【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 24.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷(冀教版)

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一、选择题

1．（2023八下·东阳期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x﹣5）2﹣4（x﹣5）+k＝0的两个实数根是（）

A．x1＝1，x2＝3B．x1＝6，x2＝8

C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，

解得x1=6，x2=8.

故答案为：B.

【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.

2．（2023八下·金东期末）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由万辆增加到万辆．设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，

由题意可得33.2×(1+x)2=54.6.

故答案为：D.

【分析】由题意可得：2月的销量为33.2(1+x)万辆，3月的销量为33.2(1+x)2万辆，然后根据增加到54.6万辆就可列出方程.

3．（2023·老河口模拟）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，下列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得

400×（1+x）2=625.

故答案为：A

【分析】此题的等量关系：第一年植树的棵树×（1+年平均增长率）2=第三年植树的棵树，列方程即可.

4．（2023八下·拱墅期中）杭州地铁号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设这段公路有x个站点，由题意可得x(x-1)=1482.

故答案为：B.

【分析】根据站点数×(站点数-1)=总共的往返车票就可列出方程.

5．（2023·深圳模拟）下列说法正确的是（）

A．五边形的外角和是540°

B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C．因式分解是正确的

D．关于x的方程有两个不相等的实数根

【答案】D

【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根；多边形内角与外角；正方形的性质

【解析】【解答】解：A、五边形的外角和是360°，A错误；

B、反例：菱形也是对角线相等且互相垂直的四边形，B错误；

C、因式分解的正确结果：，C错误；

D、判别式，，，关于x的方程有两个不相等的实数根，D正确；

故答案为：D.

【分析】A、所有的多边形的外角和都为360°；

B、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形；

C、利用提公因式法得到答案；

D、根据判别式判断一元二次方程根的情况，，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根.

6．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（）

A．2024B．2023C．2023D．2022

【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根

【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，

∴a2+a-2023=0，

∴a2=-a+2023，

∴a2+2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b

∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022

故答案选D。

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。

7．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，

故答案为：B．

【分析】先求出，，再求解即可。

8．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根；一次函数的实际应用；勾股定理的应用；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

设BE的长度为t，

则BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故答案为：C．

【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，(这是做题关键)

根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6

二、填空题

9．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是.

【答案】

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，

∴1+a+2a+3=0，

解得a=.

故答案为：.

【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.

10．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2023年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为．

【答案】

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.

故答案为：100(1+x)2=169.

【分析】由题意可得：2023年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.

11．（2023八下·海曙期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则．

【答案】

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为-2，

∴4a-2b-1=0，

∴4a-2b=1，

∴2a-b=.

故答案为：.

【分析】将x=-2代入方程中可得4a-2b-1=0，据此不难得到2a-b的值.

12．（2023九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

【答案】2，4，4或3，3，4

【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：是方程的两个根，

，

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（2）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（3）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；

综上，此三角形的三边长是或，

故答案为：或．

【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。

13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

【答案】①④

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，

∴x（x﹣4）＝0，

∴x1＝0，x2＝4，

则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

故①正确；

②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，

则x1＝﹣1，x2，

∵5m＝﹣n，

∴x2＝5，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；

当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，

故②错误；

③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，

∵方程是2的等距方程，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，

∴x1＝x2或x1+x2＝4，

当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，

当x1+x2＝4时，即＝4，

∴b＝﹣4a，

故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；

④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，

由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，

∴x1x2＝×＝（x1+x2），

∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，

∴x2＝1或x2＝0（舍去），

∴x1＝3x2＝3，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，

故正确的有①④，

故答案为：①④．

【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；

③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；

④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断.

