

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000典型例题②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定价65元时，最大利润是6250元.典型例题降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.

例

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000典型例题综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？当

时,

即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，典型例题求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.知识小结做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。分层教学A组B组某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为_____元时，该服装店平均每天的销售利润最大．某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为

．（不写出x的取值范围）做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为y=-10x2+100x+2000．（不写出x的取值范围）解析一览A组B组1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为

元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为

.每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)随堂检测3.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.随堂检测38学以致用某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（