力的分解问题探究

本讲教育信息】教学内容：力的分解问题探究学习目标：1、 熟练掌握在力的分解问题中有确定解的几种情况的讨论。2、 掌握在不同的物理情景中求分力的常规方法和思路。3、 重点掌握力的分解问题的典型问题的处理方法。咼考地位：力的分解问题是本部分内容的重点和难点， 力的分解问题和力的合成一样， 是高中力学内容的基础，是解决高中力学问题的重要工具，在出题形式上，力的分解问题常与日常生活实际紧密结合，突出了对于实际物理问题的模型抽象能力，如 2002年上海春季高考第36题，把力的分解问题与桥梁的受力特点相结合，同时在高考的出题方向上也体现了运用数学知识分析物理问题的能力，主要是考查平行四边形及三角形定则在力的分解问题中的数学应用，如 2005年辽宁高考卷第36题、2004年广东卷第7题，均以选择题的形式出现的。三•重难点解析：1.力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解。分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平行四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力。?2.力的分解的方法根据力F产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力 “和I的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小。应注意：已知一个力和它的另一个分力的方向，则另一个分力有无数个解，且有最小值(两分力方向垂直时)。?3.分力方向的确定分解的原则：根据力所产生的效果进行分解，一个力可以分解成无数对分力，但对于一个确定的物体所受到的力进行分解时，应考虑实际效果，即进行有意义分解。?4.力的分解的解题思路力分解问题的关键是根据力的实际作用效果，画出力的平行四边形，接着就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题，因此其解题基本思路可表示为?5.力的分解的几种情况已知一个力的大小和方向，求它的两个分力。据平行四边形定则知，这种情况下可以作出无数个符合条件的平行四边形，即对一已知力分解，含有无数个解，但如果再加以下条件，情况就不一样了，下面讨论：已知两个分力的方向时，有唯一解，如图所示。已知一个分力’1的大小和方向，力的分解有唯一解，如图所示，只能作出一个平行四边形。已知两个分力的大小，力的分解可能有两个解，如图所示，可作出两个平行四边形。已知一个分力’1的方向与另一个分力I的大小，如图所示，则：当时，有唯一解，如图甲所示；当: 时，无解，如图乙所示；当':| 11时，存在两个解，如图丙所示；当I八时，存在一个解，如图丁所示。

总结：如图所示，已知力F的一个分力沿0A方向，另一个分力大小为I。我们可以以合力F的末端为圆心，以分力I的长度为半径作圆弧，各种情况均可由图表示出来。?6.求分力的方法（1） 直角三角形法。对物体进行受力分析，对其中的某力按效果或需要分解，能构成直角三角形的，可直接应用直角三角形边、角的三角函数关系求解，方便快捷。（2） 正交分解法。以力的作用点为原点作直角坐标系，标出 二轴和y轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。将与坐标轴不重合的力分解成x轴方向和y轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号，和1表示。在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出的数学表达式，女口：F与x轴夹角为，则1.一「| ，1］一「：二与两轴重合的力就不需要分解了。列出x轴方向上的各分力的合力和y轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。（3） 相似三角形法。对物体进行受力分析，根据题意对其中的某力分解，找出与力的矢量三角形相似的几何三角形，用相似三角形对应边的比例关系求解。（4） 动态矢量三角形（动态平衡）法。所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，利用图解法解决此类问题方便快捷。【典型例题】??????问题1:求分力的常规方法类问题:［考题3］如图（1）所示，重物的重量为G,轻细线A0与B0的A、B端是固定的，平衡时A0是水平的，B0与竖直方向的夹角为7,A0的拉力二，和B0的拉力二：大小是（？?？）(1)??????AFT,=GCO£??????AFT,=GCO£^?????????B.%=Gtan5?????????DGcos2解析：选取0点为研究对象，其受力如图（2）所示，0点受到三个力的作用：物体对0的拉力,大小为G,A0绳子的拉力1,B0绳子的拉力「-；。解法一：重力G的作用效果是拉紧两根绳子，拉绳子的力应该沿着绳子方向，如图（ 3）所示，将重力G沿两根绳子的方向分解为 ［和二，在直角三角形中，由几何知识得： 1一''；|■,G2二G/ 。（3）由于重物静止，任何方向的合力均为零，所以有 打一」1一1-日皿，,解法二：把拉力门：的作用效果看作是竖直向上平衡重力和水平向右拉绳子的，如图（ 4）所示，可将丨沿水平和竖直两个方向分解为二：和二.，由几何知识得〉 ・V 二门处（4）