三、解答题

14．（2022九上·海东期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．

【答案】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，

2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，

所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，

解得b＝1，c＝﹣2．

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，再利用待定系数法可得b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，最后求出b、c的值即可。

15．（2022九上·应城月考）若a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2023a+的值．

【答案】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2023a+1＝0，

所以a2﹣2023a＝﹣1，a2+1＝2023a，

所以a2﹣2023a＝﹣a﹣1，

所以a2﹣2023a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2023a+＝﹣1．

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【分析】把x＝a代入方程，可得a2﹣2023a＝﹣1，a2+1＝2023a，从而求出a2﹣2023a＝﹣a﹣1，再代入原式即可求解.

四、综合题

16．（2022八下·道外期末）在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，且、的长是方程的两个根．

（1）如图1，求点C坐标；

（2）如图2，点D在上，点E在的延长线上，且．连接，过点O作交于点G，垂足为点F．设长为m，点G的横坐标为n，求n与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求直线的解析式．

【答案】（1）解：，

∴，

∴，

∴，

（2）解：延长交于H，

∵∠AFO=∠B=∠OAB=，

∴∠OAF+∠BAD=∠AOH+∠OAF=，

∴∠AOB=∠BAD，

∵OA=AB，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

∴G为中点，

过E作交CO延长线于M，取中点N，连接，

∴是的中位线，

∴GNEM，即，

∵，

∴，

（3）解：∵，

设，

∴，

由（2）知，

∴，

∴，

∴，

连接，

，

，

∴解得，

∵，

∴，

∴，

中，，

∴，

∴；

设直线的解析式为，

∵，

∴，

∴，

∴直线解析式为：．

【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）解方程得，即得点C坐标；

（2）延长交于H，根据ASA证明△AOH≌△BAD，可得，又，再证，可得EG=GC，过E作交CO延长线于M，取中点N，连接，利用三角形中位线定理可得GNEM，即，由即得结论；

（3）由，可设，，可得，连接，根据可求出，即得AD=5，由勾股定理求出BD=5，从而求出CD=5，即得D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可.

17．（2022·黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，OA，OB（）的长是关于x的一元二次方程的两个根，直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，设．

（1）求直线AB的解析式；

（2）设的面积为S（），求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当，且点P在AB上方时，在第一象限是否存在点C，使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：解方程，得，，

∵，

∴，，

∴点，，

设直线AB的解析式为，

∴

解得

∴直线AB的解析式为；

（2）解：当时，，即点，

①当时，，

∵，

∴；

②同理，当时，，

∴，

综上，得

（3）解：存在，点C的坐标是或或．

【知识点】一元二次方程的根；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的判定与性质；等腰直角三角形

【解析】【解答】解：(3)假设存在C使是等腰直角三角形，

∵当，且点P在AB上方，

∴，得，即，

①当时，如图：

∵，，

∴，，

∴，

∴四边形PEBC是正方形，

∴，，

故；

②当时，作交于点F，如图：

∵，，

∴，，

∴，

∴四边形EBCF是矩形，

∴，

故；

③当时，作轴交于点G，如图：

∵，，

∴，，

∴，

∴四边形EPCG是矩形，

∴，

∴，

故；

综上所述：点C的坐标是或或．

【分析】（1）先解方程得，，即得OA=3，OB=4，可得A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；

（2）将x=2代入直线AB：中得y=，即的点，分两种情况：①当时，，当时，，根据即可求解；

（3）当，且点P在AB上方，此时，分三种情况：①当时，PC=CB；②当时PC=PB，③当BC=PB时，BC=PB，据此分别求解即可.

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一、选择题

1．（2023八下·东阳期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x﹣5）2﹣4（x﹣5）+k＝0的两个实数根是（）

A．x1＝1，x2＝3B．x1＝6，x2＝8

C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2

2．（2023八下·金东期末）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由万辆增加到万辆．设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（）

A．B．

C．D．

3．（2023·老河口模拟）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，下列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023八下·拱墅期中）杭州地铁号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（）

A．B．

C．D．

5．（2023·深圳模拟）下列说法正确的是（）

A．五边形的外角和是540°

B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C．因式分解是正确的

D．关于x的方程有两个不相等的实数根

6．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（）

A．2024B．2023C．2023D．2022

7．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

8．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）

A．4B．5C．6D．7

二、填空题

9．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是.

