北师大版八年级数学下册 （认识分式）分式与分式方程新课件

5.1认识分式

学习目标1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别.2.能用分式表示现实情境中的数量关系.3.理解分式有意义、无意义及分式的值为零的条件，能熟练求出分式有意义、分式的值为零的条件.新课导入1.小明家距离学校800米，他从家步行到学校，每分钟走80米，小明共走了______小时.2.已知直角三角形的三边长为a，b，c，则三角形的周长为__________，面积为________.abc

a+b+c

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成原计划的任务.

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x

公顷，那么(1)原计划完成造林任务需要多少个月?(2)实际完成造林任务用了多少个月?

五一长假台儿庄古城吸引了成千上万的游客，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数5万，后b天日均参观人数3万，这(a+b)天日均参观人数为多少万?做一做

文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x

元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b

元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？

你能将我们刚才得到的式子进行分类吗？整式单项式多项式分式

a+b+c

a+b+c

1.含有分母；2.分母中含有字母；3.分子，分母都是整式.观察以下式子有哪些共同特征？分式的概念

1.分式无意义的条件：2.分式有意义的条件：3.分式的值等于零的条件：分母等于零分母不等于零分子等于零且分母不等于零三个条件

解：∵当x＝1时，分式无意义，∴1－a＝0，a＝1.∵当x＝4时，分式的值为0，∴4＋2b＝0，b＝－2.∴a＋b＝1－2＝－1.随堂练习

B

B

B

A

C

课堂小结1.分式的概念分母不为0.分母中含有字母；分子，分母都是整式；2.分式有意义：分母不为0；无意义：分母为0.3.分式的值为0：分子为0，且分母不为0.八年级下册6.3三角形的中位线

学习目标12知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同;理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算.1.中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半几何语言：∵点D、E分别是∆ABC边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC．预习思考1.一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是(

)A．6cmB．12cmC．18cmD．36cm2．如图，在△ABC中，AB＝8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE＝()A．2B．4C．6D．8预习检测CB3．如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为()A．30°B．60°C．120°D．150°4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是()A．8B．10C．12D．14预习检测CC活动探究探究点一问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC

（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE

（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得到四边形BCFD.四边形BCFD是平行四边形活动探究探究点一问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？演示问题2：什么是三角形的中位线？它与三角形的中线的区别？三角形的中位线有什么特征？请你说明理由.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段.三角形的中线：连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=BC．活动探究已知：如图（1），DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE=BC证明方法1:如图(2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF.在△ADE和△CFE中∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE∴△ADE≌△CFE∴∠A=∠ECF,AD=CF，∴CF∥AB∵BD=AD，∴BD=CF∴四边形DBCF是平行四边形∴DF∥BC,DF=BC∴DE∥BC,DE=BC活动探究证明方法2：延长DE至点F，使EF=DE连接CF，DC，AF∵EF=DE，AE=EC∴四边形ADCF是平行四边形∴AD∥CF，AD=CF∵AD=DB∴FC∥BDFC=BD∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC，DF=BCDE∥BC,DE=BC活动探究证明方法3：过点E作MN∥AB过点A作AM∥BC∴四边形ABNM是平行四边形∵AM∥BC∴∠M=∠MNC在△AEM和△CEN中∠M=∠ENC，∠AEM=∠CEN,AE=EC.∴△AEM≌△CEN∴ME=NE∴易证四边形ADEM和BDEN是平行四边形∴DE=AM=NC=BN∴DE∥BC,DE=BC活动探究活动探究三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半.几何语言：∵点D、E分别是∆ABC边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC．活动探究探究点二问题1：如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请你说明理由解：四边形EFQH是平行四边形.活动探究已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．解：EFGH是平行四边形．理由：如图，连接AC.∵EF是△ABC的中位线，∴EF=AC且EF∥AC.同理，GH=AC且GH∥AC.∴EF∥GH且EF=GH.∴四边形EFGH为平行四边形．活动探究问题2：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.∴CE＝BF，∴CD＝2CE.活动探究在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题.活动探究探究点三：问题1：

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．求证：EF=（BC-AD）．证明1：如图所示，连接AE并延长，交BC于点G．∵AD∥BC，∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，又∵E为BD中点，∴△AED≌△GEB．∴BG=AD，AE=EG．在△AGC中，∵F，E分别是对角线AC，BD的中点∴F、E是△AGC的为中位线，∴EF∥BC，EF=GC=（BC-BG）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．活动探究证2：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．∴GD=CB，GE=CE．在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点，∴EF=GA=（GD-AD）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．活动探究问题2：如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形.∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）.∴PQ是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6.∴PQ=DE=3.能力提升1.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,求∠PFE的度数.

解:∵PF是△DBC的中位线,PE是△BAD的中位线,∴PF=BC,PE=AD.∵AD=BC,∴PF=PE,∴∠PFE=∠PEF=18°.能力提升2.如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明).小明的思路是:在图①中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.问题:如图②,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.能力提升解:△AGD是直角三角形.证明如下:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=AB,∴∠1=∠3.同理HE∥CD,HE=CD,∴∠2=∠EFC.∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2.∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,∴△AGF为等边三角形.∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°,∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.随堂检测1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为()A.B．3C．6D．92.如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(

)A．80°B．90°C．100°D．110°CA随堂检测3．如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是()A．DE＝DFB．EF＝12ABC．S△ABD＝S△ACDD．AD平分∠BAC4．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于()A．42°B．48°C．52°D．58°CB