解法三：如把1的作用效果看作是沿竖直向上方向提物体和斜向下方向拉紧另一细绳， 则可按照如图（5）所示的那样把「「分解为〉和。（5）现根据小球处于静止状态，所受的合力为零的条件，利用直角三角形的知识，都可以解得FT|=Gtan0Ft^=G/cosfi。答案：B、D。变式1：（2004年广东高考）7.用三根轻绳将质量为 m的物块悬挂在空中，如图所示.已知ac和be与竖直方向的夹角分别为 和…■，贝Uae绳和be绳中的拉力分别为：A.??????????????????????????????????????????????R.二： ？?A.C•二4I* 2变式2、如图，用绳AC和C•二4I* 2变式2、如图，用绳AC和BC吊起一个物体，它们与水平方向的夹角分别为 」和『，若AC绳能承受的最大拉力为100N，BC绳能承受的最大拉力为150N，则要使两条绳都不断，物体的重力不应超过多少？200^3答案：重力G不能超过—■—No变式3、（2003年全国理综第19题）［考题2］如图所示，一个半球形碗放在桌面上，碗口水平， O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为 的小球，当它们处于平衡状态时，质量为■1的小球与O点的连线与水平方向的夹角 1rT'，则两球的质量比为（???）爲 罷 爲??????A3???????????????????????B3???????????????????????C2???????????????????????D答案：A问题2:用图解法分析力的分解中的动态变化问题：［考题6］如图（1）所示，用水平细绳将电灯拉到图中位置，若保持灯的位置不变，将细绳由水平顺时针转到竖直位置的过程中，细绳和电线所受的拉力将如何变化。（1）??????解析：解法一：利用力的分解知识，取 O点为研究对象，其所受重力产生两个效果，即分别拉伸OA、OB两绳，可将重力沿此两个方向的反方向分解，在后面的变化过程中仍按此两个效果分解，分解如图（2）（甲）所示，由图可知，绳的拉力1先减小后增大，电线拉力〉一直减小。甲?? （2）???乙解法二：利用力的合成知识，取O点为研究对象，O点受三个力作用，如图（2）（乙）所示，由共点力平衡条件知，三个力合力为零，所以将＞、‘1」合成，其合力_■与G等值反向，作出动态分析，由于无论〉、：1」如何变化，G'不变，所以由图可知，细绳拉力先减小后增大，电线拉力一直减小。答案：绳的拉力先减小后增大，电线的拉力一直减小。变式：

［例4］如图所示，质量为m的球放在倾角为己的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角多大时，AO所受压力最小。解析：虽然题目是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知，将无法得出结论。以球为研究对象，球所受重力 mg产生的效果有两个：对挡板产生压力 ，其大小等于I，对斜面产生压力二；，其大小等于’1,根据重力产生的效果将重力分解，如图所示。当挡板与斜面的夹角 ，由图示位置变化时，q（二；）大小改变，但方向不变，始终垂直斜面；\（二1）的大小、方向均变化，是先减小，后增大，当’1和I垂直时，即a时，挡板OA所受压力最小—■-■"■■■o问题3:有附加条件的力的分解问题:［考题5］已知力F的一个分力为’1跟F成」角，大小未知，另一个分力 I大小是丁F，方向未知，则J的大小可能是（？?？）??????a.Tip?3??????????????????b.JJf/2??????????????????C.「 ????????????????D解析：如图所示，先画一条有向线段AB表示力F,过F的始端A画一条与AB成角的射线（是，在CB两边对称地作两线段DB和EB，使其大小均CB=I 迥F）在直角三角形△EBC中，因 一，，在CB两边对称地作两线段DB和EB，使其大小均CB=I 迥F）在直角三角形△EBC中，因 一，EB=匚,利用直角三角形可知E为直角三角形△ADB的斜边迺F更F，也可能是3 ，本题选项A、C正则由直角三角形厶ABC可知，CB的大小为-迺F —为匚（因为匚一，所以这两条线可以画出来。/CBE=/ABE=」：I；',故厶ABD为直角三角形，AE=—F2历卩AD的中点， 」，AD=匚，即’1的大小可能是匚确。答案：A、C变式：?5.将力F分解为J和I两个分力，若已知F的大小及F和I间的夹角「，且「为锐角，贝U当\和I大小相等时，Fi的大小为 ；而当Fi为最小值时，的大小为 。Feos5答案：2cosd解析：由’1、1合成F的平行四边形分析可得。【模拟试题】?1.若物体在斜面上保持静止状态，则下列说法正确的是（ ？?？）??????A.重力可分解为沿斜面向下的力和对斜面的压力重力沿斜面向下的分力与斜面对物体的静摩擦力是一对平衡力物体对斜面的压力与斜面对物体的支持力是一对平衡力重力垂直于斜面方向的分力与斜面对物体的支持力是一对平衡力?2.