10．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2023年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为．

11．（2023八下·海曙期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则．

12．（2023九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

三、解答题

14．（2022九上·海东期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．

15．（2022九上·应城月考）若a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2023a+的值．

四、综合题

16．（2022八下·道外期末）在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，且、的长是方程的两个根．

（1）如图1，求点C坐标；

（2）如图2，点D在上，点E在的延长线上，且．连接，过点O作交于点G，垂足为点F．设长为m，点G的横坐标为n，求n与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求直线的解析式．

17．（2022·黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，OA，OB（）的长是关于x的一元二次方程的两个根，直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，设．

（1）求直线AB的解析式；

（2）设的面积为S（），求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当，且点P在AB上方时，在第一象限是否存在点C，使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，

解得x1=6，x2=8.

故答案为：B.

【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.

2．【答案】D

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，

由题意可得33.2×(1+x)2=54.6.

故答案为：D.

【分析】由题意可得：2月的销量为33.2(1+x)万辆，3月的销量为33.2(1+x)2万辆，然后根据增加到54.6万辆就可列出方程.

3．【答案】A

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得

400×（1+x）2=625.

故答案为：A

【分析】此题的等量关系：第一年植树的棵树×（1+年平均增长率）2=第三年植树的棵树，列方程即可.

4．【答案】B

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设这段公路有x个站点，由题意可得x(x-1)=1482.

故答案为：B.

【分析】根据站点数×(站点数-1)=总共的往返车票就可列出方程.

5．【答案】D

【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根；多边形内角与外角；正方形的性质

【解析】【解答】解：A、五边形的外角和是360°，A错误；

B、反例：菱形也是对角线相等且互相垂直的四边形，B错误；

C、因式分解的正确结果：，C错误；

D、判别式，，，关于x的方程有两个不相等的实数根，D正确；

故答案为：D.

【分析】A、所有的多边形的外角和都为360°；

B、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形；

C、利用提公因式法得到答案；

D、根据判别式判断一元二次方程根的情况，，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根.

6．【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根

【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，

∴a2+a-2023=0，

∴a2=-a+2023，

∴a2+2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b

∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022

故答案选D。

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。

7．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，

故答案为：B．

【分析】先求出，，再求解即可。

8．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根；一次函数的实际应用；勾股定理的应用；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

设BE的长度为t，

则BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故答案为：C．

【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，(这是做题关键)

根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6

9．【答案】

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，

∴1+a+2a+3=0，

解得a=.

故答案为：.

【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.

10．【答案】

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.

故答案为：100(1+x)2=169.

【分析】由题意可得：2023年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.

11．【答案】

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为-2，

∴4a-2b-1=0，

∴4a-2b=1，

∴2a-b=.

故答案为：.

【分析】将x=-2代入方程中可得4a-2b-1=0，据此不难得到2a-b的值.

12．【答案】2，4，4或3，3，4

【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：是方程的两个根，

，

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（2）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；（3）若，这个三角形是等腰三角形，

则，

此时三角形的三边长是，满足三角形的三边关系定理；

综上，此三角形的三边长是或，

故答案为：或．

【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。

13．【答案】①④

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，

∴x（x﹣4）＝0，

∴x1＝0，x2＝4，

则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

故①正确；

②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，

则x1＝﹣1，x2，

∵5m＝﹣n，

∴x2＝5，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；

当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，

故②错误；

③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，

∵方程是2的等距方程，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，

∴x1＝x2或x1+x2＝4，

当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，

当x1+x2＝4时，即＝4，

∴b＝﹣4a，

故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；

④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，

由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，

∴x1x2＝×＝（x1+x2），

∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，

∴x2＝1或x2＝0（舍去），

∴x1＝3x2＝3，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，

故正确的有①④，

故答案为：①④．

【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；

③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；

④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断.

14．【答案】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，

2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，

所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，

解得b＝1，c＝﹣2．

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b