把一个力分解为两个分力，下列说法正确的是（ ？?？）??????A.一个分力变大时，另一个分力不能同时也变大两个分力可同时变大，也可以同时变小无论怎样分解，两个分力不能同时小于这个力的一半无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的两倍?3.一光滑均匀小球用细绳拴住悬挂靠在光滑的竖直墙上，小球受到三个力作用，重力 G,绳的拉力F，墙对球的支持力，如图所示，对于这三个力，根据作用效果进行分解，下列说法正确的是（ ？?？）??????A.G可沿F和］【两个力的反方向进行分解F可沿G和】■［两个力的反方向进行分解:.可沿G和F两个力的方向进行分解以上三种分解方法均可以?4.物体静止于光滑水平面上，力 F作用于物体上的0点，现要使合力沿着00'方向，如图所示，则必须同时再加一个力F',如F和F'均在同一水平面上，则这个力的最小值为（ ？？）??????AFcosfl?????????????????BFsin^???????????????????CFtanfl??????????????????D.Fcotfl?5.生活中的物理知识无处不在，如图是我们衣服上的拉链的一部分，在把拉链拉开的时候，我们可以看到有一个三角形的东西在两链中间运动，使很难直接分开的拉链很容易地拉开，关于其中的物理原理以下说法正确的是??????A.在拉开拉链的时候，三角形的物体增大了分开两拉链的力拉开拉链的时候，三角形的物体只是为了将拉链分开并没有增大拉力拉开拉链时，三角形的物体增大了分开拉链的力，但合上拉链时减小了合上的力以上说法都不正确?6.水平地面上的物体受重力 G和水平作用力F保持静止，如图所示，现在使作用力 F保持大小不变，TOC\o"1-5"\h\z方向沿逆时针方向缓缓转过 「丨，而物体始终保持静止，则在这个过程中，物体对地面的正压力 ：.和地面给物体的摩擦力1的变化情况是（？?？）??????A.不变？??????????????????????????????????????????????????切先变小后变大C.FN先变小后变大？?????????????????????????????????????^D.先变大后变小?7.如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板上做匀速直线运动，物体与天花板间动摩擦因数为，则物体受到摩擦力的大小为（ ？?？）??????a.Fsin9?????????????????????????????????????????????????????bs8????????????????????????????????????????D.-- -「?8.三段不可伸长的0A,OB,0C能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中 0B是水平的，A端B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳（ ？?？）??????A.必定是0A???????????????????????????????????????????????泌定是0BC.必定是0C???????????????????????????????????????????????可能是0B，也可能是0C?9.如图所示，光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上，小球重力为 G,斜面倾角为U,求小球对斜面的压力1和小球对挡板的压力-。【试题答案】?1.B、D（如下图所示，物体对斜面的压力作用在斜面上，所以 A错；物体对斜面的压力和斜面对物体的支持力是一对相互作用力，所以 C错。）?2.B、C（力的分解与力的合成都遵守平行四边形定则，显然也是都遵守矢量三角形定则，即合力与它的两个分力形成矢量三角形，依据三角形的三边关系，以及力的合成特点可知:然J、［可以同时增大，也可以同时减小，故A选项不对，B选项正确，如果两分力同时小于此力一半，则当"和［同向时，冷C，这不可能，故C正确。如果两分力同时大于此力的 2倍，但并不能打破|Fl-FJ<F<F1+F3的关系，故也有可能，所以 D不对，所以，本题的正确选项应为 B、C）。?3.A、B（A选项，重力可产生两个效果：拉紧悬绳和压紧墙壁， B选项，拉力F可产生两个作用效果；竖直方向提住小球，水平向左拉住小球，使球不离开竖直墙壁。 C选项，］［水平向右，不可能沿F和G的方向分解。）?4.B（如下图所示，F'平衡力F垂直于00'的分力。）?5.A（此题结合生活的实际问题考查力的分解，在拉开拉链的时候，三角形的物体在两链间和拉链一起运动，手的拉力在三角形的物体上产生了两个分力，如图所示，分力大于手的拉力，所以很难直接分开的拉链很容易地被三角形物体分开，因此应选 A。）?6.B、C（如下图，先对物体进行受力分析，利用正交分解可得，［:门■--'■。可得 ，一由正弦和余弦函数在「的变化规律就能够确定选项 b、c是正确的。